2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷及答案-江苏卷.pdf

1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） 数 学 本试卷分第 I 卷（填空题）和第 II 卷（解答题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效 4

2、.保持卡面清洁，不折叠，不破损 5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 参考公式 : 样本数据1x ,2x ,L ,nx 的标准差 ()() ()22 2121nsxxxx xxn=+L 其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 VSh= 其中 S 为底面积， h 为高 一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. () cos6fx x=的最小正周期为5，其中 0 ，则 = 2一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 3.11ii+表示为 abi+ ( ),ab R ，则 ab+ = 4.A=( ) 2137xx x的一

3、条切线，则实数 b 9 在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P（ 0，p）在线段 AO 上的一点（异于端点） ，设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别与边 AC , AB 交于点 E、 F ，某同学已正确求得 OE 的方程：11 110xybc pa + =，请你完成直线 OF 的方程： （ ）110xypa+ =. 10将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的规律，数阵中第 n 行（ n 3）从左向右的第 3 个数为

4、11.已知 ,x yz R+ ，满足 230xyz+=，则2yxz的最小值是 12.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆2222x yab+ =1( ab0)的焦距为 2c，以点 O 为圆心，a 为半径作圆 M， 若过点 P 2,0ac所作圆 M的两条切线互相垂直， 则该椭圆的离心率为 e = 13满足条件 AB=2, AC= 2 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 14.设函数 ()331f xax x=+（ x R） ，若对于任意 1,1x ，都有 ()f x 0 成立，则实数 a = 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

5、明过程或演算步骤 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相交于 A、 B 两点，已知 A、 B 的横坐标分别为225,10 5 （）求 tan( + )的值； （）求 2 + 的值 16如图，在四面体 ABCD 中， CB= CD, AD BD，点 E 、F 分别是 AB、 BD 的中点， 求证： （）直线 EF 平面 ACD ； （）平面 EFC平面 BCD 17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A、 B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水， 现要在该

6、矩形 ABCD 的区域上 （含边界） ，且与 A、 B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO,BO,OP ， 设排污管道的总长为 y km （）按下列要求写出函数关系式： 设 BAO= (rad)，将 y 表示成 的函数关系式； 设 OP x= (km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式 （）请你选用（）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 18设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 ( ) ( )22f xx xbxR=+ 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C （）求实数 b 的取值范围； （）求圆 C 的方程；

7、（）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论 19.（）设12, ,naa aLL 是各项均不为零的等差数列（ 4n ） ，且公差 0d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当 n =4 时，求1ad的数值；求 n 的所有可能值； （）求证：对于一个给定的正整数 n(n 4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12, ,nbb bLL ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列 20.若()113x pfx= ， ()2223x pfx= ，12,x Rp p 为常数，函数 f (x)定义为：对每个给定的实数 x， ()() ( ) ( )

8、() () ()11 221 2,f xfx fxfxf xfx fx=（）求 () ( )1f xfx= 对所有实数 x 成立的充要条件（用12,p p 表示） ； （）设 ,ab为两实数，满足 ab+解得 22 2 22 2x ()gx 在区间 )1, 0 上单调递增，因此 ( ) ( )ma14ngx g= =，从而 a 4，综上 a 4 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15 【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式 解：由已知条件及三角函数的定义可知，225cos ,cos10 5=， 因为 , 为锐角，所以 sin =72 5,sin10

9、5 = 因此1tan 7, tan2= （） tan( + )= tan tan31tan tan +=（） 22tan 4tan 21tan 3=，所以 ()tan tan 2tan 2 11tan tan2 + = , 为锐角，3022 ， y 是 的增函数， 所以当 =6时，min10 10 3y =+ 。 这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上， 且距离 AB 边 10 33km 处。 18 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法 解： （）令 x 0，得抛物线与 y 轴交点是（ 0， b） ； 令()220fx x xb=+=，由题意 b 0 且 0，解得 b 1

10、且 b 0 （）设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF+ += 令 y 0 得20xDxF+=这与22x xb+ + 0 是同一个方程，故 D 2， F b 令 x 0 得2y Ey+ 0，此方程有一个根为 b，代入得出 E b 1 所以圆 C 的方程为222(1) 0xy xb yb+=. （）圆 C 必过定点（ 0， 1）和（ 2， 1） 证明如下：将（ 0， 1）代入圆 C 的方程，得左边 02 12 2 0（ b 1） b 0，右边 0， 所以圆 C 必过定点（ 0， 1） 同理可证圆 C 必过定点（ 2， 1） 19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类

11、讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分 16 分。 解： 首先证明一个“基本事实” ： 一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差 d0=0 事实上，设这个数列中的连续三项 a-d0,a,d+d0成等比数列，则 a2=(d-d0)(a+d0) 由此得 d0=0 （ 1） (i) 当 n=4 时, 由于数列的公差 d 0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为 a2或a3若删去2a ，则由 a1,a3,a4成等比数列，得 (a1+2d)2=a1(a1+3d) 因 d 0，故由上式得 a1= 4d，即da1= 4，此时数列为 4d, 3d, 2d, d，满足题设。 若删去 a3

12、，则由 a1,a2,a4成等比数列，得 (a1+d)2=a1(a1+3d) 因 d 0，故由上式得 a1=d，即da1=1，此时数列为 d, 2d, 3d, 4d，满足题设。 综上可知，da1的值为 4 或 1。 (ii)若 n 6，则从满足题设的数列 a1,a2, ,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2, ,an的公差必为 0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数 n 5，又因题设 n 4，故 n=4 或 5. 当 n=4 时，由（ i）中的讨论知存在满足题设的数列。 当 n=5 时，若存在满足题设的数列

13、 a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是 a3，从而 a1,a2,a4,a5成等比数列，故 (a1+d)2=a1(a1+3d) 及 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d) 分别化简上述两个等式，得 a1d=d2及 a1d= 5d,故 d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为 5 的等差数列。 综上可知， n 只能为 4. （ 2） 假设对于某个正整数 n， 存在一个公差为 d的 n 项等差数列 b1,b1+ d,， b1+(n-1) d(b 1 d0)， 其中三项 b 1+m1 d,b 1+m2 d,b 1+m3 d成等比数列， 这里 0m 1 . （ 1）当

14、12p p32log 时 . () 111113, ,3, ,xppxx pbfxx ap =， () 2323log 222 log 223,3,xppxx pbfxx ap+ =当 1,x pb ，()()21 3log 21 02331,ppfxfx=，所以() ()12f xfx=因为 ( ) ( )120, 0fx fx，所以() ()12f xfx 故 () ()2f xfx= =23log 23px+因为 () ()f afb= ，所以231log 233pabp += ，所以12 3log 2,bp p a =+ 即 12 3log 2ab p p+= + + 当 21,x p

15、p 时，令 () ()12f xfx= ，则231log 233xppx += ，所以12 3log 22ppx+= ， 当12 32log 2,2ppxp+时， ( ) ( )12f xfx ，所以 ( ) ( )2f xfx= =23log 23xp+12 31log 2,2ppx p+时， ( ) ( )12f xfx ，所以 ( ) ( )1f xfx= =13px()f x 在区间 ,ab上的单调增区间的长度和12 3log 22ppbp p+ + =12 3log 2222pp ab babb+ += （ 2）当21p p32log 时 .() 111113, ,3, ,xppxx

16、 pbfxx ap =，() 2323log 222 log 223,3,xppxx pbfxx ap+ =当 2,x pb ，()()21 3log 21 02331,ppfxfx=因为 ( ) ( )120, 0fx fx，所以() ()12f xfx ， 故 () ()2f xfx= =23log 23xp+当 1,x ap ，()()12 3log 21 02331,ppfxfx=， 所以() ()12f xfx 故 () ()1f xfx= =13px因为 () ()f afb= ，所以231log 233bppa += ，所以12 3log 2ab p p+ =+ 当 12,x pp 时，令() ()12f xfx= ，则231log 233pxxp += ，所以12 3log 22ppx+= ， 当12 31log 2,2ppxp+时， ( ) ( )12f xfx ，所以 ( ) ( )1f xfx= =13x p12 31log 2,2ppx p+时， ( ) ( )12f xfx ，所以 ( ) ( )2f xfx= =23log 23px+()f x 在区间 ,ab上的单调增区间的长度和12 321log 22ppbp p+ + + =12 3log 2222pp ab babb+ += 综上得()f x 在区间 ,ab上的单调增区间的长度和为2ba