【考研类试卷】数学-不定积分及答案解析.doc

1、数学-不定积分及答案解析(总分：138.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：33.00)1.设 f(lnx)=1+x，则 f(x)等于( )(A) （分数：3.00）A.B.C.D.2.若 ，则不一定成立的是( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)=g(x)(C)df(x)=dg(x) (D) （分数：3.00）A.B.C.D.3.若 f(x)为连续函数，且 ，则下列各式中正确的是( )（分数：3.00）A.B.C.D.4.设 ，且 f(0)=0，则 f(x)等于( )（分数：3.00）A.B.C.D.5. 在区间e，e 2上的最大值为( )（分数：3.00）A.

2、B.C.D.6.已知 设 ，则 F(x)为( )（分数：3.00）A.B.C.D.7.设 f(x)连续，则 等于( )(A) （分数：3.00）A.B.C.D.8. 等于( )(A)f(2)-f(1) (B)3f(2)-f(1)(C) (D) （分数：3.00）A.B.C.D.9.已知 ，则 等于( )(A)F(b-ax)+C (B)(C)aF(b-ax)+C (D) （分数：3.00）A.B.C.D.10.设 f(x)=e-x，则 等于( )(A) (B)lnx+C(C) （分数：3.00）A.B.C.D.11.由 （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：27.00)

3、12.设 e-x是函数 f(x)的一个原函数，则 （分数：3.00）填空项 1:_13.设 f(ex)=1+x，则 f(x)=_（分数：3.00）填空项 1:_14. （分数：3.00）填空项 1:_15.若 （分数：3.00）填空项 1:_16. （分数：3.00）填空项 1:_17.设函数 f(x)在(-，+)上可导，f(1)=1， （分数：3.00）填空项 1:_18.设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 （分数：3.00）填空项 1:_19.设函数 f(x)在(-，+)上连续，则 （分数：3.00）填空项 1:_20.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)

4、0，则方程 在开区间(a，b)内的根有_个（分数：3.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：26，分数：78.00)21.求下列不定积分：（分数：3.00）_22.求 （分数：3.00）_23.用分部积分法计算下列不定积分：（分数：3.00）_24.求 （分数：3.00）_25.求 （分数：3.00）_26.求 （分数：3.00）_27.求 （分数：3.00）_28.求 （分数：3.00）_29.求 （分数：3.00）_30.求 （分数：3.00）_31.求 （分数：3.00）_32.已知 （分数：3.00）_33.设 ，求 （分数：3.00）_34.已知一条曲线上任一点处切线的斜率与该点的

5、横坐标成正比，又知曲线通过点(1，3)并在这点处切线的倾角为 （分数：3.00）_35.求 （分数：3.00）_36.求 （分数：3.00）_37.求 （分数：3.00）_38.求 （分数：3.00）_39.求 （分数：3.00）_40.求 （分数：3.00）_41.求 （分数：3.00）_42.求 （分数：3.00）_43.求 （分数：3.00）_44.求 （分数：3.00）_45.求 （分数：3.00）_46.设 ，试求 （分数：3.00）_数学-不定积分答案解析(总分：138.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：33.00)1.设 f(lnx)=1+x，则 f(x

6、)等于( )(A) （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f(lnx)=1+x=1+elnx知，f(x)=1+e x，则2.若 ，则不一定成立的是( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)=g(x)(C)df(x)=dg(x) (D) （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 由 ，即故有 f(x)=g(x)，df(x)=dg(x)，3.若 f(x)为连续函数，且 ，则下列各式中正确的是( )（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 在积分公式 中，,x 可以是自变量也可为中间变量，即有等式4.设 ，且 f(0)=0，则 f(x)等于( )（分数：3.00）A.B

7、.C. D.解析：解析 由于故有 ，从而又因 f(0)=0，所以5. 在区间e，e 2上的最大值为( )（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 ，xe，e 2，则 I(x)在e，e 2上单调增，I(x)最大值为 I(e2)6.已知 设 ，则 F(x)为( )（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 7.设 f(x)连续，则 等于( )(A) （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 令 x2-t2=u，则8. 等于( )(A)f(2)-f(1) (B)3f(2)-f(1)(C) (D) （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 用积分换元法令 ，则 ，即 dx=3dt

8、，于是9.已知 ，则 等于( )(A)F(b-ax)+C (B)(C)aF(b-ax)+C (D) （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 10.设 f(x)=e-x，则 等于( )(A) (B)lnx+C(C) （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 11.由 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 先两边对 x 求导二、填空题(总题数：9，分数：27.00)12.设 e-x是函数 f(x)的一个原函数，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：e -x(1+x)+C）解析：解析 由已知，得13.设 f(ex)=1+x，则 f(x)=_（分数：3.00）填空项

9、 1:_ （正确答案：xlnx+C）解析：解析 设 ex=t，f(t)=1+Int，即f(x)=1+lnx，14. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：xlnlnx+C）解析：解析 15.若 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 对等式 两边求导，由不定积分的定义，有 ，由此可知16. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：不存在）解析：解析 因为函数17.设函数 f(x)在(-，+)上可导，f(1)=1， （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 由变限定积分的求导公式，有g(x)=exf(ex)-f(1+x)，g(x)=exf(

10、ex)+exf(ex)-f(1+x)，可知g(0)=f(1)+f(1)-f(1)=118.设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 由题设的等式，有f(x+1)-f(x)=12x2+18x+1，即有 3ax2+(3a+2b)x+(a+b+c)=12x2+18x+1解方程组可得 a=4，b=3，c=-6，即有 f(x)=4x2+3x2-6x+d，从而可知f(x)=12x2+6x-6， f(x)=24x+6，所以 f(x)有极值点 ，x 2=-1，由19.设函数 f(x)在(-，+)上连续，则 （分数：3.00）填空项

11、1:_ （正确答案：f(x)dx）解析：解析 20.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 在开区间(a，b)内的根有_个（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 令又三、计算题(总题数：26，分数：78.00)21.求下列不定积分：（分数：3.00）_正确答案：(解 (1)(2)(3)(4)(5) )解析：22.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 令 ，则 ，则)解析：23.用分部积分法计算下列不定积分：（分数：3.00）_正确答案：(解 (1)(2)取 u(x)=x2ex，)解析：24.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 因为从而有)解析：

12、25.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 由 2xex=(2e)x，可得)解析：26.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：27.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 由可知有)解析：28.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 作换元 ，则有dx=achtdt，x2+a2=a2(sh2t+1)=a2ch2t，其中于是，可得)解析：29.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 当 xa 时，作换元 x=acht，t0，则有 dx=asht。x 2-a2=a2sh2t故有当 x-a 时，令 x=-u，则 ua，按上述结果有总之，都有)解析：30.求 （分数：3.00）_正确答案：

13、(解 令 u(x)=lnx，v(x)=x，按分部积分法)解析：31.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 按分部积分法有由此可解得)解析：32.已知 （分数：3.00）_正确答案：(解 先求出 f(x)作换元 u=lnx，则有 ，即 由此可知有)解析：33.设 ，求 （分数：3.00）_正确答案：(解 对等式两边求导，由不定积分定义，有 ，即 ，所以)解析：34.已知一条曲线上任一点处切线的斜率与该点的横坐标成正比，又知曲线通过点(1，3)并在这点处切线的倾角为 （分数：3.00）_正确答案：(解 设该曲线方程为 y=y(x)，按题设知有 y(x)=kx，且y(1)=3， 由此可得 ，且满足

14、 ，1=k，结果有 ，于是有该曲线的方程)解析：35.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 由有)解析：36.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 由可得 )解析：37.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：38.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：39.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 方法一方法二方法三)解析：40.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 方法一方法二 作换元 ，即 x=ln(u2-1)，则有)解析：41.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 方法一方法二方法三)解析：42.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 作换元 2x+1=t，则有)解析：43.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 作换元 ，即 x=t6-1，则有)解析：44.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 作换元 ，即 ，则有)解析：45.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 当 x0 时，有当 x0 时，作换元 x=-t，则有总之有)解析：46.设 ，试求 （分数：3.00）_正确答案：(解 作换元 ，则有又作换元 ，即有)解析：