2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试卷（理科）.pdf

1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知全集 UR= ，集合 2 12Mx x=和 21,1,2,Nxxkk=L的关系的韦恩（ Venn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3 个 B. 2个 C. 1 个 D. 无穷多个 【解析】由 2 12Mx x=得 31 x ，则 3,1= NM ，有 2 个，选 B. 2. 设 z 是复数， ()az表示满足 1nz = 的最小正整数 n ，则对虚数单位 i ， ()ai =

2、 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】 ()ai = 1=ni ，则最小正整数 n 为 4，选 C. 3. 若函数 ()yfx= 是函数 (0, 1)xyaa a= 且 的反函数，其图像经过点 (,)aa，则()f x = A. 2log x B. 12log x C. 12xD. 2x 【解析】 xxfalog)( = ，代入 (,)aa，解得21=a ，所以 ()f x =12log x ，选 B. 4.已知等比数列 na 满足 0, 1, 2,nan=L，且25252( 3)nnaa n =，则当 1n 时，21 23 221log log lognaa a+ =L w.w.

3、w.k.s .5.u.c.o.m A. (2 1)nn B. 2(1)n+ C. 2n D. 2(1)n 【解析】 由25252( 3)nnaa n= 得nna222= ， 0na ， 则nna 2= ， +3212loglog aa 2122)12(31log nnan=+=，选 C. w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 5. 给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 若两个平面垂直， 那么一个平面内与它们

4、的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【解析】选 D. 6. 一质点受到平面上的三个力123,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知1F ，2F 成060 角，且1F ，2F 的大小分别为 2 和 4，则3F 的大小为 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m A. 6 B. 2 C. 25 D. 27 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 28)60180cos(20021222123=+= FFFFF ，所以 723=F ，选 D. 7 2010 年广州亚运会组委会要从

5、小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m A. 36 种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法 24331212=ACC ；若小张、小赵都入选，则有选法 122322=AA ，共有选法 36 种，选 A. w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 8已知甲、乙两车由同一起点同时出发 ,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 vv乙甲和 （如图 2 所示）

6、 那么对于图中给定的01tt和 ，下列判断中一定正确的是 A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在0t 时刻，两车的位置相同 D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面 【解析】由图像可知，曲线甲v 比乙v 在 00t 、 01t 与 x 轴所围成图形面积大，则在0t 、1t时刻，甲车均在乙车前面，选 A. w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（ 9 12 题） 9. 随机抽取某产品 n 件，测得其长度分别为12,naa

7、 aL，则图 3 所示的程序框图输出的 s = ， s 表示的样本的数字特征是 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”“：=”） 【解析】 s =naaan+21；平均数 10. 若平面向量 a ， b 满足 1=+ba ， ba + 平行于 x 轴， )1,2( =b ，则 =a . w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 【解析】 )0,1(=+ba 或 )0,1( ，则 )1,1()1,2()0,1( =a 或)1,3()1,2()0,1( =a . 11巳知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为32，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G

8、的方程为 【解析】23=e ， 122 =a ， 6=a ， 3=b ，则所求椭圆方程为 193622=+yx. 12已知离散型随机变量 X 的分布列如右表若 0EX = ， 1DX = ，则 a = ，b = 【解析】 由题知1211=+ cba ， 061=+ ca ， 1121211222=+ ca ，解得125=a ，41=b . （二）选做题（ 13 15 题，考生只能从中选做两题） 13 （坐标系与参数方程选做题）若直线+=.2,21:1ktytxl （ t 为参数）与直线2,:12.xslys=（ s 为参数）垂直，则 k = 【解析】 1)2(2=k，得 1=k . 14 （不

9、等式选讲选做题）不等式112xx+的实数解为 【解析】112xx+ 2302)2()1(022122+ xxxxxxx且 2x . 15 （几何证明选讲选做题）如图 4，点 ,ABC是圆 O上的点， 且04, 45AB ACB= = ， 则圆 O的面积等于 【解析】 解法一： 连结 OA、 OB ， 则090=AOB ， 4=AB ， OBOA = ， 22=OA ，则 8)22(2=圆S ；解法二： 222445sin420= RR ，则 8)22(2=圆S . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 16 (本小题满分 12分） 已知向量

10、)2,(sin = a 与 )cos,1( =b 互相垂直，其中 (0, )2 （ 1）求 sin 和 cos 的值； （ 2）若10sin( ) ,010 2 = =m 时， 2)222( =+ m 解得 12 =m 当 0 ， 若 0m ，11km ， 函数 ()yfxkx=有两个零点)1(2)1(442kkmx= ，即1)1(11=kkmx ； 若 0m ( 0m )，或11km的切线nl ，切点为 (, )nnnPx y （ 1）求数列 nnx y与 的通项公式； （ 2）证明：135 2112sin1nnnx xxxx xx y +L. 解：（ 1 ）设直线nl ： )1( += x

11、kyn，联立 0222=+ ynxx 得0)22()1(2222=+nnnkxnkxk ，则 0)1(4)22(2222=+=nnnkknk ，12 +=nnkn（12 +nn舍去） 22222)1(1 +=+=nnkkxnnn，即1+=nnxn，112)1(+=+=nnnxkynnn（ 2）证明：121111111+=+=+nnnnnxxnn12112125331212432112531+=+=nnnnnxxxxnnnnxxxxxx+1112531由于nnnnxxnyx+=+=11121，可令函数 xxxf sin2)( = ，则 xxf cos21)(= ，令 0)(=xf ，得22cos =x ，给定区间 )4,0(，则有 0)(xf ，则函数 )(xf 在 )4,0(上单调递减， 0)0()( = fxf ，即 xx sin2 在 )4,0(恒成立，又4311210+n， 则有121sin2121+ nn，即nnnnyxxxsin211+. w.w.w.k.s .5.u.c.o.m .w.k.s.5.u.c.o.m