2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试卷（文史类）.pdf

1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 本试卷满分150 分，考试时间120分钟 第卷 考生注意： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，那么

2、()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 AB， 相互独立，那么 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 () (1 ) ( 01,2 )kk nknnPk CP P k n=L， 以 R为半径的球体积：343VR= 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 1圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A22(2)1xy+ = B22(2)1xy+ += C22(1)(3)1xy

3、+= D22(3)1xy+ = 【答案】A 解法1 （直接法） ： 设圆心坐标为 (0, )b ， 则由题意知2(1)(2)1ob +=， 解得 2b= ，故圆的方程为22(2)1xy+ =。 解法2 （数形结合法） ：由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为（0，2） ，故圆的方程为22(2)1xy+ = 解法3 （验证法） ：将点（1，2）代入四个选择支，排除 B，D，又由于圆心在 y 轴上，排除 C。 2命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A “若一个数是负数，则它的平方不是正数” B “若一个数的平方是正数，则它是负数” C “若一个数不是负数，

4、则它的平方不是正数” D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 【答案】B 解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数” 。 36(2)x+ 的展开式中3x 的系数是（ ） A20 B40 C80 D160 【答案】D 解法 1：设含3x 的为第 1r+ ，则 1Tr+62rrrnCx= ，令 63r = ，得 3r = ，故展开式中3x 的系数为3362 160C = 。 解法 2：根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的 x与2分得的次数和为 6，则根据条件满足条件3x 的项按 3 与3 分配即可，则展开式中

5、3x 的系数为3362 160C = 。 4已知向量 (1,1), (2, ),x=ab 若 a+b与 4b 2a平行，则实数 x的值是（ ） A-2 B0 C1 D2 【答案】D 解法 1：因为 (1,1), (2, )abx=，所以 (3, 1),4 2 (6,4 2),ab x b a x+ =+ = 由于ab+ 与 42ba 平行，得 6( 1) 3(4 2) 0xx+ =，解得 2x= 。 解法 2：因为 ab+ 与 42ba 平行，则存在常数 ，使 (4 2 )ab b a+ =，即(2 1) (4 1)ab +=，根据向量共线的条件知，向量 a与 b 共线，故 2x= 。 5 设

6、 na 是公差不为 0 的等差数列，12a = 且136,aaa成等比数列， 则 na 的前 n项和nS =（ ） A2744nn+ B2533nn+ C2324nn+ D2nn+ 【答案】A 解析：设数列 na 的公差为 d ，则根据题意得 (2 2 )2 2 (2 5 )dd+ = + ，解得12d = 或0d = （舍去） ，所以数列 na 的前 n项和2(1)1 722244nnn n nSn=+ =+ 6下列关系式中正确的是（ ） A00 0sin11 cos10 sin168，则112 abab+ 的最小值是（ ） A2 B 22 C4 D5 【答案】C 解析因为11 1 1222

7、2( )4ab ab aba b ab ab+ + = + 当且仅当11ab= ，且1abab= ，即 ab= 时，取“=”号。 812 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个队） ，则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为（ ） A155B355C14D13【答案】B 解析：因为将 12 个组分成 4 个组的分法有44412 8 433CCCA种，而 3 个强队恰好被分在同一组分法有31 44398422CCCCA，故各强队恰好被分在同一组的概率为314424 4439984 2128433CCCCAC CCA=55。 9在正四棱柱111 1ABCD ABC

8、 D 中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11ABCD的距离分别为 h和 d ，则下列命题中正确的是（ ） A若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为 (0,1) B若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为223(, )23C若侧棱的长大于底面的变长，则hd的取值范围为23(,2)3D若侧棱的长大于底面的变长，则hd的取值范围为23(,)3+ 【答案】C 解析：设底面边长为 1，侧棱长为 (0) ，过1B 作1111,B HBDBGAB 。在11RtBBD 中，211 12, 2BD BD = =+，由三角形面积关系得11 112122BD BBhBHBD= =+设在正四棱柱中， 由

9、于1,BCABBCB ，所以 BC 平面11AAB B，于是1BCBG ，所以1BG 平面11ABCD ，故1BG为点到平面11ABCD 的距离，在11RtABB 中，又由三角形面积关系得11 1121 1AB BBdBGAB= =+于是22221 12122hd+=+，于是当 1 ，所以222123, 1 132+ ， 曲线1C 与2C 至多只有一个交点， 则 v的最小值为 （ ） A 2 B4 C6 D8 【答案】B 解析：根据题意曲线 C 的解析式为3()3(),y xu xu v= 则方程33()3() 3x uxuvxx= ，即233( 3 )0ux u u v + ，即3134vu

10、u + 对任意 0u 恒成立，于是3134vuu + 的最大值，令31() 3( 0),4gu u uu= + 则233( ) 3 ( 2)( 2)44gu u u u=+=+由此知函数 ()gu在（0，2）上为增函数，在 (2, )+ 上为减函数，所以当 2u = 时，函数 ()gu取最大值，即为 4，于是 4v 。 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5分，共25 分把答案写在答题卡相应位置上 11 若 Unn= 是小于 9 的正整数 ， A nUn= 是奇数 ， B nUn= 是 3 的倍数 ，则 ()UAB=U 【答案】 2,4,8 解析： 1,2,3,4,5,6,7,8U = ，则

11、 1,3,5,7, 3,6,AB= = 所以1,3,5,6,7AB=U ，所以 ()2,48UAB=U 12 记3() log( 1)fx x=+的反函数为1()y fx= ，则方程1() 8fx= 的解x = 【答案】2 解法1： 由3() log( 1)yfx x= +， 得13yx= ， 即1() 3 1f xx= ， 于是由 318x=，解得 2x = 解法 2：因为 1( ) 8fx=，所以3(8) log (8 1) 2xf= =+= 135 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答） 【答案】72 解析：可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有33A

12、 种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有24A 种，则甲、乙两不相邻的排法有3234AA 72=种。 14从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克） 125 124 121 123 127 则该样本标准差 s = （克） （用数字作答） 【答案】2 解析：因为样本平均数1(125 124 121 123 127) 1245x=+=，则样本方差2 222221(1 0 3 1 3 ) 4,5s =+=所以 2s = 15已知椭圆22221( 0)xyabab+=的左、右焦点分别为12(,0),(,0)Fc Fc ，若椭圆上存在一点 P使12 21sin sinacPFF

13、PF F= ，则该椭圆的离心率的取值范围为 【答案】()21,1 解法 1：因为在12PFF 中，由正弦定理得2112 21sin sinPF PFPFF PF F= 则由已知，得12 11acPF PF= ，即12aPF cPF= 设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF a ex= += 则00()()aa ex ca ex+= 记得0()(1)()(1)ac a aexec a ee =+由椭圆的几何性质知0(1)(1)aex aaee +则 ， 整理得2210,ee+解得 21 21 (0,1)ee e+则既 所以2210,ee+以下同解析 1. 三、解答

14、题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分 ） 设函数22() (sin cos ) 2cos ( 0)fx x x x =+ + 的最小正周期为23（）求 的最小正周期 （）若函数 ()y gx= 的图像是由 ()y fx= 的图像向右平移2个单位长度得到，求()ygx= 的单调增区间 解： （）22() (sin cos ) 2cosf xxx x =+ + 22sin cos sin2 1 2cos2x xx x =+ sin2 cos2 2 2sin(2 ) 24xx x =+= + 依题

15、意得2223 = ，故 的最小正周期为32. （）依题意得: 5( ) 2sin 3( ) 2 2sin(3 ) 224 4gx x x =+=+由5232()24 2kxkkZ + 解得 227()34 312kxk kZ + + 故 ()y gx= 的单调增区间为: 227, ()34312kk kZ + 17 （本小题满分 13 分， （）问 7分， （）问6 分） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中： （）至少有 1 株成活的概率； （）两种大树各成活 1 株的概率 解: 设kA

16、 表示第 k 株甲种大树成活, 1, 2k = ; 设lB 表示第 l 株乙种大树成活, 1, 2l = 则1212,AABB独立,且12 1254() () ,() ()65PA PA PB PB= = （）至少有 1 株成活的概率为: 221212 1 2 1 21 1 8991 ( )1 ()()()()1()()6 5 900PA A B B PA PA PB PB= = = （）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为: 112251 41 10 8 46 6 5 5 36 25 45PC C= 18 （本小题满分 13 分， （）问 7分， （）问6 分

17、） 如题（18）图，在五面体 ABCDEF 中， AB DC ，2BAD = ，2CD AD=，四边形 ABFE 为平行四边形， FA平面 ABCD，3, 7FC ED=求： （）直线 AB到平面 EFCD的距离； （）二面角 FADE的平面角的正切值 解法一: （） ,AB DC DC Qnull 平面 EFCD, AB 到面 EFCD的距离等于点 A 到面 EFCD的距离，过点 A 作 AG FD 于G，因2BAD = AB DC ，故CD AD ；又 Q FA平面 ABCD，由三垂线定理可知， CD FD ，故 CD FAD面 ，知 CD AG ，所以 AG为所求直线 AB 到面 EFC

18、D的距离。 在 Rt ABC 中，2294 5FD FC CD= 由 FA 平面 ABCD ，得 FA AD，从而在 RtFAD 中，22541FA FD AD= 22555FA ADAGFD=。即直线 AB到平面 EFCD的距离为255。 （）由己知， FA平面 ABCD，得 FAAD，又由2BAD = ，知 ADAB ，故 AD 平面ABFE DA AE ，所以， FAE 为二面角 FADE 的平面角，记为 . 在 RtAED 中, 2274 3AE ED AD=,由 ABCDnull 得, FE BAnull ,从而2AFE= 在 Rt AEF 中, 2231 2FE AE AF= ,故

19、 tan 2FEFA = 所以二面角 FADE 的平面角的正切值为2 . 解法二: （）如图以 A 点为坐标原点, ,ABADAFuuur uuur uuur的方向为 ,x yz的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设00(0,0, ) ( 0)Fzz 可得0(2,2, )FCz= uuur,由 |3FC =uuur.即22203z+=,解得 (0,0,1)F Q AB DC ， DC 面 EFCD,所以直线 AB 到面 EFCD的距离等于点 A 到面 EFCD的距离。设 A点在平面 EFCD 上的射影点为111(,)Gx y z ,则111(,

20、)AGxyz=uuur因 0AG DF=uuur uuur且0AG CD=uuur uuur,而 (0, 2,1)DF =uuur( 2,0,0)CD =uuur,此即1112020yzx+=解得10x = 知G点在 yoz面上,故G 点在FD 上. GF DFuuur uuurnull ,111(, 1)GF x y z= +uuur故有1112yz=+ 联立,解得, 24(0, , )55G |AGuuur为直线 AB 到面 EFCD的距离. 而24(0, , )55AG =uuur所以25|5AG =uuurABCDEFxyzG（）因四边形 ABFE 为平行四边形,则可设00(,0,1)

21、( 0)Ex x ,故 ()gx在 (,1) 上为增函数 当1(1, )3x 时, () 0gx ,故 ()gx在1(,)3 + 上为增函数 20 （本小题满分 12 分， （）问 5分， （）问7 分） 已知以原点 O为中心的双曲线的一条准线方程为55x= ，离心率 5e= （）求该双曲线的方程； （）如题（20）图，点 A 的坐标为 (5,0) ， B 是圆22(5)1xy+ =上的点，点 M 在双曲线右支上，求 MAMB+ 的最小值，并求此时 M 点的坐标 解： （）由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双曲线的方程为22221( 0, 0)xyabab= ，设22cab= + ，

22、由准线方程为55x= 得255ac= ，由5e= 得 5ca= 解得 1, 5ac= 从而 2b= ， 该双曲线的方程为2214yx =； （）设点 D 的坐标为 (5,0)，则点 A、D 为双曲线的焦点， |22MA MD a= 所以 |2|2|MAMB MBMD BD+=+ + ， Q B是圆22(5)1xy+ =上的点，其圆心为 (0, 5)C ，半径为 1，故 |1101BD CD =+ 从 而|2|101MA MB BD+ + 当 ,M B在线段 CD上时取等号，此时 |MAMB+ 的最小值为 10 1+ Q直线 CD 的方程为 5yx= + ，因点 M 在双曲线右支上，故 0x 由

23、方程组22445xyyx = +解得542 4542,33xy+ = 所以 M 点的坐标为5424542(,)33+ ； 21 （本小题满分 12 分， （）问 3分， （）问4 分， （）问 5 分） 已知112 2 11, 4, 4 , ,nnnnnnaaa a aab nNa+= = + = （）求123,bbb的值； （）设1,nnnncbbS+= 为数列 nc 的前 n项和，求证： 17nSn ； （）求证：221164 17nnnbb 于是112 1, 17, 4 1 17 ( 2)nnn ncbb cbb b n+= =+ 所以1217nnScc c n=+L （）当 1n= 时，结论21117464bb= 成立 当 2n 时，有11 11111 1|4 4 | | | | |17nnnn nnnnnbbbb bbbbb+ =+ = 12 2121211| | (2)17 17 64 17nn nnbb bb n Lnull 所以 2121221nn n n n n n nbb b bb b bb+ +L 1122 *211()(1 )11 1 1 1 1 117 17() () () ( )14 17 17 17 4 64 17117nnnn nnnN+ = Lnull null