1、量子力学 B 卷真题 2007 年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)1.考虑一维阶梯势（分数：30.00）_2.电子处于沿+z 方向、大小为 B 的均匀磁场中。设 t=0 时刻电子自旋沿+y 方向。1试求 t=0 时电子自旋波函数。2试分别求在 t0 时电子自旋沿+z、+y、+z 方向的概率。（分数：30.00）_3.粒子在势场 （分数：30.00）_4.设系统哈密顿算符为 ，粒子处于归一化的束缚定态 n中。试证明 Virial 定理：（分数：30.00）_5.一维谐振子系统哈密顿量为 ，设受到微扰 的作用。试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。(已知矩阵元 （分数：3
2、0.00）_量子力学 B 卷真题 2007 年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)1.考虑一维阶梯势（分数：30.00）_正确答案：(粒子从右边向左入射，所以 EV 0。设：入射波为 ，反射波为 ，透射波为 。其中由波函数及波函数的一阶导数在 x=0 处的连续条件得于是可以得到 由上式可解出反射系数)解析：2.电子处于沿+z 方向、大小为 B 的均匀磁场中。设 t=0 时刻电子自旋沿+y 方向。1试求 t=0 时电子自旋波函数。2试分别求在 t0 时电子自旋沿+z、+y、+z 方向的概率。（分数：30.00）_正确答案：(取 表象，则初态为 。薛定谔方程为由它可以得到联立方程
3、满足初始条件的解为 其中 。于是可求得三个概率分别为)解析：3.粒子在势场 （分数：30.00）_正确答案：(阱内(|x|a) 能量本征值方程为 在 x=0 处 的跃变条件为 在 x0 处，式(1) 可以写成其中 (3) 式的两个特解为 奇宇称解为 (5) 偶宇称解的一般形式为利用跃变条件(2) 及边界条件 可得偶宇称解的能级方程为， )解析：4.设系统哈密顿算符为 ，粒子处于归一化的束缚定态 n中。试证明 Virial 定理：（分数：30.00）_正确答案：(根据算符平均值方程及定态条件得考虑到 将(2) 式代入(1) 式得 Virial 定理： )解析：5.一维谐振子系统哈密顿量为 ，设受到微扰 的作用。试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。(已知矩阵元 （分数：30.00）_正确答案：(将 改写成其中 ，根据量子力学公式得(利用了 Virial 定理 利用 x 的矩阵元公式可得 将(3) 式代入(2) 式中，求得)解析：
