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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科).pdf

1、绝密考试结束前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理科) 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分(共 50 分) 注意事项: 1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 柱体的体积公

2、式 P(A+B)=P(A)+P(B) ShV = 如果事件 A、 B 相互独立,那么 其中 S 表示柱体的底面积, h表示柱体的高 P(AB)=P(A)P(B) 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n ShV31= 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积, h表示锥体的高 knkknnPPCkP= )1()( ),2,1,0( nk L= 球的表面积公式 台体的体积公式 24 RS = )(312211SSSShV += 球的体积公式 其中 S1, S2分别表示台体的上、下底面积 334RV = h表示台体的高 其中 R 表示球的半径

3、一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ( 1)设 4|,4|2k ( B) ?5k ( C) ?6k ( D) ?7k ( 3)设nS 为等比数列 na 的前 n项和, 0852=+aa ,则 =25SS( A) 11 ( B) 5 ( C) -8 ( D) -11 ( 4)设20= babyax的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点 P,满足 |212FFPF = ,且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲的渐近线方程为 ( A) 043 = yx ( B) 053 = yx ( C) 034 = y

4、x ( D) 045 = yx ( 9)设函数 xxxf += )12sin(4)( ,则在下列区间中函数 )(xf 不存在零点的是 ( A) -4, -2 ( B) -2, 0 ( C) 0, 2 ( D) 2, 4 ( 10)设函数的集合 1,0,1;1,21,0,31|)(log)(2=+= babaxxfP ,平面上点的集合 1,0,1;1,21,0,21|),( = yxyxQ ,则在同一直角坐标系中, P 中函数 )(xf的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 ( A) 4 ( B) 6 ( C) 8 ( D) 10 绝密考试结束前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数

5、学(理科) 非选择题部分 (共 100 分) 注意事项: 1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 ( 11)函数 xxxf2sin22)42sin()( =的最小正周期是 。 ( 12)若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示, 则此几何体的体积是 cm3. ( 13)设抛物线 )0(22= ppxy 的焦点为 F,点 )2,0(A 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上, 则 B 到该抛物线准线的距离为 。 ( 14)

6、设nnxxNnn )313()212(,2 + =nnxaxaxaa K+2210,将 )0( nkak 的最小值记为nT ,则KK ,3121,0,3121,055543332 nTTTTT = 其中 =nT 。 ( 15)设 da ,1为实数,首项为1a ,公差为 d 的等差数列 na 的前 n项和为nS ,满足01565=+SS 则 d 的取值范围是 。 ( 16 )已知平面向量 ),0(, aaa 满足 aa = 与且,1 的夹角为 120 则a 的取值范围是 。 ( 17)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “肺活量” 、 “握力” 、“台阶”五

7、个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复,若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有种 (用数字作答) 。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ( 18)(本题满分 14 分) 在 ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 .412cos =C ( I)求 Csin 的值; ( II)当 a=2, CA sinsin2 = 时,求 b 及 c 的长 . ( 19) (本题满分 14 分)如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上面下落到 A 或

8、B 或 C,已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。 某商家按上述投球方式进行促销活动, 若投入的小球落到 A,B, C,则分别设为 1, 2, 3 等奖 . ( I)已知获得 1, 2, 3 等奖的折扣率分别为 50%, 70%, 90%,记随机变量 为获得 )3,2,1( =kk 等奖的折扣率, 求随机变量 的分布列及数学期望 .E ( II)若有 3 人次(投入 1 球为 1 人次)参加促销活动,记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P( 2= ) . ( 20) (本题满分 15 分)如图,在矩形 ABCD 中,点 E, F 分别在线段 AB, AD 上,AE

9、=EB=AF= .432=FD 沿直线 EF 将 AEF 翻折成 ,EFA 使平面 EFA 平面 BEF. ( I)求二面角 CFDA 的余弦值; ( II)点 M, N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A 重合,求线段 FM 的长 . ( 21) (本题满分 15 分) 已知 1m , 直线 ,02:2=mmyxl 椭圆21222,1: FFymxC =+ 分别为椭圆 C 的左、右焦点 . ( I)当直线 l过右焦点 F2时,求直线 l的方程; ( II)设直线 l与椭圆 C 交于 A, B 两点,21FAF ,21FBF 的重心分别为

10、 G, H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围 . ( 22 )(本题满分 14 分)已知 a 是给定的实常数,设函数,)()()(2Rbebxaxxfx+= ax = 是 )(xf 的一个极大值点 . ( I)求 b 的取值范围 ; ( II)设321, xxx 是 )(xf 的 3 个极值点,问是否存在实数 b,可找到 Rx 4,使得4321, xxxx 的某种排列432,iiiixxxx (其中 4,3,2,1,4321=iiii )依次成等差数列?若存在,示所有的 b 及相应的 ;4x 若不存在,说明理由 . 参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运

11、算。每小题 5 分,满分 50 分。 ( 1) B ( 2) A ( 3) D ( 4) B ( 5) D ( 6) B ( 7) C ( 8) C ( 9) A ( 10) B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 ( 11) ( 12) 144 ( 13)324( 14)0,11,23nn当 为偶数时当 为奇数时( 15) 22 22dd= 或 ( 16)23(0, 3( 17) 264 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。 ( 18)本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 ()解:因为21c

12、os 2 1 2sin4CC= =, 及 0 C = =rurrurrur 所以二面角的余弦值为3.3()解:设 (4 ,0,0)FM x M x=+则 因为翻折后, C 与 A 重合,所以 CM= A M 故222 22 2(6 ) 8 0 ( 2 ) 2 (2 2)xx+=+ , 得214x = 经检验,此时点 N 在线段 BG 上 所以21.4FM = 方法二: ()解:取截段 EF 的中点 H, AF 的中点 G,连结 A G , NH, GH 因为 A EAF= 及 H 是 EF 的中点, 所以 AH/EF。 又因为平面 AEF平面 BEF, 所以 AH平面 BEF, 又 AF 平面

13、 BEF, 故 A HAF , 又因为 G, H 是 AF, EF 的中点, 易知 GH/AB, 所以 GH AF , 于是 AF 面 AGH 所以 A GH 为二面角 A DF C 的平面角, 在 RtAGH 中, 22, 2, 23AH GH AG= 所以3cos .3AGH= 故二面角 A DF C 的余弦值为33。 ()解:设 FMx= , 因为翻折后, G 与 A重合, 所以 CM A M , 而22 22 28(6)CM DC DM x=+ =+ 222222 2 22(2 2) ( 2) 2AM AH MH AH MG GH x =+=+ + 得214x = 经检验,此时点 N

14、在线段 BC 上, 所以21.4FM = ( 21)本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分 ()解:因为直线2:02mlxmy=经过22(1,0)Fm 所以2221, 22mmm= =得 又因为 1.m 所以 2.m = 故直线 l的方程为 210.xy= ()解:设11 2 2(, ),(, )Ax y Bx y , 由2222,21mxmyxym=+=消去 x得 222104mymy+= 则由2228( 1) 8 04mmm= = + , 知28m 且 所以 12.m 于是可设12,x x 是 ()

15、0gx= 的两实根,且12,x x ( 1)当12x ax a=或 时,则 x a= 不是 ()f x 的极值点,此时不合题意 ( 2)当12x ax a且 时,由于 x a= 是 ()f x 的极大值点, 故12.x ax 即 () 0ga 即2(3 ) 2 0a aba baba+ + 所以 ba 所以 b的取值范围是( -, a ) ()解:由()可知,假设存了 b及bx 满足题意,则 ( 1)当21x aax=时,则42 4122x xax xa= =或 于是1223.xx ab= + = 即 3.ba= 此时24223(1)826xxaab ab aa=+=+ 或24123(1)82

16、6.xxaab ab aa= = + += ( 2)当21x aax时,则21222( ) ( ) 2( )x aaxax xa = = 或 若22122( ),2axxa ax x+= =则 于是2123( 3) ( 1) 8322ab abaxx + +=+= 即2(1)83(3)ab ab+ += + 于是91312ab+= 此时222 ( 3) 3( 3) 1 133.24 2ax aab abxba+ + + += =+ 若112 22( ),2axax x a+= + =则x 于是2213( 3) ( 1) 8322ab abaxx + +=+= 即2( 1) 8 3( 3)ab ab += + 于是9131.2ab+= 此时122 ( 3) 3( 3) 1 133.24 2ax aab abxba+ + + = =+ 综上所述,存在 b满足题意 当43, 26ba xa= = 时 当4713 113,22ba xa+= = +时 当4713 113,.22ba aa= = +时

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