2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-北京卷.pdf

1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1

2、已知 cos tan 0 的 x 的值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题共 13 分） 数列 na 中，12a = ，1nnaacn+=+（ c是常数， 123n= null， ， ） ，且123aaa， 成公比不为 1的等比数列 （ I）求 c的值； （ II）求 na 的通项公式 16 （本小题共 14 分） 如图，在 Rt AOB 中，6OAB=，斜 边 4AB = Rt AOC 可以通过 Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转得到， 且二面角 B AO C 是直二面角动点 D的斜边 AB 上 （ I）求证：平面 COD

3、平面 AOB； （ II）当 D为 AB 的中点时，求异面直线 AO 与 CD所成角的大小； （ III）求 CD与平面 AOB所成角的最大值 17 （本小题共 14 分） 矩形 ABCD的两条对角线相交于点 (2 0)M ， ， AB 边所在直线的方程为 360xy=，点(11)T ， 在 AD边所在直线上 （ I）求 AD边所在直线的方程； （ II）求矩形 ABCD外接圆的方程； （ III）若动圆 P 过点 (20)N ， ，且与矩形 ABCD的外接圆外切，求动圆 P 的圆心的轨迹方程 x 1 2 3 ()f x 1 3 1 x 1 2 3 ()gx 3 2 1 O CA DB18 （

4、本小题共 13 分） 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动） 该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示 （ I）求合唱团学生参加活动的人均次数； （ II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率 （ III）从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 E 19 （本小题共 13 分） 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 2r，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状， 下底 AB 是半椭圆的短轴， 上底 CD的端点在椭圆上，记 2CD x= ，梯形面积为 S

5、（ I）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （ II）求面积 S 的最大值 20已知集合 12(2)kAaa ak= null， ，其中 (12 )iai k =Z null， ， ，由 A中的元素构成两个相应的集合： ()S abaAbAabA=+， ， ()TabaAbAabA=， 其中 ()ab， 是有序数对，集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n 若对于任意的 aA ，总有 aA ，则称集合 A具有性质 P （ I）检验集合 0123， ，与 123 ，是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合，写出相应的集合 S 和 T ； （ II）对任何具有性质

6、 P 的集合 A，证明：(1)2kkn ； （ III）判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论 1 2 310 20 30 40 50 参加人数 活动次数 4rCD A B2r 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷）答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9 i 10 211n 3 1110212 (2 3)， 1372514 1 2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15 （共 13 分） 解： （ I）12a =

7、 ，22ac=+，323ac= + ， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2 ) 2(2 3 )cc+=+， 解得 0c = 或 2c = 当 0c = 时，123aaa=，不符合题意舍去，故 2c = （ II）当 2n 时，由于 21aac=， 322aa c=， nullnull 1(1)nnaa n c=， 所以1(1)1 2 ( 1)2nnnaa n c c=+ =null 又12a = ， 2c = ，故22(1) 2( 23)nannnnn=+ = + = null， ， 当 1n= 时，上式也成立， 所以22( 1 2 )nann n=+ =null， ， 16

8、（共 14 分） 解法一： （ I）由题意， CO AO ， BOAO ， BOC 是二面角 B AO C是直二面角， 又 二面角 B AO C是直二面角， CO BO ，又 AO BO O= ， CO 平面 AOB， 又 CO平面 COD 平面 COD 平面 AOB （ II）作 DE OB ，垂足为 E ，连结 CE（如图） ，则 DE AO ， CDE 是异面直线 AO 与 CD所成的角 在 Rt COE 中， 2CO BO=，112OE BO= = ， 225CE CO OE =+= 又132DE AO= 在 Rt CDE 中，515tan33CECDEDE= 异面直线 AO与 CD所

9、成角的大小为15arctan3 （ III）由（ I）知， CO 平面 AOB， CDO 是 CD与平面 AOB所成的角，且2tanOCCDOOD OD= 当 OD最小时， CDO 最大， 这时， OD AB ，垂足为 D， 3OA OBODAB=i，23tan3CDO = ， CD 与平面 AOB所成角的最大值为23arctan3 解法二： （ I）同解法一 （ II）建立空间直角坐标系 Oxyz ，如图，则 (0 0 0)O ， ， ， (0 0 2 3)A ， ， ， (2 0 0)C ， ， ，(0 1 3)D ， ， ， (0 0 2 3)OA =nullnullnullnull，

10、， ， (21 3)CD =nullnullnullnull， ， ， cosOA CDOACDOA CD ；当2rx r 时， () 0fx ，所以12f r是 ()f x 的最大值 因此，当12x r= 时， S 也取得最大值，最大值为213322f rr= 即梯形面积 S 的最大值为2332r 20 （共 13 分） （ I）解：集合 0123， ，不具有性质 P 集合 123 ， 具有性质 P ，其相应的集合 S 和 T 是 (13)(3 1)S = ， ， (2 1) 2 3T =()， （ II）证明：首先，由 A中元素构成的有序数对 ()ijaa， 共有2k 个 因为 0 A ，

11、所以 ()(12 )iiaa Ti k=null， ； 又因为当 aA 时， aA 时， aA ，所以当 ()ijaa T， 时，()(12 )jiaa Tij k=null， 从而，集合 T 中元素的个数最多为21(1)()22kkkk= ， 即(1)2kkn （ III）解： mn= ，证明如下： （ 1）对于 ()ab S， ，根据定义， aA ， bA ，且 abA+ ，从而 ()abb T+， 如果 ()ab， 与 ()cd， 是 S 的不同元素，那么 ac= 与 bd= 中至少有一个不成立，从而abcd+=+与 bd= 中也至少有一个不成立 故 ()abb+ ， 与 ()cdd+ ， 也是 T 的不同元素 可见， S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数，即 mn ， （ 2）对于 ()ab T， ，根据定义， aA ， bA ，且 abA ，从而 ()abb S， 如果 ()ab， 与 ()cd， 是 T 的不同元素，那么 ac= 与 bd= 中至少有一个不成立，从而abcd=与 bd= 中也不至少有一个不成立， 故 ()abb ， 与 ()cdd ， 也是 S 的不同元素 可见， T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数，即 nm ， 由（ 1） （ 2）可知， mn=