2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（文史类）.pdf

1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 参考公式： 。如果事件 A， B 互相排斥，那么 P（ AUB） =P（ A） +P(B)。 。棱柱的体积公式 V=sh。其中 S 表示棱柱的底面积， h 表示棱柱的高 1.i是虚数单位，ii25= A i21+ B i21 C i21 D i21+ 【答案】 D 【解析】由已知， 12)2)(2()2(525=+=iiiiiii【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算。 2.设变量 x,y 满足约束条件+3213yxyxyx，则目标函数 yxz += 2 的最小值为 A 6 B 7 C 8 D 23 【答案】 B 【解析

2、】由已知，先作出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（ 2， 1）（ 1， 2）（ 4， 5），那么作一系列平行于直线 032 =+ yx 的平行直线，当过其中点（ 2， 1）时，目标函数最小。 【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力。 3设 ”是“则“ xxxRx =31, 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 因为 1,1,0,3= xxx 解得 ，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。 【考点定位】 本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。 考查逻辑

3、推理能力。 4设双曲线 )0,0(12222= babyax的虚轴长为 2，焦距为 32 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A xy 2= B xy 2= C xy22= D xy21= 【答案】 C 【解析】由已知得到 2,3,122= bcacb ，因为双曲线的焦点在 x 轴上，故渐近线方程为 xxaby22= 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。 5.设3.02131)21(,3log,2log = cba ，则 A a=b ，因此选 B。 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。 6.阅读右面的程序框图

4、，则输出的 S= A 14 B 20 C 30 D 55 【答案】 C 【解析】当 1=i 时， S=1;当 i=2 时， S=5;循环下去，当 i=3 时， S=14；当 i=4 时 ,S=30； 【考点定位】本试题考查了程序框图的运用。 7. 已知函数 )0,)(4sin()( += wRxwxxf的最小正周期为 ，将)(xfy = 的图像向左平移 | 个单位长度，所得图像关于 y 轴对称，则 的一个值是（ ） A 2B 83C 4D8【答案】 D 【解析】由已知，周期为 2,2= ww ，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，xx 2cos4)(2sin =+ ，故选 D 【考点定

5、位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用。 8. 设函数的解集是（ ） A ),3()1,3( + B ),2()1,3( + C ),3()1,1( + D )3,1()3,( 【答案】 A 【解析】由已知，函数先增后减再增 当 0x ， 2)( xf 3)1( =f 令 ,3)( =xf 解得 3,1 = xx 。 当 0 fxf ，解得 313 则若 的最大值为 A 2 B 23C 1 D 21【答案】 C 【解析】因为 3log,3log,3bayxyxba = ， 1)2(loglog11233=+=+baabyx【考点定位】本试题考查指数式和对数式

6、的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。 10. 设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x2,x 下面的不等式在 R 内恒成立的是 A 0)( xf B 0)( )( D xxf =+ aayyx 的公共弦长为 32 ，则 a=_. 【答案】 1 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为ay1= ，利用圆心（ 0，0）到直线的距离 d1|1|a= 为 13222= ，解得 a=1 【考点定位】 本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。 考察了同学们的运算能力和推理能力。 15. 若等边 ABC 的边长为 32

7、 ，平面内一点 M 满足+= CACBCM3261, 则=MBMA _. 【答案】 -2 【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 )3,3(),0,32(),0,0( BAC 这样利用向量关系式，求得 M )21,233( ，然后求得 )25,23(),21,23( =MBMA ，运用数量积公式解得为 -2. 【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用。也体现了向量的代数化手段的重要性。考查了基本知识的综合运用能力。 16. 若关于 x 的不等式22)12( axx = a ，且有 04 a ，故 40 时，同理可得 ,1121dbcc因此 021cc 综上，21cc

8、【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前 n 项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 21. （本小题满分 12 分） 设函数 0),(,)1(31)(223+= mRxxmxxxf 其中 （）当 时，1=m 曲线 ）（，在点（ 11)( fxfy = 处的切线斜率 （）求函数的单调区间与极值； （）已知函数 )(xf 有三个互不相同的零点 0，21, xx ，且21xx 恒成立，求 m 的取值范围。 【答案】（ 1） 1（ 2） )(xf 在 )1,( m 和 ),1( +m 内减函数，在 )1,1( mm + 内增函数。函数 )(x

9、f 在 mx +=1 处取得极大值 )1( mf + ，且 )1( mf + =313223+mm 函数 )(xf 在 mx =1 处取得极小值 )1( mf ，且 )1( mf =313223+ mm 【解析】解：当 1)1(,2)(,31)(12/23=+=+= fxxxfxxxfm 故时， 所以曲线 ）（，在点（ 11)( fxfy = 处的切线斜率为 1. （ 2）解： 12)(22+= mxxxf ，令 0)(=xf ，得到 mxmx += 1,1 因为 mmm + 11,0 所以 当 x 变化时， )(),(xfxf 的变化情况如下表： x )1,( m m1 )1,1( mm +

10、 m+1 ),1( +m )(xf + 0 - 0 + )(xf 极小值 极大值 )(xf 在 )1,( m 和 ),1( +m 内减函数，在 )1,1( mm + 内增函数。 函数 )(xf 在 mx +=1 处取得极大值 )1( mf + ，且 )1( mf + =313223+mm 函数 )(xf 在 mx =1 处取得极小值 )1( mf ，且 )1( mf =313223+ mm （ 3）解：由题设， )(31)131()(2122xxxxxmxxxxf =+= 所以方程 13122+ mxx =0 由两个相异的实根21, xx ，故 321=+ xx ，且0)1(3412+= m

11、，解得21)(21=+ 恒成立的充要条件是 031)1(2ba ）的两个焦点分别为 )0)(0,(),0,(21 ccFcF ，过点)0,(2caE 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点，且 |2|,/2121BFAFBFAF = （求椭圆的离心率 （）直线 AB 的斜率； （）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 BF2上有一点 H(m,n)( 0m )在 CAF1 的外接圆上，求mn的值。 【答案】（ 1）33=ace （ 2）32=k （ 3）522=mn【解析】 （ 1）解：由 |,/2121BFAFBFAF = ，得21|1212=AFBFEFEF,从而 2122=+ccacca

12、，整理得223ca = ，故离心率33=ace （ 2）解：由（ 1）知，22222ccab = ，所以椭圆的方程可以写为222632 cyx =+ 设直线 AB 的方程为 )(2caxky = 即 )3( cxky = 由已知设 ),(),(2211yxByxA 则它们的坐标满足方程组=+=222632)3(cyxcxky消去 y 整理，得 062718)32(222222=+ cckcxkxk 依题意，3333,0)31(4822= kkc 而222221222132627,3218kcckxxkkxx+=+=+ ，有题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以2123 xcx =+ 联立三

13、式，解得222222213229,3229kcckxkcckx+=+= ，将结果代入韦达定理中解得32=k (3)由（ 2）知，23,021cxx = ，当32=k 时，得 A )2,0( c 由已知得 )2,0( cC 线段1AF 的垂直平分线 l 的方程为 ),2(2222 cxcy += 直线 l 与 x 轴的交点 )0,2(c是CAF1 的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222)2()2( ccycx +=+ 直线 BF2的方程为 )(2 cxy = ，于是点 ),( nmH 满足方程组=+)(249)2(222cmncncm由 0m ，解得222,35 cncm = ，故522=mn当32=k 时，同理可得522=mn【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。