2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷(文史类).pdf

1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学(文史类) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时 120 分钟。第 I 卷1 至3 页。第卷 4 至11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1答 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那

2、么 null棱柱的体积公式 V=Sh. ( ) () ()PA B PA PB= + 其中 S 表示棱柱的底面积 . h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)i 是虚数单位，复数31ii+= (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i (2)设变量 x，y 满足约束条件3,1,1,xyxyy+则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 （4）函数 f（x）= 2xex+的零点所在的一

3、个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） (5)下列命题中，真命题是 (A) mR, fx x mxxR + 2使函数 （ ）= （ ）是偶函数 (B) mR, fx x mxxR + 2使函数 （ ）= （ ）是奇函数 (C) mR, fx x mxxR + 2使函数 （ ）= （ ）都是偶函数 (D) mR, fx x mxxR + 2使函数 （ ）= （ ）都是奇函数 (6)设554a log 4 b log c log= =25，（ 3） ，则 (A)a的一条渐近线方程是 3y x= ， 它的一个焦点与抛物线216y x= 的焦点相同

4、。则双曲线的方程为 。 （ 14）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 。 （ 15）设 an是等比数列，公比 2q = ， Sn为 an的前 n项和。记*2117,.nnnnSSTnNa+=设0nT 为数列 nT 的最大项，则0n = 。 （ 16）设函数 f(x)=x-1x,对任意 x 1,+），f(mx)+mf(x)0. （）若 a=1，求曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2） ）处的切线方程； （）若在区间11,22上， f（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围 . （ 21） （本小题满分 14

5、 分） 已知椭圆22221xyab+=（ ab0）的离心率 e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. （）求椭圆的方程； （）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、 B，已知点 A 的坐标为（ -a， 0） . （ i）若42AB5|= ，求直线 l 的倾斜角； （ ii）若点 Q y0（0， ） 在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA QB=4uuur uuurnull .求 y0的值 . （ 22） （本小题满分 14 分） 在数列 na 中，1a =0，且对任意 k*N ，2k 1 2k 2k+1a,a,a成等差数列，其公差为 2k. （）证明456a,a,a成等比数列；

6、（）求数列 na 的通项公式； （）记22 22323nnnTaa a=+nullnullnull ，证明n32n T 2 n20 等价于5a10,()0,8215a() 0, 0.28ff+ 即 解不等式组得-52，则110a20 等价于1f(- )21f( )0,a0,即25811- 0.2aa0,解不等式组得252a或22a .因此 2a5. 综合（1）和（2） ，可知a 的取值范围为 0a5. （21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分 1

7、4 分. （）解：由 e=32ca= ，得2234ac= .再由222cab= ，解得a=2b. 由题意可知122 42ab=，即ab=2. 解方程组2,2,abab=得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为2214xy+=. ()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为11(, )x y ，直线l 的斜率为k.则直线l 的方程为 y=k（x+2）. 于是 A、B 两点的坐标满足方程组22(2),1.4ykxxy= + =消去 y 并整理，得 22 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0kx kx k+=. 由21216 4214kxk=+，得2122814kxk=

8、+.从而12414kyk=+. 所以2222228 4 41| 214 14 14kk kAB+= + =+. 由42|5AB = ，得2241 4214 5kk+=+. 整理得4232 9 23 0kk=，即22( 1)(32 23) 0kk +=，解得 k= 1 . 所以直线 l的倾斜角为4或34. （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到M的坐标为22282,14 14kkkk+. 以下分两种情况： （1）当 k=0时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB的垂直平分线为 y 轴，于是 ()()002, , 2, .QA y QB y= = uuur uuur由 4QA Q

9、B =uuur uuur，得 y22=0。 （ 2）当 0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为22221814 14kkyxkk k=+。 令 0x= ，解得0 2614kyk=+。 由()02,QA y=uuur， ()11 0,QB x y y=uuur， ()( )21010 222222 864 6214 14 14 14kkk kQA QB x y y ykkk= = + +uuur uuur()()4222416 15 1414kkk+=+， 整理得272k = 。故147k = 。所以02145y = 。 综上，022y = 或02145y = （ 22）本小题主要考查等差数列

10、的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。 （ I） 证明： 由题设可知，2122aa=+=，3224aa= +=，4348aa= +=，54412aa=+=， 65618aa=+=。 从而655432aaaa=，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。 （ II）解：由题设可得21 214, *kkaa kkN+= 所以()()( )211 2121 2123 31.kkkkkaaaa aa aa+= + + ()4 4 1 . 4 1kk=+ + ( )21, *kk k N=+.

11、由10a = ，得 ()2121kakk+= + ，从而222122kkaa kk+=. 所以数列 na 的通项公式为221,2,2nnnann =为奇数为偶数或写为()21124nnna =+ ， *nN 。 （ III）证明：由（ II）可知 ( )2121kakk+=+，222kak= ， 以下分两种情况进行讨论： （ 1） 当 n 为偶数时，设 n=2m()*mN 若 1m= ，则2222nkkkna=， 若 2m ，则 () ()()22211221 1 1 122114441221nm m mmkk k k kkk kkkaa a k k= = = =+ +=+ + () ()21

12、144 1 11122121 2 1mmkkkk kk k k=+=+ + =+ + + ()11 3122 1 1 222mm nmn=+ + =. 所以223122nkkknan=+，从而2232 2, 4,6,8,.2nkkknna= =（ 2） 当 n 为奇数时，设 ( )21 *nmmN=+ 。 () ()()22222222121 2131422 2 1nmkkkkmmmkkmaaa mmm=+=+ =+()11 314222 1 2 1mnmn=+ =+所以2231221nkkknan=+，从而2232 2, 3,5,7,.2nkkknna= =综合（ 1）和（ 2）可知，对任意 2, *,nnN有322.2nnT