2006年高考文科数学试卷及答案（湖南卷）.pdf

1、 2006 年高考文科数学试卷（湖南卷） 本试题卷他选择题和非选择题 （包括填空题和解答题） 两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分 3 至5 页. 时量 120 分钟. 满分 150 分. 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 A、 B 相互独立，那么 )()()( BPAPABP = 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 () (1 )kk nknnPk CP P= 球的体积公式 343VR= ,球的表面积公式24SR= ，其中 R 表示球的半径 一选择题：本大题共 1

2、0 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1函数 xy2log= 的定义域是 A(0,1 B. (0,+) C. (1,+) D. 1,+) 2已知向量 ),2,1(),2( = btanullnull若1tt = 时， anull bnull；2tt = 时， banullnull ，则 A 1,421= tt B. 1,421= tt C. 1,421= tt D. 1,421= tt 3. 若5)1( ax 的展开式中3x 的系数是 80，则实数 a 的值是 A-2 B. 22 C. 34 D. 2 4过半径为12 的球 O 表面上一

3、点 A作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60则该截面的面积是 A B. 2 C. 3 D. 32 5“ a=1”是“函数 axxf =)( 在区间1，）上为增函数”的 A充分不必要条件 B. 必要 不充分条件 C. 充要条件 D. 既不 充分也不必要条件 6在数字 1,2，3 与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A6 B. 12 C. 18 D. 24 7圆 0104422=+ yxyx 上的点到直线 014 =+ yx 的最大距离与最小距离的差是 A36 B. 18 C. 26 D. 25 8设点 P 是函数 xxf sin)( = 的图象 C

4、的一个对称中心，若点 P到图象 C 的对称轴上的距离的最小值4，则 )(xf 的最小正周期是 A2 B. C. 2D. 49过双曲线 M： 1222=hyx 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、 C，且 BCAB = ，则双曲线 M 的离心率是 A25B. 310C. 5 D. 10 10. 如图 1： OM AB，点 P 由射线 OM、线段 OB 及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OByOAxOP += ，则实数对（ x,y）可以是 A )43,41( B. )32,32( C. )43,41( D. )57,51( 二填

5、空题：本大题共 5 小题，每小题分，共 20 分，把答案填在答题上部 对应题号的横上. 11. 若数列 na 满足： 1.2,111=+naaann，2，3.则 =+naaa null21. 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人，乙班 50 人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是 90 分，乙班的平均成绩是 81 分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分. 13. 已知+022011yxyxx则22yx + 的最小值是 . 14. 过三棱柱 ABC A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有 条. 15. 若 )4

6、sin(3)4sin()(+= xxaxf 是偶函数，则 a= . A B O M 图 1 三解答题：本大题共小题，共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分分） 已知 ),0(,1cos)cos()22sin(sin3 =+ 求 的值. 17.（本小题满分分） 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格， 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5，整改后安检合格的 概率是 0.8，计算(结果精确到0.01)： ()恰好有两家煤矿必须整改的概

7、率； ()某煤矿不被关闭的概率； ()至少关闭一家煤矿的概率. 18.（本小题满分4 分） 如图 2，已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高都是 2， AB=4. ()证明 PQ平面 ABCD； ()求异面直线 AQ 与 PB 所成的角； ()求点 P 到平面 QAD的距离. 19.（本小题满分 14 分） 已知函数axaxxf313)(23+= . （）讨论函数 )(xf 的单调性； （）若曲线 )(xfy = 上两点 A、 B处的切线都与 y 轴垂直，且线段 AB 与 x 轴有公共点，Q B C P A D 图 2 求实数 a 的取值范围. 20.（本小题满分 14 分）

8、在m（ m2）个不同数的排列 P1P2 Pn中，若 1 i j m时 Pi Pj（即前面某数大于后面某数） ， 则称 Pi与 Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列 321)1()1( null+ nnn 的逆序数为 an， 如排列 21 的逆序数 11=a ， 排列 321的逆序数 63=a . （）求 a4、 a5，并写出 an的表达式； （）令nnnnnaaaab11+= ，证明 32221+= ppxmy ，且 C1、 C2的公共弦 AB 过椭圆 C1的右焦点. （）当 xAB 轴时，求 p、 m的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB 上； （

9、）若34=p 且抛物线 C2的焦点在直线 AB 上，求 m 的值及直线 AB 的方程. 2006 年高考文科数学参考答案（湖南卷） 110：DCDAABCBCDC 11. 12 n, 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 . 16. 解 由已知条件得 1coscos2cossin3 = . 即 0sin2sin32= . 解得 0sin23sin = 或 . 由0 知23sin = ，从而323 = 或 . 17. 解 （）每家煤矿必须整改的概率是 10.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 31.01655.0)5.01(32251=

10、CP . （）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是 1.0)8.01()5.01(2=P ，从而煤矿不被关闭的概率是 0.90. 解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格. 所以该煤矿不被关闭的概率是 90.08.0)5.01(5.02=+=P . ()由题设（）可知，每家煤矿不被关闭的概率是 0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是 41.09.0153=P . 18. 解法一 （）连结 AC、 BD，设 OBDAC = . 由 P AB

11、CD 与 Q ABCD 都是正四棱锥，所以 PO平面 ABCD， QO平面 ABCD. 从而 P、 O、 Q 三点在一条直线上，所以 PQ平面 ABCD. （）由题设知， ABCD是正方形，所以 AC BD. 由（）， QO平面 ABCD. 故可分别以直线 CA、 DB、 QP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是 P（0，0，2）， A（ 22 ，0，0），Q（0，0，2）， B（0， 22 ，0）. 所以 )2,0,22( =AQ )2,22,0( =PB 于是3132324,cos =0时， 若 )0,(x ，则 0)( xf ，所以

12、)(xf 在区间 )2,(a 上是增函数； Q B C P A D O M 若 )2,0(ax ，则 0)( xf ，所以 )(xf 在区间 ),2( +a上是增函数； （i i）当 a0 时， 若 )2,(ax ，则 0)( xf ，所以 )(xf 在区间 )0,2(a上是增函数； 若 ),0( +x ，则 0)( +=+=+nnnnnnnnnaaaabnnnnn， 所以 nbbbn221+ null . 又因为 null,2,1,222222=+=+= nnnnnnnbn， 所以 )211()4121()3111(2221+=+nnnbbbnnullnull = 32221232 + nn

13、nn . 综上， nullnull ,2,1,32221=+ nnbbbnn. 21. 解 （）当 AB x 轴时，点 A、 B 关于 x 轴对称，所以 m0，直线 AB 的方程为 x=1，从而点 A 的坐标为（1，23）或（1，23）. 因为点 A 在抛物线上，所以 p249= ，即89=p . 此时 C2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线 AB 上. （）解法一 当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB的方程为 )1( = xky . 由=+=134)1(22yxxky消去 y 得 01248)43(2222=+ kxkxk . 设 A、 B 的坐标

14、分别为（ x1,y1）, （ x2,y2）, 则 x1,x2是方程的两根， x1 x222438kk+. 因为 AB 既是过 C1的右焦点的弦，又是过 C2的焦点的弦， 所以 )(214)212()212(2121xxxxAB +=+= ，且 34)2()2(212121+=+=+= xxpxxpxpxAB . 从而 )(214342121xxxx +=+ . 所以91621=+xx ，即91643822=+ kk. 解得 6,62= kk 即 . 因为 C2的焦点 ),32( mF 在直线 )1( = xky 上，所以 km31= . 即3636= mm 或 . 当36=m 时，直线 AB

15、的方程为 )1(6 = xy ； 当36=m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy . 解法二 当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程 为 )1( = xky . 由=)1(38)(2xkyxmy消去 y 得 xmkkx38)(2= . 因为 C2的焦点 ),32( mF 在直线 )1( = xky 上， 所以 )132( = km ，即 km31= .代入有 xkkx38)32(2= . 即 094)2(342222=+kxkxk . 设 A、 B 的坐标分别为（ x1,y1）, （ x2,y2）, 则 x1,x2是方程的两根， x1 x22

16、23)2(4kk +. A y B O x 由=+=134)1(22yxxky消去 y 得 01248)43(2222=+ kxkxk . 由于 x1,x2也是方程的两根，所以 x1 x222438kk+. 从而223)2(4kk +22438kk+. 解得 6,62= kk 即 . 因为 C2的焦点 ),32( mF 在直线 )1( = xky 上，所以 km31= . 即3636= mm 或 . 当36=m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy ； 当36=m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy . 解法三 设 A、 B 的坐标分别为（ x1,y1）, （ x2,y2）,

17、 因为 AB 既过 C1的右焦点 )0,1(F ，又是过 C2的焦点 ),32( mF ， 所以 )212()212()2()2(212121xxpxxpxpxAB +=+=+= . 即916)4(3221=+ pxx . 由（）知21xx ，于是直线 AB 的斜率 mmxxyyk 313201212= ， 且直线 AB 的方程是 )1(3 = xmy , 所以32)2(32121mxxmyy =+=+ . 又因为=+=+1243124322222121yxyx，所以 0)(4)(312122121=+xxyyyyxx . 将、代入得322=m ，即3636= mm 或 . 当36=m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy ； 当36=m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy .