【考研类试卷】数学-函数、极限、连续及答案解析.doc

1、数学-函数、极限、连续及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：42.00)1.函数 f(x)在(a，b)内有反函数 f-1(x)存在，则 f(x)必为( )(A)有界函数(B)严格单调上升(C)严格单调下降(D)以上结论都不正确（分数：3.00）A.B.C.D.2.设x为取整函数，则函数 f(x)=x-x在(-，+)上为( )(A)单调上升函数 (B)奇函数(C)偶函数 (D)周期函数（分数：3.00）A.B.C.D.3. 等于( )(A)1 (B) （分数：3.00）A.B.C.D.4. 等于( )(A) (B)0 (C) （分数：3.00）A.

2、B.C.D.5. （分数：3.00）A.B.C.D.6. 等于( )(A) (B)1 (C) （分数：3.00）A.B.C.D.7. （分数：3.00）A.B.C.D.8.下列个选项中的两函数相等的是( )(B)y=elnx3和 y=x3(D)y=x和 （分数：3.00）A.B.C.D.9.已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)，则 f(x)是( )(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数，也是偶函数（分数：3.00）A.B.C.D.10.下列数列中收敛的是( )(A)n2 (B)e-1/n（分数：3.00）A.B.C.D.11.设 ，则 （分数：3.00）

3、A.B.C.D.12.函数 （分数：3.00）A.B.C.D.13.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 在区间(a，b)内的根是( )(A)0个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个（分数：3.00）A.B.C.D.14. 等于( )(A)0 (B)e (C) （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：15，分数：45.00)15. （分数：3.00）填空项 1:_16.设函数 f(x)在 x0点可导，则 （分数：3.00）填空项 1:_17. （分数：3.00）填空项 1:_18.设 f(1)=4，则 （分数：3.00）填空项 1:_19. （分数：

4、3.00）填空项 1:_20.已知 （分数：3.00）填空项 1:_21.设函数 f(x)在(-，+)上满足 2f(1+x)+f(1-x)=3ex，则 f(x)=_（分数：3.00）填空项 1:_22.设函数 （分数：3.00）填空项 1:_23. （分数：3.00）24. （分数：3.00）填空项 1:_25.若 （分数：3.00）填空项 1:_26.设函数 （分数：3.00）填空项 1:_27. （分数：3.00）填空项 1:_28. （分数：3.00）填空项 1:_29. （分数：3.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：21，分数：63.00)30.设函数 f(x)定义在(-，+)，

5、试判别函数 g(x)=f(x)+f(-x)与 h(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性（分数：3.00）_31.已知函数 f(x)满足 f(x3)+2f( （分数：3.00）_32.判别下列函数的奇偶性：（分数：3.00）_33.求 （分数：3.00）_34.分别求出在 x趋于 1，0 和时，函数 （分数：3.00）_35.设 ，且 存在，证明： （分数：3.00）_36.已知 ，求 （分数：3.00）_37.求 （分数：3.00）_38.求 （分数：3.00）_39.若函数 f(x)在 x=1点处连续，且极限 （分数：3.00）_40.证明方程 x5-3x-1=0在(1,2)内至少有一个实根（

6、分数：3.00）_41.求极限 （分数：3.00）_42.求极限 （分数：3.00）_43.求极限 （分数：3.00）_44.求极限 （分数：3.00）_45.求极限 ，其中 （分数：3.00）_46.试求函数 （分数：3.00）_47. （分数：3.00）_48. （分数：3.00）_49.下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1)(2) （分数：3.00）_50.求下列函数的反函数及其定义域（分数：3.00）_数学-函数、极限、连续答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：42.00)1.函数 f(x)在(a，b)内有反函数 f-1(x)存在，则

7、f(x)必为( )(A)有界函数(B)严格单调上升(C)严格单调下降(D)以上结论都不正确（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 首先可知(A)不正确，例如 ，x(0，1)无界，但它有反函数 ，x(1，+)其次，(B)，(C)也不正确，试看反例： 有反函数2.设x为取整函数，则函数 f(x)=x-x在(-，+)上为( )(A)单调上升函数 (B)奇函数(C)偶函数 (D)周期函数（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由x的定义可知，x+1=1+x，因此，对于任一 x(-，+)，都有 f(x+1)=(x+1)-x+1=(x+1)-(1+x)=x-x=f(x)，可见 f(x)是周

8、期 T=1的函数，它在一个周期0，1)上的表达式为 f(x)=x，x0，1)，所以易知(A)，(B)，(C)都不正确故应选(D)3. 等于( )(A)1 (B) （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题是“0”型未定式的极限，可用洛必达法则首先应将其化为“ ”型或“”型未定式，究竟化为哪一种，要视具体情况而定，如本题必须化为“ ”型，即4. 等于( )(A) (B)0 (C) （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 这是“”型未定式，可用洛必达法则，但必须先化为“ ”型或“ ”型未定式，即 ，而 是“0”型，若用洛必达法则去计算，则很难求出，这时必须用其他方法：于是可知5.

9、 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 因为极限 不存在，也不是未定式，所以无法用以上各种方法求此极限但是，由 ，且 ，可知，当 x0 时，ln(2-e x)为无穷小量，函数 是有界函数，因此它们之积仍为无穷小量，即6. 等于( )(A) (B)1 (C) （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 因为有以下的不等式成立 而 由夹逼定理即知7. （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 取函数 ，x0，1，将区间0，1n 等分，分点为 ，i=0，1，n在每个小区间x i-1，x i上取点 =x i，i=1，2，n，则函数 ，x0，1的积分和为于是由定积分的定义8.下列个选

10、项中的两函数相等的是( )(B)y=elnx3和 y=x3(D)y=x和 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 两个函数是否为同一函数，只与其定义域和对应法则有关，而与其他因素无关具体如表111所示。表 111定 义 域对应法则是否相等(A)x(3，+)x(-，-3(3，+)不相同相同 否(B)x(0，+) xR不相同相同 否(C)x-2，2)u-2，2)相同相同 是(D)x(-，+)x不相同相同 否(-，0)(0，+)9.已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)，则 f(x)是( )(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数，也是偶函数（分数：3.0

11、0）A. B.C.D.解析：解析 因为 f(x+y)=f(x)+f(y)，所以 f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，f(0)=0因为 0=f(0)=f(x-x)=fx+(-x)=f(x)+f(-x)，所以 f(-x)=-f(x)因此，f(x)是奇函数10.下列数列中收敛的是( )(A)n2 (B)e-1/n（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 (A)中，n时，n 2，发散；(B)中，n时， 0，e -1/n1，收敛；(C)中，n时，n 2+1，发散；(D)中，n时， 0，11.设 ，则 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 ，故有12.函数 （分数：3.

12、00）A.B.C.D. 解析：解析 f(x)的左极限为 ，f(x)的右极限为13.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 在区间(a，b)内的根是( )(A)0个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 令根据零点定理知，在(a，b)内至少存在一个根又因为14. 等于( )(A)0 (B)e (C) （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 这是“0 0”型未定式的极限，可用洛必达法则求之，即而因此有二、填空题(总题数：15，分数：45.00)15. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解析 因为16

13、.设函数 f(x)在 x0点可导，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：不能确定）解析：解析 因为 由于 可知，当 f(x0)=0时，有 当 f(x0)0 时，有17. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1-ln2）解析：解析 因为函数 是初等函数，且在 x=0点处有定义，可知 f(x)在 x=0点连续，即有18.设 f(1)=4，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为由 f(x)在 x=1点可导的定义，可知 ，由此可得19. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 这是“ ”型未定式的极限问题，可用洛必达法则求之但

14、我们先用等价无穷小将问题化简，然后再用洛必达法则，可使计算更为简洁原式20.已知 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：(-，2）解析：解析 依题意，得-1x1 时，f(x)=-2x 3，则-2f(x)2；1x4 时，f(x)=21.设函数 f(x)在(-，+)上满足 2f(1+x)+f(1-x)=3ex，则 f(x)=_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：2e x-1-e1-x）解析：解析 用-x 代入等式，有22.设函数 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 因为由已知条件知|f(x)|1，-x+，所以由 f(x)及复合函数的定义知ff(x)=1，

15、-x+23. （分数：3.00）解析：解析 利用在加减法中，较低阶的无穷大量与较高阶的无穷大量相比较可以忽略的性质求解因为 x+时，分子 2x+x3-lnx是无穷大量，且为几个无穷大量的和、差，并且 2xx 3lnx，所以lnx，x 3与 2x相比都可以忽略同理，分母中的 3lnx，x 4与 5x相比也可以忽略，因此原极限可以视为，故24. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析 本题使用夹逼准则由于而 ，且 故由夹逼准则知25.若 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 若 f(x)在(-，+)上连续，则 f(x)必在 x=0处连续即而26.设函

16、数 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：x=1）解析：解析 当|x|1 时，当|x|1 时，故由于 ，所以 x=-1为连续点；而27. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 这是“0”型的未定式的极限，若立即化为“ ”型或“ ”型未定式，用洛必达法则很难计算，应先用等价无穷小，再用洛必达法则，即28. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 这是数列的极限，应通过函数的极限来计算，即考虑极限 ，这是“1 ”型未定式，可用洛必达法则求之：而 于是有 即29. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 这是“ 0”型未定式

17、的极限，可用洛必达法则计算，即而 由此可得三、计算题(总题数：21，分数：63.00)30.设函数 f(x)定义在(-，+)，试判别函数 g(x)=f(x)+f(-x)与 h(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性（分数：3.00）_正确答案：(解 对于(-，+)上的任一点 x，有 g(-x)=f(-x)+f-(-x)=f(x)+f(-x)=g(x)，所以函数g(x)为偶函数又因 h(-x)=f(-x)-f-(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)，所以函数 h(x)为奇函数)解析：31.已知函数 f(x)满足 f(x3)+2f( （分数：3.00）_正确答案：(解 作换元 t=x3，则有 ，t

18、0，可知 ，t0由以上两式，解方程可得 ，t0，即有 )解析：32.判别下列函数的奇偶性：（分数：3.00）_正确答案：(解 (1)对于(-1，1)内任一点 x，有 所以为奇函数(2)对于任意不等于a 的 x点，有 所以为偶函数(3)对于(-，+)内任一点 x，有 所以为奇函数(4)对于(-，+)内的任一点 x，有 )解析：33.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 原式 )解析：34.分别求出在 x趋于 1，0 和时，函数 （分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：35.设 ，且 存在，证明： （分数：3.00）_正确答案：(证 因为 )解析：36.已知 ，求 （分数：3.00）_正确答

19、案：(解 令 3x=t，则有即有 )解析：37.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：38.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：39.若函数 f(x)在 x=1点处连续，且极限 （分数：3.00）_正确答案：(解 因为 f(x)在 x=1点处连续，所以有又由极限运算法则有)解析：40.证明方程 x5-3x-1=0在(1,2)内至少有一个实根（分数：3.00）_正确答案：(证 考虑函数 f(x)=x5-3x-1，作为初等函数，可知其在1，2上连续，且 f(1)=-30，f(2)=250，于是可知该方程在(1，2)内至少有一个实根)解析：41.求极限 （分数：3.00）_正确

20、答案：(解 因为初等函数 点处有定义，所以在该点连续，即有)解析：42.求极限 （分数：3.00）_正确答案：(解 先应将函数化为可用幂指函数求极限的形式，即于是，由可得 )解析：43.求极限 （分数：3.00）_正确答案：(解 因为有以下的不等式且有 由夹逼定理可知)解析：44.求极限 （分数：3.00）_正确答案：(解 可利用定积分定义域求此极限取函数 ，x0，1将区间0，1n 等分，分点为 ，i=0，1，2，n在每个小区间x i-1，x i中取一点 ，i=1，2，n由定积分定义可知有而定积分结果有)解析：45.求极限 ，其中 （分数：3.00）_正确答案：(解 显然有 xnx n+1，即

21、数列x n单调上升又若将 xn中最后一个 2放大成 4，则有xn2，n=1，2，可见数列x n有上界因此按极限存在准则知 存在，下面来求 A因为xn+12=2xn，n=1，2，当 n时，有 A2=2A，可得 A=0或 A=2，显然 A=0不合题意，因为 ，n=1，2，所以 ，于是 )解析：46.试求函数 （分数：3.00）_正确答案：(解 因为 f(x)是初等函数，其定义域为(-，-2)(-2，0)(0，1)(1，+)，即是 f(x)的连续区间，间断点为 x1=-2，x 2=0，x 3=1下面来确定间断点的类型当 x1=-2时，由可见 x1=-2是 f(x)的可去间断点当 x2=0时，由于可见

22、 x2=0是跳跃间断点当 x3=1时，由于)解析：47. （分数：3.00）_正确答案：(解 这是一个分段函数，其定义域为-1，2)解析：48. （分数：3.00）_正确答案：(解 这是一个分段函数，定义域为(-，)解析：49.下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1)(2) （分数：3.00）_正确答案：(解 (1)由 y=eu，u=v 2，v=lnt， 复合而成，其中 u，v，t 为中间变量(2)由 y=u2，u=lgv， )解析：50.求下列函数的反函数及其定义域（分数：3.00）_正确答案：(解 (1)由表达式 解出 ，再将 x与 y位置互换，得反函数 其定义域为x1 的所有实数，即为(-，1)(1，+)(2)对于分段函数要分段解出反函数表达式，当 0x1 时，解出 ，此时-1y0，当-1x0 时，解出 ，此时 0y1，将 x与 y互换位置，写出反函数的分段表示式为 )解析：