2014年辽宁省本溪市中考真题数学.docx

1、2014 年辽宁省本溪市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分 ) 1.(3 分 )- 的倒数是 ( ) A. -4 B. 4 C. D. - 解析 ： - 的倒数是 -4， 答案： A. 2.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. 2a3+a2=3a5 B. (3a)2=6a2 C. (a+b)2=a2+b2 D. 2a2 a3=2a5 解析 ： A、 2a3与 a2不是同类项不能合并，故 A 选项错误； B、 (3a)2=9a2，故 B 选项错误； C、 (a+b)2=a2+2ab+b2，故 C 选项错误； D、 2a2 a3=2a5，故 D 选项

2、正确， 答案： D. 3.(3 分 )如图的几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从上面看得到右下角少了一部分的正方形，并且右边的边少的与剩下的差不多 . 答案： D. 4.(3 分 )如图， ABCD ， AD与 BC 相交于点 O， B=30 ， D=40 ，则 AOC 的度数为 ( ) A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 解析 ： ABCD ， A=D=30 ， 再由三角形的外角的性质得， AOC=A+B=70 . 答案： B. 5.(3 分 )如图，在 ABCD 中， AB=4， BC=6， B=30 ，则此平行四边形的面积是 ( ) A. 6 B.

3、12 C. 18 D. 24 解析 ： 过点 A 作 AEBC 于 E， 直角 ABE 中， B=30 ， AE= AB= 4=2 ， 平行四边形 ABCD 面积 =BC AE=62=12 ， 答案： B. 6.(3 分 )某中学排球队 12 名队员的年龄情况如下表： 则这个队员年龄的众数是 ( ) A. 12 岁 B. 13 岁 C. 14 岁 D. 15 岁 解析 ： 数据 14 出现了 5 次，出现次数最多，故 14 为众数， 答案： C. 7.(3 分 )底面半径为 4，高为 3 的圆锥的侧面积是 ( ) A. 12 B. 15 C. 20 D. 36 解析 ： 圆锥的底面半径为 3，

4、高为 4， 母线长为 5， 圆锥的侧面积为： rl=45=20 ， 答案： C. 8.(3 分 )若实数 a， b 满足 ab 0，且 a b，则函数 y=ax+b 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： ab 0，且 a b， a 0， b 0， 函数 y=ax+b 的图象经过第二、四象限，且与 y 轴的交点在 x 轴上方 . 答案： A. 9.(3 分 )如图，已知 ABC 和 ADE 均为等边三角形， D 在 BC 上， DE 与 AC 相交于点 F， AB=9，BD=3，则 CF 等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： 如图， ABC 和 ADE

5、 均为等边三角形， B=BAC=60 ， E=EAD=60 ， B=E ， BAD=EAF ， ABDAEF ， AB ： BD=AE： EF. 同理： CDFEAF ， CD ： CF=AE： EF， AB ： BD=CD： CF，即 9： 3=(9-3)： CF， CF=2 . 答案： B. 10.(3 分 )如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y= (x 0)的图象上，已知点 B 的坐标是 ( ， )，则 k 的值为 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 解析 ： 如图，过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 D 作 DFy

6、轴于 F， 在正方形 ABCD 中， AB=AD， BAD=90 ， BAE+DAF=90 ， DAF+ADF=90 ， BAE=ADF ， 在 ABE 和 DAF 中， ， ABEDAF (AAS)， AF=BE ， DF=AE， 正方形的边长为 2， B( ， )， BE= ， AE= = ， OF=OE+AE+AF= + + =5， 点 D 的坐标为 ( ， 5)， 顶点 D 在反比例函数 y= (x 0)的图象上， k=xy= 5=8 . 答案： C. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 ) 11.(3 分 )目前发现一种病毒直径约是 0.0000252 米，将

7、 0.0000252 用科学记数法表示为 . 解析 ： 0.0000252=2.5210 -5米 . 答案： 2.5210 -5. 12.(3 分 )因式分解： a3-4a= . 解析 ： a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2). 答案： a(a+2)(a-2). 13.(3 分 )一个数的算术平方根是 2，则这个数是 . 解析 ： 4 的算术平方根为 2， 答案： 4 14.(3 分 )在一个不透明的盒子中放入标号分别为 1， 2， ， 9 的形状、大小、质地完全相同的 9 个球，充分混合后，从中取出一个球，标号能被 3 整除的概率是 . 解析 ： 根据题意可知，共有 9 个球，

8、能被 3 整除的有 3 个， 故标号能被 3 整除的概率为 = ， 答案： . 15.(3 分 )在 ABC 中， B=45 ， cosA= ，则 C 的度数是 . 解析 ： 在 ABC 中， cosA= ， A=60 ， C=180 -A -B=180 -60 -45=75 . 答案： 75 16.(3 分 )关于 x， y 的方程组 的解是 ，则 |m+n|的值是 . 解析 ： 将 x=1， y=3 代入方程组得： ，解得： m=-1， n=-2，则 |m+n|=|-1-2|=|-3|=3. 答案： 3 17.(3 分 )已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0，从 -1， 2，

9、3 三个数中任取一个数，作为方程中 b 的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中 c 的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是 . 解析 ： 画树状图为： ， 共有 6 种等可能的结果数， 因为 b2-4c0 ，所以能使该一元二次方程有实数根占 3 种， b=2， c=-1； b=3， c=-1； b=3， c=2， 所以能使该一元二次方程有实数根的概率 = = . 答案： . 18.(3 分 )如图，已知 AOB=90 ，点 A 绕点 O 顺时针旋转后的对应点 A1落在射线 OB 上，点A 绕点 A1顺时针旋转后的对应点 A2落在射线 OB 上，点 A 绕点 A2顺时针旋转后的对应点 A

10、3落在射线 OB 上， ，连接 AA1， AA2， AA3 ，依此作法，则 AA nAn+1等于 度 .(用含 n 的代数式表示， n 为正整数 ) 解析 ： 点 A 绕点 O 顺时针旋转后的对应点 A1落在射线 OB 上， OA=OA 1， AA 1O= ， 点 A绕点 A1顺时针旋转后的对应点 A2落在射线 OB上， A 1A=A1A2， AA 2A1= AA 1O= ， 点 A 绕点 A2顺时针旋转后的对应点 A3落在射线 OB上， A 2A=A2A3， AA 3A2= AA 2A1= ， AA nAn-1= ， AA n+1An=180 - . 答案： 180- . 三、解答题 (第

11、19 题 10 分，第 20 题 12分，共 22 分 ) 19.(10 分 )先化简，再求值： ( - ) ，其中 x=( )-1-( -1)0+ . 解析 ： 先计算括号内的分式的减法，把分式除法转化为乘法运算进行化简 .最后代入求值 . 答案： 原式 = - ， = ， = . x=( )-1-( -1)0+ ， =2-1+ =1+ ， 则原式 = = +1. 20.(12 分 )某中学对全校 1200 名学生进行 “ 校园安全知识 ” 的教育活动，从 1200 名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为 A、 B、 C、 D 四个等级，绘制了图 、图 两幅不完整的

12、统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： (1)求本次被抽查的学生共有多少人？ (2)将条形统计图和扇形统计图补充完整； (3)求扇形统计图中 “A” 所在扇形圆心角的度数； (4)估计全校 “D” 等级的学生有多少人？ 解析 ： (1)根据 A 等级有 12 人，占 20%，即可求得抽查的总人数； (2)根据百分比的定义求得 B、 D 所占的百分比，以及 C、 D 类的人数，即可解答； (3)利用 360 乘以对应的百分比即可求解； (4)利用总人数 1200 乘以对应的百分比 . 答案： (1)1220%=60 (人 )； (2)B 所占的百分比是： 100%=40% ， D 所占的百分比

13、是： 1-20%-40%-30%=10%. C 的个数是： 6030%=18 ， D 的个数是： 6010%=6 . (3)36020%=72 ； (4)120010%=120 (人 ). 答：估计全校 “D” 等级的学生有 120 人 . 四、解答题 (第 21 题 12 分，第 22 题 12分，共 24 分 ) 21.(12 分 )晨光文具店用进货款 1620 元购进 A 品牌的文具盒 40 个， B 品牌的文具盒 60 个，其中 A 品牌文具盒的进货单价比 B 品牌文具盒的进货单价多 3 元 . (1)求 A、 B 两种文具盒的进货单价？ (2)已知 A 品牌文具盒的售价为 23 元

14、/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于 500 元， B品牌文具盒的销售单价最少是多少元？ 解析 ： (1)设 A 品牌文具盒的进价为 x 元 /个，根据晨光文具店用进货款 1620 元，可得出方程，解出即可； (2)设 B 品牌文具盒的销售单价为 y 元，根据全部售完后利润不低于 500 元，可得出不等式，解出即可 . 答案： (1)设 A 品牌文具盒的进价为 x 元 /个， 依题意得： 40x+60(x-3)=1620，解得： x=18， x-3=15. 答： A 品牌文具盒的进价为 18 元 /个， B 品牌文具盒的进价为 15 元 /个 . (2)设 B 品牌文具盒的销售单价为 y

15、元， 依题意得： (23-18)40+60 (y-15)500 ，解得： y20 . 答： B 品牌文具盒的销售单价最少为 20 元 . 22.(12 分 )如图，已知在 RtABC 中， B=30 ， ACB=90 ，延长 CA到 O，使 AO=AC，以O 为圆心， OA 长为半径作 O 交 BA 延长线于点 D，连接 CD. (1)求证： CD 是 O 的切线； (2)若 AB=4，求图中阴影部分的面积 . 解析 ： (1)连接 OD，求出 OAD=60 ，得出等边三角形 OAD，求出 AD=OA=AC， ODA=O=60 ，求出 ADC=ACD= OAD=30 ，求出 ODC=90 ，根

16、据切线的判定得出即可； (2)求出 OD，根据勾股定理求出 CD 长，分别求出三角形 ODC 和扇形 AOD 的面积，相减即可 . 答案： (1)连接 OD， BCA=90 ， B=30 ， OAD=BAC=60 ， OD=OA ， OAD 是等边三角形， AD=OA=AC ， ODA=O=60 ， ADC=ACD= OAD=30 ， ODC=60+30=90 ，即 ODDC ， OD 为半径， CD 是 O 的切线； (2)AB=4 ， ACB=90 ， B=30 ， OD=OA=AC= AB=2， 由勾股定理得： CD= = =2 ， S 阴影 =SODC -S 扇形 AOD= 22 -

17、=2 - . 五、解答题 (满分 12 分 ) 23.(12 分 )某海域有 A、 B、 C 三艘船正在捕鱼作业， C 船突然出现故障，向 A、 B 两船发出紧急求救信号，此时 B 船位于 A 船的北偏西 72 方向，距 A 船 24 海里的海域， C船位于 A船的北偏东 33 方向，同时又位于 B 船的北偏东 78 方向 . (1)求 ABC 的度数； (2)A 船以每小时 30 海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点 .(结果精确到 0.01 小时 ). (参考数据： 1.414 ， 1.732 ) 解析 ： (1)根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到 DBA 的度数，则 ABC 即

18、可求得； (2)作 AHBC 于点 H，分别在直角 ABH 和直角 ACH 中，利用三角函数求得 BH 和 CH 的长，则 BC 即可求得，进而求得时间 . 答案： (1)BDAE ， DBA+BAE=180 ， DBA=180 -72=108 ， ABC=108 -78=30 ； (2)作 AHBC ，垂足为 H， C=180 -72 -33 -30=45 ， ABC=30 ， AH= AB=12， sinC= ， AC= = =12 . 则 A 到出事地点的时间是： 0.57 小时 . 答：约 0.57 小时能到达出事地点 . 六、解答题 (满分 12 分 ) 24.(12 分 )国家推行

19、 “ 节能减排，低碳经济 ” 政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进 A， B 两种型号的低排量汽车，其中 A 型汽车的进货单价比 B 型汽车的进货单价多 2万元 花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相同，销售中发现 A型汽车的每周销量 yA(台 )与售价 x(万元 /台 )满足函数关系式 yA=-x+20， B 型汽车的每周销量yB(台 )与售价 x(万元 /台 )满足函数关系式 yB=-x+14. (1)求 A、 B 两种型号的汽车的进货单价； (2)已知 A 型汽车的售价比 B 型汽车的售价高 2 万元 /台，设 B 型汽车售价为 t 万元

20、/台 .每周销售这两种车的总利润为 W 万元，求 W 与 t 的函数关系式， A、 B 两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？ 解析 ： (1)利用花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B型汽车的数量相等，进而得出等式求出即可； (2)分别表示出两种汽车的利润进而得出函数关系式求出最值即可 . 答案： (1)设 A 种型号的汽车的进货单价为 m 万元， 依题意得： = ，解得： m=10，检验： m=10 时， m0 ， m-20 ， 故 m=10 是原分式方程的解，故 m-2=8. 答： A 种型号的汽车的进货单价为 10 万元

21、， B 种型号的汽车的进货单价为 8 万元； (2)根据题意得出： W=(t+2-10)-(t+2)+20+(t-8)(-t+14)=-2t2+48t-256， =-2(t-12)2+32， a= -2 0，抛物线开口向下， 当 t=12 时， W 有最大值为 32， 12+2=14， 答： A 种型号的汽车售价为 14 万元 /台， B 种型号的汽车售价为 12 万元 /台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是 32 万元 . 七、解答题 (满分 12 分 ) 25.(12 分 )如图，在 ABC 和 ADE 中， AB=AC， AD=AE， BAC+EAD=180 ， ABC 不动

22、，ADE 绕点 A 旋转，连接 BE、 CD， F 为 BE 的中点，连接 AF. (1)如图 ，当 BAE=90 时，求证： CD=2AF； (2)当 BAE90 时， (1)的结论是否成立？请结合图 说明理由 . 解析 ： (1)因为 AF 是直角三角形 ABE 的中线，所以 BE=2AF，然后通过 ABEACD 即可求得 . (2)延长 EA 交 BC 于 G，在 AG 上截取 AH=AD，证出 ABHACD 从而证得 BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得 BH=2AF，即可求得 . 答案： (1)如图 ， BAC+EAD=180 ， BAE=90 ， DAC=90 ，

23、 在 ABE 与 ACD 中 ， ABEACD (SAS)， CD=BE ， 在 RtABE 中， F 为 BE 的中点， BE=2AF ， CD=2AF . (2)成立， 证明：如图 ，延长 EA 交 BC 于 G，在 AG 上截取 AH=AD， BAC+EAD=180 ， EAB+DAC=180 ， EAB+BAH=180 ， DAC=BAH ， 在 ABH 与 ACD 中， ， ABHACD (SAS)， BH=DC ， AD=AE ， AH=AD， AE=AH ， EF=FB ， BH=2AF ， CD=2AF . 八、解答题 (满分 14 分 ) 26.(14 分 )如图，直线 y=

24、x-4与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C，连接 BC. (1)求抛物线的解析式及点 C 的坐标； (2)点 M 在抛物线上，连接 MB，当 MBA+CBO=45 时，求点 M 的坐标； (3)点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 由 C向 A运动，同时点 Q从点 B出发，沿线段 BC由 B向 C运动， P、 Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C 点时， P、 Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 D，使 P、 Q 运动过程中的某一时刻，以 C、 D、 P、 Q 为顶点的四边形为

25、菱形？若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，说明理由 . 解析 ： (1)首先求出点 A、 B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标； (2)满足条件的点 M 有两种情形，需要分类讨论： 当 BMBC 时，如答图 2-1 所示； 当 BM 与 BC 关于 y 轴对称时，如答图 2-2所示 . (3)CPQ 的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论： 若以 CQ 为菱形对角线，如答图 3-1.此时 BQ=t，菱形边长 =t； 若以 PQ 为菱形对角线，如答图 3-2.此时 BQ=t，菱形边长 =t； 若以 CP 为菱形对角线，如答图 3-3.此时 B

26、Q=t，菱形边长 =5-t. 答案： (1)直线解析式 y=x-4， 令 x=0，得 y=-4； 令 y=0，得 x=4.A (4， 0)、 B(0， -4). 点 A、 B 在抛物线 y= x2+bx+c 上， ，解得 ， 抛物线解析式为： y= x2- x-4. 令 y= x2- x-4=0，解得： x=-3 或 x=4， C (-3， 0). (2)MBA+CBO=45 ，设 M(x， y)， 当 BMBC 时，如答图 2-1 所示 . ABO=45 ， MBA+CBO=45 ，故点 M 满足条件 . 过点 M1作 M1Ey 轴于点 E，则 M1E=x， OE=-y， BE=4+y .

27、tanM 1BE=tanBCO= ， ， 直线 BM1的解析式为： y= x-4. 联立 y= x-4 与 y= x2- x-4， 得： x-4= x2- x-4，解得： x1=0， x2= ， y 1=-4， y2=- ， M 1( ， - )； 当 BM 与 BC 关于 y 轴对称时，如答图 2-2所示 . ABO=MBA+MBO=45 ， MBO=CBO ， MBA+CBO=45 ，故点 M 满足条件 . 过点 M2作 M2Ey 轴于点 E，则 M2E=x， OE=y， BE=4+y . tanM 2BE=tanCBO= ， ， 直线 BM2的解析式为： y= x-4. 联立 y= x-

28、4 与 y= x2- x-4 得： x-4= x2- x-4， 解得 x1=0， x2=5， y 1=-4， y2= ， M 2(5， ). 综上所述，满足条件的点 M 的坐标为： ( ， - )或 (5， ). (3)设 BCO= ，则 tan= ， sin= ， cos= . 假设存在满足条件的点 D，设菱形的对角线交于点 E，设运动时间为 t. 若以 CQ 为菱形对角线，如答图 3-1. 此时 BQ=t，菱形边长 =t.CE= CQ= (5-t). 在 RtPCE 中， cos= = = ，解得 t= .CQ=5 -t= . 过点 Q 作 QFx 轴于点 F， 则 QF=CQ sin=

29、， CF=CQ cos= ， OF=3 -CF= .Q (- ， - ). 点 D1与点 Q 横坐标相差 t 个单位， D 1(- ， - )； 若以 PQ 为菱形对角线，如答图 3-2. 此时 BQ=t，菱形边长 =t. BQ=CQ=t ， t= ，点 Q 为 BC 中点， Q (- ， -2). 点 D2与点 Q 横坐标相差 t 个单位， D 2(1， -2)； 若以 CP 为菱形对角线，如答图 3-3. 此时 BQ=t，菱形边长 =5-t. 在 RtCEQ 中， cos= = = ，解得 t= . OE=3 -CE=3- t= ， D3E=QE=CQ sin= (5- ) = .D 3(- ， ). 综上所述，存在满足条件的点 D，点 D 坐标为： (- ， - )、 (1， -2)或 (- ， ).