【考研类试卷】考研数学（数学二）-试卷3及答案解析.doc

1、考研数学（数学二）-试卷 3 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 g(x)= 则 gf(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 （分数：2.00）A.x=0 必是 g(x)的第一类间断点B.x=0 必是 g(x)的第二类间断点C.x=0 必是 g(x)的连续点D.g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关4.设 f “ (x)在a，b上连续，且 f “ (a)0，f “ (b)0，则下列结论

2、中错误的是( )（分数：2.00）A.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(a)B.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得(x 0 )f(b)C.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f “ (x 0 )=0D.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )=05.二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的下面 4 条性质：()连续；()两个偏导数连续；()可微；()两个偏导数存在，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.xf(x 2 )B.-xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.-2xf(x

3、2 )7.设 F(x)是 f(x)在区间(a，b)内的一个原函数，则 F(x)+f(x)在区间(a，6)内( )（分数：2.00）A.可导B.连续C.存在原函数D.是初等函数8.设 a 1 ，a 2 ，a 3 是四元非齐次方程组 Ax=b 的三个解向量，且秩 r(A)=3，a 1 =(1，2，3，4) T ，a 2 +a 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D

4、.既非充分也非必要条件二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=sinx，0x/2，t 为 1 时，图中阴影部分的面积 S 1 与 S 2 之和 S 最小? （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0 且 f “ (0)=b，若函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_14.x 3 e x2 dx 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+4x q x 2

5、 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 经正交变换*=Py 可化成标准形 f=6y 1 2 ，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 a 1 =2，a n+1 =1/2(a n + 1/a n )(n=1，2，)，证明 （分数：2.00）_18.求函数 I(x)= （分数：2.00）_19.求极限 （分数：2.00）_20.试证明函数 f(x)= （分数：2.00）_21.设曲线三位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为

6、 A，已知MA=OA，且上，经过点(3/2，3/2)，求 L 的方程（分数：2.00）_22.设 y=sinf(x) 2 ，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：2.00）_23.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需要定仪器的下沉深度)，(从海平面算起与下沉速度v 之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉。在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为后(k0)，试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)（分数：2.00）_24.已知线性方程组 （分数：2.00）

7、_25.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3，矩阵 A 的属于特征值 1、2 的特征向量分别是 a 1 =(-1，-1，1) T ，a 2 =(1，-2，-1) T ()求 A 的属于特征值 3 的特征向量； ()求矩阵 A（分数：2.00）_考研数学（数学二）-试卷 3 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 g(x)= 则 gf(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由已知 gf(x)= 由 f(x)0，知

8、x0 且 f(x)=-x；由 f(x)0，知 x0 且 f(x)=x 2 ； 从而 gf(x)= 3.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 （分数：2.00）A.x=0 必是 g(x)的第一类间断点B.x=0 必是 g(x)的第二类间断点C.x=0 必是 g(x)的连续点D.g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关 解析：解析：本题考查连续性及间断点的定义由题设，4.设 f “ (x)在a，b上连续，且 f “ (a)0，f “ (b)0，则下列结论中错误的是( )（分数：2.00）A.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(a)B.至少存在一点 x 0 (a，b)

9、，使得(x 0 )f(b)C.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f “ (x 0 )=0D.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )=0 解析：解析：由已知，f “ (a)0，则 ，从而存在 1 0， 当 x(a，a+ 1 )时，f(x)f(a)；f “ (b)0，则 5.二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的下面 4 条性质：()连续；()两个偏导数连续；()可微；()两个偏导数存在，则( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续，则 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微， f(x，

10、y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续，所以() () 6.设函数 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.xf(x 2 ) B.-xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.-2xf(x 2 )解析：解析：因 d/dx 0 x tf(t 2 )dt=xf(x 2 )，故选(A)7.设 F(x)是 f(x)在区间(a，b)内的一个原函数，则 F(x)+f(x)在区间(a，6)内( )（分数：2.00）A.可导B.连续C.存在原函数 D.是初等函数解析：解析：因 F(x)是 f(x)在区间(a，b)内的一个原函数，故 F “ (x)=f(x)， 因此

11、 F(x)在区间a，b内连续，于是 F(x)在区间a，b内存在原函数， 因此 F(x)+f(x)在区间(a，b)内存在原函数，选(C)8.设 a 1 ，a 2 ，a 3 是四元非齐次方程组 Ax=b 的三个解向量，且秩 r(A)=3，a 1 =(1，2，3，4) T ，a 2 +a 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题设，Ax=b 的系数矩阵 A 的秩为 3， 因此 Ax=0 的基础解系中只含一个解向量，由于已知Aa 1 =b，Aa 2 =b，Aa 3 =b， 从而 A(2a 1 )-

12、A(a 2 +a 3 )=2b-2b=0，则 A(2a 1 -a 2 -a 3 )=0， 即 2a 1 -a 2 -a 3 =(2，3，4，5) 1 是 Ax=0 的解，且(2，3，4，5) 1 0， 因而可作为 Ax=0 的基础解系，所以Ax=b 的通解为 9.n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值，则一定有 n 个线性无关的特征向量，从而必相似于对角矩阵，但反之不成立因此 n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特

13、征值是 A 与对角矩阵相似的充分而非必要条件故应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5/24）解析：解析：原式= 故原式11.设 y=sinx，0x/2，t 为 1 时，图中阴影部分的面积 S 1 与 S 2 之和 S 最小? （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：/4）解析：解析：12.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0 且 f “ (0)=b，若函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：b+a）解析：解析：由于 F(x)在 x=0 连续， 故 A=F(0

14、)=13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：按照参数方程求导得切线斜率，代入点斜式即得切线方程 当 t=2 时，x 0 =5，y 0 =8，且 可知过曲线 14.x 3 e x2 dx 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：被积函数为幂函数与指数函数的乘积，因此采用分部积分法，将幂函数看作 u15.已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+4x q x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 经正交变换*=Py 可化成标准形 f=6y 1 2 ，则 a=

15、1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为二次型 x T Ax 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值，又因为a ii = i ，所以 a+a+a=6+0+0=a=2三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 a 1 =2，a n+1 =1/2(a n + 1/a n )(n=1，2，)，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以a n n=1 单调减少，而 a n 0，即a n n=1

16、 是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则， 存在设 )解析：18.求函数 I(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 知 I(x)在区间e，e 2 上单调增加，故在 x=e 2 处取得最大值，其最大值为 )解析：19.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：20.试证明函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=e xln(1+1/x) ，有 f “ (x)= 只需证明，对于任意 x(0，+)，方括号中的值大于 0 记 ，则对于任意 x(0，+)，有 故函数 g(x)在(0，+)上单调减少，由于 可见，对于任意 x(0，+)

17、，有 g(x)= )解析：21.设曲线三位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且上，经过点(3/2，3/2)，求 L 的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y “ (X-x) 令 X=0，则 Y=y-xy “ ，故A 点的坐标为(0，y-xy “ )， 由MA=OA，得y-xy “ = 则 所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y= )解析：22.设 y=sinf(x) 2 ，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：dy/dx

18、=cosf(x 2 )f “ (x 2 )*2x=2xf “ (x 2 )cosf(x 2 )， d 2 /dx 2 =2f “ (x 2 )cosf(x 2 )+4x 2 f “ (x 2 )cosf(x 2 )-4x 2 f “ (x 2 ) 2 sinf(x 2 )解析：23.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需要定仪器的下沉深度)，(从海平面算起与下沉速度v 之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉。在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为后(k0)，试建立 y 与 v 所

19、满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，建立坐标系，取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴竖直向下为正，由已 知仪器重力为 mg，浮力为-B，阻力为-kV= 根据牛顿第二定律， =mg-B-kV (1) ，此为可分离变量的微分 方程，分离变量得 两边积分得 由初始条件 可求出 所以 )解析：24.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()考虑方程组的增广矩阵 因此，当 b-3a=0 且 2-2a=0 即 a=1，且 b=3 时，方程组的系数矩阵与增广矩阵的 秩相等，故 a=1，b=3 时，方程组有解 ()当 a=1，b=3，

20、有 因此，原方程组的同解方程组为 得导出组的基础解系为 ()令 x 3 =x 4 =x 5 =0，得原方程组的特解 于是原方程组的全部解为 )解析：25.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3，矩阵 A 的属于特征值 1、2 的特征向量分别是 a 1 =(-1，-1，1) T ，a 2 =(1，-2，-1) T ()求 A 的属于特征值 3 的特征向量； ()求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设，实对称矩阵 A 的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正 交，设A 的属于特征值 3 的特征向量为 a 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 a 1 T a 3 =0 且 a 2 T a 3 =0， 写成线性方程组的形式为 ，其中 C 为任意非零 常数，所以 A 的属于特征值 3 的特征向量为 a 3 =C(1，0，1) T ()由于实对称阵必可对角化，即存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP= 且由前述可令 因此 先求出 P -1 = 则 A= )解析：