2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国卷1.pdf

1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷3 至 9 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 考生注意： 1答题前，考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

2、符合题目要求的 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 343VR= n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 01,2 )kk nknnPk CP P k n=L， 一、选择题 1函数 (1)yxx x=+的定义域为（ ） A |0xx B |1xx C |10xx U D |0 1xx 2汽车

3、经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ） 3在 ABC 中， AB =uuurc， AC =uuurb 若点 D 满足 2BDDC=uuur uuur，则 AD =uuur（ ） A2133+bc B5233cb C2133bc D1233+bc 4设 aR ，且2()aii+ 为正实数，则 a =（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 5已知等差数列 na 满足244aa+=，3510aa+ = ，则它的前 10 项的和10S =（ ） A 138 B 135 C 95 D 23 6若函数 (1)yfx=的图像

4、与函数 ln 1yx= + 的图像关于直线 yx= 对称，则 ()f x =（ ） A e2x-1B e2xC e2x+1D e2x+27设曲线11xyx+=在点 (3 2)， 处的切线与直线 10ax y+ +=垂直，则 a =（ ） A 2 B12C12 D 2 8为得到函数cos 23yx=+的图像，只需将函数 sin 2yx= 的图像（ ） A向左平移512个长度单位 B向右平移512个长度单位 C向左平移56个长度单位 D向右平移56个长度单位 9设奇函数 ()f x 在 (0 )+， 上为增函数，且 (1) 0f = ，则不等式() ( )0fx f xx 参考答案 一、选择题 1

5、、 C 2、 A 3、 A 4、 D 5、 C 6、 B 7、 D 8、 A 9.D 10.D 11.B 12.B. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13.答案： 9 14. 答案： 2. 15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.解析： （）由正弦定理得 a=CBcbCAcsinsin,sinsin= acosB-bcosA=( ACBBCAcossinsincossinsin )c = cBAABBA+)sin(cossincossin= cBABABA

6、BA+sincoscossinsincoscossin=1cottan)1cot(tan+BAcBA依题设得 cBAcBA531cottan)1cot(tan=+解得 tanAcotB=4 (II)由（ I）得 tanA=4tanB，故 A、 B 都是锐角，于是 tanB0 tan(A-B)=BABAtantan1tantan+=BB2tan41tan3+43， 且当 tanB=21时，上式取等号，因此 tan(A-B)的最大值为4318解： (I)作 AO BC， 垂足为 O， 连接 OD， 由题设知， AO底面 BCDE，且 O 为 BC 中点， 由21=DECDCDOC知， Rt OCD

7、 Rt CDE， 从而 ODC= CED，于是 CE OD， 由三垂线定理知， AD CE （ II）由题意， BE BC，所以 BE侧面 ABC，又 BE侧面 ABE，所以侧面 ABE侧面ABC。 作 CF AB，垂足为 F，连接 FE，则 CF平面 ABE 故 CEF 为 CE 与平面 ABE 所成的角， CEF=45 由 CE= 6 ，得 CF= 3 又 BC=2，因而 ABC=60，所以 ABC 为等边三角形 作 CG AD，垂足为 G，连接 GE。 由（ I）知， CE AD，又 CE CG=C， 故 AD平面 CGE， AD GE， CGE 是二面角 C-AD-E 的平面角。 CG

8、=32622=ADCDACGE= ,6,310652)21(22=CEADDEADDEcos CGE=10103103226310342222=+=+GECGCEGECG所以二面角 C-AD-E 为 arccos(1010 ) 解法二： （ I）作 AO BC，垂足为 O，则 AO底面 BCDE，且 O为 BC 的中点，以 O 为坐标原点，射线 OC 为 x 轴正向，建立如图所示的直角坐标系 O-xyz. 设 A（ 0,0,t） ，由已知条件有 C(1,0,0), D(1, 2 ,0), E(-1, 2 ,0), ),2,1(),0,2,2( tADCE = 所以 0= ADCE ，得 AD

9、CE （ II）作 CF AB，垂足为 F，连接 FE， 设 F（ x,0,z）则 CF =(x-1,0,z), 0),0,2,0( = BECFBE 故 CF BE，又 AB BE=B，所以 CF平面 ABE， CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角， CEF=45 由 CE= 6 ，得 CF= 3 又 CB=2，所以 FBC=60， ABC 为等边三角形，因此 A（ 0， 0， 3 ） 作 CG AD，垂足为 G，连接 GE，在 Rt ACD 中，求得 |AG|=32|AD| 故 G33,322,32 =33,32,35,33,322,31GEGC 又 )3,2,1( =AD 0,0

10、= ADGEADGC 所以 GEGC与 的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角。 由 cos( GEGC, )=1010|=GEGCGEGC知二面角 C-AD-E 为 arccos(1010 ) （ 19）解： （） f(x)=3x2+2ax+1，判别式 =4(a2-3) （ i）若 a 3 或 a0， f(x)是增函数； 在+33aa,33aa22内 f(x)0， f(x)是增函数。 （ ii）若 3 0，故此时 f(x)在 R 上是增函数。 （ iii）若 a= 3 ，则 f(3a )=0，且对所有的 x3a 都有 f(x)0，故当 a= 3 时，f(x)在 R 上是增函数。 （） 由

11、（） 知， 只有当 a 3 或 a 3 时，由、解得 a 2 因此 a 的取值范围是 2,+） 。 （ 20）解： 记 A1、 A2分别表示依方案甲需化验 1 次、 2 次， B1、 B2分别表示依方案乙需化验 2 次、 3 次， A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知 A2与 B2独立。 （）221BAAA += 51C1)A(P151= ，51AA)A(P25142= ，52CCCC)B(P133512242= 。 P(A )=P(A1+A2B2) =P(A1)+P(A2B2) =P(A1)+P(A2)P(B2) =525151+ =257所以 P(A)=1-P(

12、A )=2518=0.72 （）的可能取值为 2， 3. P(B1)=53CCCCC1335243534=+ ， P(B2)=52， P( =2)=P(B1)=53， P( =3)=P(B2)= 52， 所以 E = 4.2512523532 =+ （次） 。 （ 21）解： （）设双曲线方程为 1byax2222= (a0,b0)，右焦点为 F(c,0)(c0)，则 c2=a2+b2不妨设 l1： bx-ay=0， l2： bx+ay=0 则 bba|0acb|FA|22=+= ， aAFOF|OA|22= 。 因为 |AB|2+ |OA|2= |OB|2，且 |OB| =2 |AB| -

13、|OA| ， 所以 |AB|2+ |OA|2=(2 |AB| - |OA| )2， 于是得 tan AOB=34|=OAAB。 又 BF 与 FA 同向，故 AOF=21 AOB， 所以 34AOFtan1AOFtan22=解得 tan AOF=21，或 tan AOF=-2（舍去） 。 因此 b5bac,b2a,21ab22=+=。 所以双曲线的离心率 e=ac=25（）由 a=2b 知，双曲线的方程可化为 x2-4y2=4b2 由 l1的斜率为21， c= 5 b 知，直线 AB 的方程为 y=-2(x- 5 b) 将代入并化简，得 15x2-32 5 bx+84b2=0 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为 (x1,y1)， (x2,y2)，则 x1+x2=15b532， x1x2=15b842 AB 被双曲线所截得的线段长 l= xx4)xx(5|xx|)2(121221212+=+ 将代入，并化简得 l=3b4，而由已知 l=4，故 b=3， a=6 所以双曲线的方程为 19y36x22= 22、解： （ I）当 00 所以函数 f(x)在区间（ 0,1）是增函数， （ II）当 0x 又由（ I）有 f(x)在 x=1 处连续知， 当 0am b 否则，若 ama1+k|a1lnb| a1+(b-a1) =b