【考研类试卷】考研数学（数学二）模拟试卷445及答案解析.doc

1、考研数学（数学二）模拟试卷 445 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)满足 f(x)+xf(x) 2 =sin x，且 f(0)=0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凹的，在右侧邻域是凸的D.曲线 y= f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凸的，在右侧邻域是凹的3.下列命题： 设 均存在，则 f(x)在 x=x 0 处必连续； 设

2、 f ( x 0 )与 f + ( x 0 )均存在，则 f(x)在 x=x 0 处必连续； 设 f(x 0 )与 f(x 0 + )均存在，则 f(x)在 x=x 0 处必连续； 设 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.设区域 ，其中常数 ab0D 1 是 D 在第一象限的部分，f(x，y)在 D 上连续，等式 （分数：2.00）A.f(x，y)=f(x，y)B.f(x，y)=f(x，y)C.f(x， y)=f(x，y)=f(x，y)D.f(x， y)=f(x，y)= f(x，y)5.设 f(x)在(，+)上连续且严格单调增加，f(0)=0，常数 n 为正奇数，并设 F(x)= （

3、分数：2.00）A.F(x)在(，0)内严格单调增加，在(0，+)内也严格单调增加B.F(x)在(，0)内严格单调增加，在(0，+)内严格单调减少C.F(x)在(，0)内严格单调减少，在(0，+)内严格单调增加D.F(x)在(，0)内严格单调减少，在(0，+)内也严格单调减少6.设 f(x)在区间(，+)上连续，且满足 f(x)= 0 x f(xt)sintdt+x则在(，+)上，当x0 时，f(x) ( )（分数：2.00）A.恒为正B.恒为负C.与 x 同号D.与 x 异号7.设 f(x)在(，+)上连续，下述命题： 若对任意 a， a a f(x)dx=0，则 f(x)必是奇函数； 若对

4、任意 a， a a f(x)dx=2 0 a f(x)dx，则 f(x)必是偶函数； 若 f(x)为周期为 T 的奇函数，则 F(x)= 0 x f(t)dt 也具有周期 T 正确的个数是 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 （分数：2.00）A.当 a=1 时，必有 r(A)=1B.当 a1 时，必有 r(A)=2C.当 a=2 时，必有 r(A)=1D.当 a2 时，必有 r(A)=29.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 +a 2 2 3 均是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则对应齐次线性方程组 Ax=0 有解 ( )（分

5、数：2.00）A. 1 =2 1 +a 2 + 3 B. 2 =2 1 +3 2 2a 3 C. 3 =a 1 +2 2 3 D. 4 =3 1 2a 2 + 3 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.函数 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 f(x)=b， f(x)=0，其中 a，b 均为常数，则（分数：2.00）填空项 1:_12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.设常数 a0，双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 y 2 )围成的平面区域记为 D，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 ，其

6、中 f，g 均可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1 2 3 ，则 B=( 1 EA)( 2 EA)( EA)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 f(x)在区间0，+)上可导，f(0)=0，g(x)是 f(x)的反函数，且 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1 求 f(x)，并要求证明：得出来的 f(x)在区间0，+)上的确存在反函数（分数：2.00）_18.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 x+y)，

7、计算二重积分 （分数：2.00）_19.设 a 为常数，讨论两曲线 y=e x 与 （分数：2.00）_设微分方程 xy+2y=2(e x 1)（分数：4.00）(1).求上述微分方程的通解，并求使 y(x)存在的那个解(将该解记为 y 0 (x)，以及极限值 （分数：2.00）_(2).补充定义之后使 y 0 (x)在 x=0 处连续，求 y 0 (x)，并请证明：无论 x=0 还是 x0，y 0 (x)均连续（分数：2.00）_20.设 x 与 y 均大于 0且 xy，证明： （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).证明 f(x)在 x=0 处连续；

8、（分数：2.00）_(2).求区间(1，+)上的 f(x)，并由此讨论区间(1，+)上 f(x)的单调性（分数：2.00）_22.(1)设 A 是 n 阶方阵，满足 A 2 =A，证明 A 相似于对角阵； (2)设 （分数：2.00）_23.(1)设 n 元实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax，其中 A 又特征值 1 ， 2 ， n ，且满足 1 2 n 证明对任何 n 维列向量 x，有 1 x T x 2 x T x n x T x (2)设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) （分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 445 答

9、案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)满足 f(x)+xf(x) 2 =sin x，且 f(0)=0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凹的，在右侧邻域是凸的D.曲线 y= f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凸的，在右侧邻域是凹的 解析：解析：由 f(x)+xf(x) 2 =sinx，有 f(0)=0，再求导得 f“(x)+ f(x

10、) 2 +2xf(x)f(0)=cosx，f“(0)=1 所以 由极限的局部保号性知存在 x=0 的去心邻域 3.下列命题： 设 均存在，则 f(x)在 x=x 0 处必连续； 设 f ( x 0 )与 f + ( x 0 )均存在，则 f(x)在 x=x 0 处必连续； 设 f(x 0 )与 f(x 0 + )均存在，则 f(x)在 x=x 0 处必连续； 设 （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析：f(x 0 )存在，即 f(x)在 x=x 0 处左导数存在，推知 f(x)在 x=x 0 处左连续；f(x 0 )存在，推知 f(x)在 x=x 0 处右连续故 f(x)在 x

11、=x 0 处连续，正确 与都不正确因为这两种情形f (x 0 )可能没有定义 也不正确反例： 4.设区域 ，其中常数 ab0D 1 是 D 在第一象限的部分，f(x，y)在 D 上连续，等式 （分数：2.00）A.f(x，y)=f(x，y)B.f(x，y)=f(x，y)C.f(x， y)=f(x，y)=f(x，y)D.f(x， y)=f(x，y)= f(x，y) 解析：解析：当 C 成立时，f(x，y)关于 x 和 y 都是奇函数积分应为零，而题中未说 类似地，可知，也不选 A，B 当 D 成立时，f(x，y)关于 x 和 y 分别都是偶函数，将 D 在第一、二象限中的部分分别记为 D 1 ，

12、D 2 ， 于是 5.设 f(x)在(，+)上连续且严格单调增加，f(0)=0，常数 n 为正奇数，并设 F(x)= （分数：2.00）A.F(x)在(，0)内严格单调增加，在(0，+)内也严格单调增加B.F(x)在(，0)内严格单调增加，在(0，+)内严格单调减少C.F(x)在(，0)内严格单调减少，在(0，+)内严格单调增加D.F(x)在(，0)内严格单调减少，在(0，+)内也严格单调减少 解析：解析： 6.设 f(x)在区间(，+)上连续，且满足 f(x)= 0 x f(xt)sintdt+x则在(，+)上，当x0 时，f(x) ( )（分数：2.00）A.恒为正B.恒为负C.与 x 同

13、号 D.与 x 异号解析：解析：令 xt=u，作积分变量代换，得 f(x)= x 0 sin(xu)d(u)+x= 0 x f(u) sin(xu)d(u)+x =sinx 0 x f(u)cosuducosx 0 x f(u)sinudu+x， f(x)=cosx 0 x f(u)cosudu+sinxcosxf(x)+sinx 0 x f(u)sinuducosxsinxf(x)+1 = cosx 0 x f(u)cosudu+sinx 0 x f(u)sinudu+1， f(x)=sinx 0 x f(u)cosudu+cos 2 f(x)+ cosx 0 x f(u)sinudu+si

14、n 2 f(x) =f(x)f(x)+x， 所以 又因 f(0)=0，f(0)=1，所以 C 1 =1，所以 C 2 =0从而 7.设 f(x)在(，+)上连续，下述命题： 若对任意 a， a a f(x)dx=0，则 f(x)必是奇函数； 若对任意 a， a a f(x)dx=2 0 a f(x)dx，则 f(x)必是偶函数； 若 f(x)为周期为 T 的奇函数，则 F(x)= 0 x f(t)dt 也具有周期 T 正确的个数是 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：是正确的记 F(a)= a a f(x)dx，有 F(a)=f(a)+f(a) 由于 F(a) 0，所

15、以F(a)0，即 f(a)= f(a)，f(x)为奇函数 是正确的记 F(a)= a a f(x)dx2 0 a f(x)dx，F(a)=f(a)+f(a)2f(a)0，所以 f(a)=f(a)，f(x)为偶函数 8.设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 （分数：2.00）A.当 a=1 时，必有 r(A)=1B.当 a1 时，必有 r(A)=2C.当 a=2 时，必有 r(A)=1 D.当 a2 时，必有 r(A)=2解析：解析：9.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 +a 2 2 3 均是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则对应齐次线性方程组 Ax=0 有解 ( )（分数：2.0

16、0）A. 1 =2 1 +a 2 + 3 B. 2 =2 1 +3 2 2a 3 C. 3 =a 1 +2 2 3 D. 4 =3 1 2a 2 + 3 解析：解析：由题设条件 A i =b，i=1，2，3 及 A( 1 +a 2 2 3 )=b+ab2b=b，得(1+a2)b=b，b0，即 1+a2=1，故 a=2 当 a=2 时，看是否满足 A i =0，i=1，2，3，4 A 1 = A(2 1 +2 2 + 3 )=5b0， A 2 = A(2 1 +3 2 4 3 )=3b0， A 3 = A(2 1 +2 2 3 )=3b0， A 4 = A(3 1 4 2 + 3 )=0 故 4

17、 是对应齐次方程组 Ax=0 的解，故应选 D二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：应先写出 f(x)的表达式 故知 f(x)有且仅有两个间断点11.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 f(x)=b， f(x)=0，其中 a，b 均为常数，则（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：取常数 h0，在区间x，x+h上用泰勒公式： f(x+h)=f(x)+f(x)(x+hx)+ f()(x+hx) 2 ，a f()h 2 当 x+时有 +，并且由已知 12. 1 （分数：

18、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln 2）解析：解析：13.设常数 a0，双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 y 2 )围成的平面区域记为 D，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于被积函数及积分区域 D 关于两坐标轴都对称，所以14.设 ，其中 f，g 均可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xyf 1）解析：解析：因为15.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1 2 3 ，则 B=( 1 EA)( 2 EA)( EA)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）

19、解析：解析：因 A 有三个不同的特征值，故 A 有三个线性无关的特征向量，设为 1 ， 2 ， 3 ，则有可逆矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )，使得 ， 代入 B，得 三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 f(x)在区间0，+)上可导，f(0)=0，g(x)是 f(x)的反函数，且 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1 求 f(x)，并要求证明：得出来的 f(x)在区间0，+)上的确存在反函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f

20、(t)dt=xe x e x +1 两边对 x 求导，得 gf(x)f(x)+f(x)=xe x 由于 gf(x)=x，上式成为 xf(x)+ f(x)=xe x 当 x0 时，上式可以写为 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 由 f(x)在 x=0 处可导且 f(0)=0，得 当且仅当 C=1 时上式成立，所以 下面证明上面得到的 f(x)在区间0，+)上的确存在反函数由所得到的表达式 f(x)在区间0，+)上连续，所以只要证明 f(x)在(0，+)上单调即可由 )解析：18.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 x+y)，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作直线 y

21、=x，将 D 分成两部分D 1 =(x，y)|yx，(x，y)D，D 2 (x，y)|yx，(x，y)D仅在 y=x(x，y)D)处为 D 1 与 D 2 的公共区域，不影响二重积分的值 )解析：19.设 a 为常数，讨论两曲线 y=e x 与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 a=0，则易知 y=e x 与 y=0 无公共点，以下设 a0讨论 y=e x 与 交点的个数，等同于讨论方程 的根的个数，亦即等同于讨论函数 f(x)=xe x a 的零点个数 得唯一驻点 x 0 =1当 x1 时，f(x)0所以 minf(x)=f(1)=e 1 a 又 )解析：设微分方程 xy+2y=

22、2(e x 1)（分数：4.00）(1).求上述微分方程的通解，并求使 y(x)存在的那个解(将该解记为 y 0 (x)，以及极限值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时原方程化为 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 其中 C 为任意常数 由上述表达式可知， 存在的必要条件是 当 C=2 时，对应的 y(x)记为 )解析：(2).补充定义之后使 y 0 (x)在 x=0 处连续，求 y 0 (x)，并请证明：无论 x=0 还是 x0，y 0 (x)均连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 而当 x0 时 y 0 (x)在 x=0 处连续，又 y(x)在 x0 处也

23、连续(初等函数)故无论 x=0 还是 x0， )解析：20.设 x 与 y 均大于 0且 xy，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨认为 yx0因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与 y，由行列式性质知，左式的值不变 由柯西中值定理，存在一点 (x， y)，使得上式 记 f(u)=e u ue u ，有 f(0)=1，当 u0 时，f(u)= ue u 0，所以 f(u) e 1，于是证得 )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将题给积分拆成两项并将第 1 项交换积分次序： 下面来计算 由于当0x1 时，e x 2 1，则 所以 于是可以用洛必达法则

24、计算下面极限： )解析：设 （分数：4.00）(1).证明 f(x)在 x=0 处连续；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设当 x(1，+)，但 x0 时 所以 )解析：(2).求区间(1，+)上的 f(x)，并由此讨论区间(1，+)上 f(x)的单调性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 下面求区间(1，+)上 x0 处的 f(x)： 为讨论 f(x)的符号，取其分子记为 g(x)，即令 g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ，有 g(0)=0 g(x)=2ln (1+x)+ ln 2 (1+x)2x，有 g(0)=0 当1x+，但 x0 时， 由泰勒公式有当1x

25、+，但 x0 时， 介于 0 与 x 之间 所以当1x+但 x0 时，f(x)0又由 )解析：22.(1)设 A 是 n 阶方阵，满足 A 2 =A，证明 A 相似于对角阵； (2)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题设 A 2 =A，故 A 2 A=A(AE)=(AE)A=O，故 r(A)+r(AE)n 又 r(A)+r(AE)=r(A)+r(EA)r(A+EA)=r(E)=n， 故 r(A)+r(AE)=n 设 r(A)=r，r(AE)=nr 因(AE)A=O，r(A)=r，A 中 r 个线性无关列向量是 A 的对应于特征值 =1 的特征向量，设为 1 ， 2 ， r

26、又 A(AE)=O，r(AE)=nr，AE 中 nr 个线性无关列向量是 A 的对应于特征值=0 的特征向量，记为 1 ， 2 ， 3 ， nr ，不同特征值对应的特征向量线性无关 故取 P= ( 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， nr )，P 可逆，且 (2) 满足上一题的条件，由上知 r(A)=1，A 的线性无关列向量 是 A 的对应于特征值 =1 的特征向量 r(AE)=2， 的线性无关列向量 是 A 的对应于特征值 =0 的特征向量 )解析：23.(1)设 n 元实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax，其中 A 又特征值 1 ， 2 ， n ，且满足 1 2

27、n 证明对任何 n 维列向量 x，有 1 x T x 2 x T x n x T x (2)设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f(x 1 ，x 2 ，x 3 )是实二次型，有正交变换 x=Qy，其中 Q 是正交矩阵，使得 因 1 2 n ，故得 1 (y 1 2 +y 2 2 + y n 2 ) 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + n y n 2 n (y 1 2 +y 2 2 + y n 2 ) 因 x=Qy，其中 Q 是正交阵，Q T Q=E，故 x T x=(Qy) T Qy=y T Q T Qy= y T y， 故有 1 x T xx T Ax n x T x (2) )解析：