【考研类试卷】考研数学（数学三）模拟试卷462及答案解析.doc

1、考研数学（数学三）模拟试卷 462 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为极大值点B.x=0 为极小值点C.(0，f(0)为拐点D.x=0 不是极值点，(0，f(0)也不是拐点3.曲线 （分数：2.00）A.3 条B.2 条C.1 条D.0 条4.下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 （分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)处不可偏

2、导B.f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.f x (0，0)=f y (0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分D.f x (0，0)=f y (0，0)：0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分6.设 A 为三阶矩阵， （分数：2.00）A.当 t2 时，r(A)=1B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2 时，r(A)=1D.当 t=2 时，r(A)=27.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T ，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个8.(7)设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1 (z)+

3、08F 1 (2x)，其中 F。 1 (y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：2.00）A.036B.044C.064D.19.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 是来自总体 N(1，4)的简单随机样本， （分数：2.00）A.2B.C.D.1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 XN(0，1)，YN(0

4、，4)且 X，Y 相互独立，则 Pmax(X，Y)0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.已知 u n (x)满足 u n (x)=u n (x)+x n-1 e x (n=1，2，)， （分数：2.00）_19.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导 (I)若 f(a)=0，f(b) 2 ()=0 ()若 （分数：2.00）_20.设抛物线 y=x 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点

5、 A(a，a 2 )(a0) (I)求 S=S(a)的表达式； ()当 a 取何值时，面积 S(a)最小?（分数：2.00）_21.求级数 （分数：2.00）_22.设 B 为三阶非零矩阵， （分数：2.00）_23.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 （分数：2.00）_24.某流水线上产品不合格的概率为 （分数：2.00）_25.设总体 X 的分布函数为 （分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 462 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.

6、00）_解析：2.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为极大值点B.x=0 为极小值点 C.(0，f(0)为拐点D.x=0 不是极值点，(0，f(0)也不是拐点解析：解析：3.曲线 （分数：2.00）A.3 条 B.2 条C.1 条D.0 条解析：解析：4.下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：方法一： 方法二：5.设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 （分数：2.00）A.f(x，y)在(0，0)处不可偏导B.f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.f x (0，0)=f y (0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分D.f

7、x (0，0)=f y (0，0)：0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分 解析：解析：6.设 A 为三阶矩阵， （分数：2.00）A.当 t2 时，r(A)=1 B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2 时，r(A)=1D.当 t=2 时，r(A)=2解析：解析：方法一： 当 t2 时 为 AX=0 的两个线性无关的解， 从而 3r(A)2，r(A)1，又由 AO 得 r(A)1，即 r(A)=1，应选 A 方法二：7.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T ，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：解析：令 AX=

8、X，则 A 2 X= 2 X，因为 ， 正交，所以 T = T =0，A 2 = T T =O，于是 2 X=0，故 1 2 3 4 =0，因为 ， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r( T )r()=1，所以 r(A)=1 因为 4r(0EA)=4r(A)=3，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选 C8.(7)设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1 (z)+08F 1 (2x)，其中 F。 1 (y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：2.00）A.036B.044 C.064D.1解析：解析：设

9、X 1 E(1)，其密度函数为 其分布函数为 9.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 是来自总体 N(1，4)的简单随机样本， （分数：2.00）A.2B.C. D.1解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z）解析：解析： 两边对 x 求偏导得12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.设 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x+1）解析

10、：解析： 令 x=0 得 y=114.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由 AB 得 tr(A)=tr(B)，即 x3=0，于是 x=3 显然 A，B 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =2， 因为 AB 且 B 为对角矩阵，所以 A 可对角化，从而 r(EA)=1， 15.设 XN(0，1)，YN(0，4)且 X，Y 相互独立，则 Pmax(X，Y)0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 XN(0，1)，YN(0，4)，三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过

11、程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先求切线与坐标轴围成的面积 其次求最优解 )解析：18.已知 u n (x)满足 u n (x)=u n (x)+x n-1 e x (n=1，2，)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u n (x)=u n (x)+x n1 一 e x ，即 yy=x n1 e x 解得 )解析：19.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导 (I)若 f(a)=0，f(b) 2 ()=0 ()若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)因为 f + (a)0，所以存在 c(a，b)，使得 f

12、(c)f(a)=0，因为 f(c)f(b)0，所以存在 x 0 (c，b)，使得 f(x 0 )=0因为 f(a)=f(x 0 )=0，由罗尔定理，存在 x 1 (a，x 0 )，使得 f(x 1 )=0 令 (x)=f(x)f(x)，由 (a)=(x 1 )=0，根据罗尔定理，存在 (a，x 1 ) (a，b)，使得 ()=0而 (x)=f(x)f“(x)+f 2 (x)，所以 f()f“()+f 2 ()=0 ()令 因为 F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得 F(c)=0，即 f(c)=0 令h(x)=e x f(x)，由 h(a)=h(c)=h(b)=0，根

13、据罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得h( 1 )=h( 2 )=0，则 h(x)=e x f(x)+f(x)，所以 f( 1 )+f( 1 )=0，f( 2 )+f( 2 )=0 再令 G(x)=e x f(x)+f(x)，由 G( 1 )=G( 2 )=0，根据罗尔定理，存在( 1 ， 2 ) )解析：20.设抛物线 y=x 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2 )(a0) (I)求 S=S(a)的表达式； ()当 a 取何值时，面积 S(a)最小?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)设另一个切

14、点为(x 0 ，x 0 2 )，则抛物线 y=x 2 的两条切线分别为 L 1 :y=2axa 2 ，L 2 :y=2x 0 xx 0 2 )解析：21.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 B 为三阶非零矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 B 为三阶非零矩阵得，r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是 解得 a=3b 由 AX= 3 有解得 r(A)=r(A 3 )， 解得 b=5，从而 a=15 由 1 ， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2，从而 r(B)1， 再由 r(B)1 得 r(B)=

15、1， 1 ， 2 为 BX=0 的一个基础解系， 故 BX=0 的通解为 )解析：23.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)显然 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，A * 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =1 因为 为 A * 的属于特征值 3 =1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值 3 =2的特征向量，令 = 3 令 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以x 1 x 2 +x 3 =0，则 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的线性无关的特征向量为 )解析：24.某流水线上产品不合格的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 PX=k=(1p) k-1 p(k=1，2，) )解析：25.设总体 X 的分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)总体 X 的分布律为 ()E(X)=12+3(13)=37， ()似然函数为 L()= 3 (2) 5 (13) 2 ， lnL()=3ln+5ln2+2In(13)， )解析：