2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学试卷（理科）.pdf

1、姓名 座位号 （在此卷上答题无效） 绝密启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分考试用时 120分钟 注意事项： 1答卷前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位 2 答第 I 卷时， 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3答第卷时，必须使用 0.5 毫米黑色黑

2、水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色签际笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效4考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交 参考公式： 如果事件 A 与 B 互斥，那么 )()()( BPAPBAP +=+ 如果 A 与 B 是两个任意事件， 0)( AP ，那么 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 )|()()( ABPAPABP = )()()( BPAPABP 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的

3、四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） i是虚数单位， =+ ii33（ A）12341 （ B） i12341 （ C） i6321+ （ D） i6321 （ 2）若集合 21log|21= xxA ，则 =ACR（ A）+ ,220,( （ B）+,22（ C）+ ,220,( （ D）+,22（ 3）设向量 )21,21(),0,1( = ba ，则下列结论中正确的是 （ A） | ba = （ B）22=ba （ C） bba 与 垂直 （ D） ba / （ 4）若 )(xf 是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 ,2)2(,1)1( = ff 则 )4()3( ff =

4、 （ A） -1 （ B） 1 （ C） -2 （ D） 2 （ 5）双曲线方程为 1222= yx ，则它的右焦点坐标为 （ A） )0,22( （ B） )0,25( （ C） )0,26( （ D） )0,3( （ 6）设 0abc ，二次函数 cbxaxxf +=2)( 的图象可能是 （ 7）设曲线 C 的参数方程为+=+=sin31cos32yx（ 为参数） ， 直线 l的方程为 023 =+ yx ，则曲线 C 到直线 l的距 离为10107的点的个数为 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 （ 8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为 （ A） 280

5、（ B） 292 （ C） 360 （ D） 372 （ 9）动点 ),( yxA 在圆 122=+ yx 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转， 12 秒旋转一周 .已知定时 t=0 时，点 A 的坐标是 )23,21( ，则当 120 t 时，动点 A 的纵坐标 y 关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 （ A） 0， 1 （ B） 1， 7 （ C） 7， 12 （ D） 0， 1和 7， 12、 （ 10）设 na 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X， Y， Z，则下列等式中恒成立的是 （ A） YZX 2=+ （ B） )()( XZZXYY

6、= （ C） XZY =2（ D） )()( XZXXYY = （在此卷上答题无效） 绝密启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 第卷（非选择题 共 100 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置 （ 11）命题“对任何 3|4|2|, + xxRx ”的否定是 （ 12）6xyyx的展开式中，3x 的系数等于 （ 13） 设 yx, 满足约束条件+,0,0,048,022yxyxyx若目标函数 )0,0( += bayab

7、xz 的最大值为 8，则 ba+ 的最小值为 （ 14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值 =x （ 15）甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红 球， 3 个白球和 3 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以 A1， A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球 的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球 是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结 论的编号） 52)(1=BP ； 115)|(1=ABP ； 事件 B 与事件 A1相互独立； A1， A2， A3是两两互斥的事件； )(BP 的值不能确定，因为它与

8、A1， A2， A3中究竟哪一个发生有关 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内 （ 16） （本小题满分 12 分） 设 ABC 是锐角三角形， cba , 分别是内角 A ， B ， C 所对边长，并且.sin)3sin()3sin(sin22BBBA +=（）求角 A 的值； （）若 72,12 = aACAB ，求 cb, （其中 cb xa 且 时， .122+ axxex（ 18） （本小题满分 13 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， EF/AB， EF FB， AB=2EF， ,

9、90=BFC BF=FC， H 为 BC 的中点 . （ I）求证： FH/平面 EDB； （ II）求证： AC平面 EDB； （ III）求二面角 B DE C 的大小 . （ 19） （本小题满分 13 分） 已知椭圆 E 经过点 A（ 2， 3） ，对称轴为坐标轴，焦点 F1， F2在 x 轴上，离心率 .21=e （ I）求椭圆 E 的方程； （ II）求21AFF 的角平分线所在直线 l的方程； （ III）在椭圆 E 上是否存在关于直线 l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由 . （ 20） （本小题满分 12 分） 设数列 ,21Laa L,na 中的每一项都不为

10、 0. 证明， na 为等差数列的充分必要条件是：对任何 Nn ，都有.1111113221 +=+nnnaanaaaaaaL （ 21） （本小题满分 13 分） 品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出 n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试 .根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分 . 现设 n=4，分别以4321, aaaa 表示第一次排序时被排为 1， 2， 3， 4 的四种酒在第二次排序时的序号，并令 .|4|3|2|1

11、|4321aaaaX += 则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述 . （ I）写出 X 的可能值集合； （ II）假设4321, aaaa 等可能地为 1， 2， 3， 4 的各种排列，求 X 的分布列； （ III）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 2X ， （ i）试按（ II）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立） ； （ ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由 . 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） B （ 2） A （ 3） C （ 4） A （ 5） C （

12、6） D （ 7） B （ 8） C （ 9） D （ 10） D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置 （ 11）存在 ,-2-4|3xxxR 使得| |+| （ 12） 15（若只写2466CC或 ，也可） （ 13） 4 （ 14） 12 （ 15） 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内 （ 16） （本小题满分 12 分） 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力 . 解： （ I）因为

13、2 231 31sin ( cos sin )( cos sin ) sin2222ABBBBB=+ + 22231 3cos sin sin ,44 43sin , , .23BBBAA A=+= =所以 又 为锐角 所以（ II）由 12AB AC=uuur uuur可得 cos 12.cb A= 由（ I）知 ,3A= 所以 24cb = 由余弦定理知2222cos, 27acb cbAa=+= =将 及代入，得 + 2，得 ( ) 100cb2+=，所以 10.cb+= 因此， c， b 是一元二次方程210 24 0tt +=的两个根 . 解此方程并由 6, 4.cbc b=知 （

14、17） （本小题满分 12 分） 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力 . （ I）解：由 () 2 2, () 2, .xxfx e x ax f x e x=+ = RR知 令 () 0, ln2. , (), ()f xx x fxfx=得 于是当 变化时 的变化情况如下表： x (,ln2) ln 2 (ln 2, )+ ()f x 0 + ()f x 单调递减 2(1 ln 2 )a + 单调递增 故 ()f x 的单调递减区间是 (,ln2) ，单调递增区间是 (ln 2, )+ ， () ln2fx

15、x=在 处取得极小值， 极小值为ln 2(ln2) 2ln2 2 2(1 ln2 ).f eaa= +=+ （ II）证：设2() 2 1, ,xgx e x ax x=+ R 于是 () 2 2, .xgx e x ax =+ R 由（ I）知当 ln 2 1 , ( ) (ln 2) 2(1 ln 2 ) 0.agxg a =+时 最小值为 ,()0,()xgxgx RR于是对任意 都有 所以 在 内单调递增, 于是当 ln 2 1 , (0, ), ( ) (0),ax g + 时 对任意 都有 而 (0) 0, (0, ), ( ) 0.gxgx=+从而对任意 即22210, 21.x

16、xe x ax e x ax+ +故 （ 18） （本小题满分 13 分） 本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力 . 综合法 （ 1）证：设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点，连 EG， GH， 又 H 为 BC 的中点，11/ , / , / .22GH AB EF AB EF GH 又 四边形 EFHG 为平行四边形， EG/FH，而 EG平面 EDB， FH/平面 EDB. （ II）证：由四边形 ABCD 为正方形，有 AB BC，又 EF/AB， EF

17、 BC. 而 EF FB， EF平面 BFC， EF FH， AB FH. 又 BF=FC， H 为 BC 的中点， FH BC. FH平面 ABCD， FH AC， 又 FH/BC， AC=EG. 又 AC BD， EGBD=G， AG平面 EDB. （ III）解： EF FB， BFC=90， BF平面 CDEF， 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK DE 交 DE 的延长线于 K， 则 FKB 为二面角 B DE C 的一个平面角 . 设 EF=1，则 AB=2， FC= 2 ， DE= 3 又 EF/DC， KEF= EDC， sin EDC=sin KEF=2.3 FK=EFs

18、in KEF=23， tan FKB= 3,BFFK= FKB=60 二面角 B DE C 为 60 . 向量法 四边形 ABCD 为正方形， AB BC，又 EF/AB， EF BC. 又 EF FB， EF平面 BFC. EF FH， AB FH. 又 BF=FC， H 为 BC 的中点， FH BC， FH平面 ABC. 以 H 为坐标原点， HB xuuur为 轴正向， HF zuuur为 轴正向， 建立如图所示坐标系 . 设 BH=1，则 A（ 1， 2， 0） ， B（ 1， 0， 0） ， C（ 1， 0， 0） ， D（ 1， 2， 0） ， E（ 0， 1， 1） ， F（

19、0， 0， 1） . （ I）证：设 AC 与 BD 的交点为 G，连 GE， GH， 则 (0, 1,0), (0,0,1), (0,0,1) / / .GCE HF HFGE= = uuur uuur uuur uuur又 GE 平面 EDB， HF 不在平面 EDB 内， FH平面 EBD， （ II）证： ( 2, 2,0), (0,0,1), 0, .ACGEACGEACGE= = = uuur uuur uuur uuur又 AC BD， EG BD=G， AC平面 EDB. （ III）解： (1,1,1), (2,2,0).BE BD= =uuur uuur设平面 BDE 的法

20、向量为111(1, , ),nyz= 则111 1 110,120,BE n y z BD n y=+= = =uuur uuur11 12222 22121212121, 0, (1, 1, 0).(0,2,0), (1,1,1),(1, , ), 0, 0,(1, 0, 1),11cos , ,| 222,60,yz nCD CECDE y z CD y = = = = = = =nnnnnnnnnnnouuur uuuruuur即设平面 的法向量为 则故即二面角 B DE C 为 60 . （ 19） （本小题满分 13 分） 本题考查椭圆的定义及标准方程， 椭圆的简单几何性质， 直线的

21、点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识 . 解： （ I）设椭圆 E 的方程为22221xyab+ = 222 2222211,2, 3,221.43ceacbaceaxyce= = +=由即 得椭圆方程具有形式将 A（ 2， 3）代入上式，得22131, 2,ccc+ =解得 椭圆 E 的方程为221.16 12xy+= （ II）解法 1：由（ I）知12(2,0), (2,0)FF ，所以 直线 AF1的方程为：3(2),3460,4yx xy=+ +=即 直线 AF2的方程为： 2.x = 由点 A

22、 在椭圆 E 上的位置知，直线 l 的斜率为正数 . 设 (, )Pxy l为 上任一点，则 |3 4 6|2|.5xyx+= 若 346510, 280xy x xy+= +=得 （因其斜率为负，舍去） . 所以直线 l 的方程为： 210.xy= 解法 2： 12 1 212121(2,3), ( 2,0), (2,0), ( 4, 3), (0, 3).11 4(4,3) (0,3) (1,2).53 5|2, : 3 2( 1), 2 1 0.AF F AF AFAF AFAF AFkly x xy= +=+= = = =uuur uuuurQuuur uuuuruuur uuuur即

23、（ III）解法 1： 假设存在这样的两个不同的点11 2 2(, ) (, ),B xy Cxy和 212112 1200 0 01,.2(, ), , ,22BCyyBC l kxxx xyyBC M x y x y = =+=Q设 的中点为 则由于 M 在 l 上，故00210.xy+= 又 B， C 在椭圆上，所以有22 2211 2211.16 12 16 12xy xy+ =+=与 两式相减，得22 2221 210,16 12xx yy+= 即1221 1221()()( )()0.16 12xxxx yyyy+ += 将该式写为12 21 122111082 62xx yy y

24、yxx+ + +=， 并将直线 BC 的斜率BCk 和线段 BC 的中点，表示代入该表达式中， 得00 00110, 3 2 0.812xy xy= =即 2得202, 3xy=，即 BC 的中点为点 A，而这是不可能的 . 不存在满足题设条件的点 B 和 C. 解法 2： 假设存在11 2 2(, ),(, )Bx y Cx y l两点关于直线 对称 ， 则1,.2BClBCk= 221,1,21612xyBC y x m= + + =设直线 的方程为 将其代入椭圆方程 得一元二次方程2222134( )48, 120,2xxm xmxm+ + = + =即 则12x x与 是该方程的两个根

25、， 由韦达定理得12,x xm+= 于是12 1213()2 ,22myy xx m+= += B， C 的中点坐标为3(, ).24mm又线段 BC 的中点在直线321, 1, 4.4myx m m= =上得 即 B， C 的中点坐标为（ 2， 3） ，与点 A 重合，矛盾 . 不存在满足题设条件的相异两点 . （ 20） （本小题满分 12 分） 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力 . 证：先证必要性 设数列 , 0,nadd=的公差为 若 则所述等式显然成立， 若 0d ，则 12 23 132 12112 23 312 23 11111 111

26、1 11()11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )11 1 1()nnnnnnnnnnnaa aa aaaa a aaadaa aa aada a a a a aaada a daa+=+=+=LLL11.nnaa+= 再证充分性 . 证法 1： （数学归纳法）设所述的等式对一切 n+N 都成立，首先，在等式 12 23 13112aa aa aa+= 两端同乘123 1 3 2 1 2 3,2,aaa a a a a a a+=即得 所以 成等差数列， 记公差为21,.daad=+则 假设1(1), 1kaakdnk=+ =+当 时，观察如下二等式 12 23 1 1211 1 1,

27、kkkaa aa a a aa+ =L 12 23 1 1 1 111 1 1kk kk kkaa aa a a aa aa+ + =L ， 将代入，得 11111,kkk kaa aa aa+= 在该式两端同乘11 111,(1) .kk kaaa k a a ka+ +=得 将 (1) , , .kkaakd a akd+=+ =+代入其中 整理后 得 由数学归纳法原理知，对一切1(1),nnaand+ =+N 都有 所以 nad是公差为 的等差数列 . 证法 2： 直接证法 依题意有 12 23 1 1 111 1,nn nnaa aa aa aa+ =L 12 23 1 1 2 1 2

28、11 1 1 1.nn n n nnaa aa aa a a aa+ + + =L 得 12 12 1111nn n nnna a aa aa+ + +=， 在上式两端同乘112 1 1 1,(1) ,nn n naa a a n a na+ + += +得 同理可得11(1) ,nnana n a+= 得122()nnnna n a a+=+ 即21 1,nnnn naaaa a+=所以 是等差数列， （ 21） （本小题满分 13 分） 本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能

29、力、应用与创新意识 . 解： （ I） X 的可能值集合为 0， 2， 4， 6， 8. 在 1， 2， 3， 4 中奇数与偶数各有两个，所以23,aa中的奇数个数等于13,aa中的偶数个数，因此13 3 4|1 | |3 | |2 | |4 |aa aa+ +与 的奇偶性相同， 从而23 24(|1 | | 3 |) (| 2 | | 4 |)X aa aa=+ + 必为偶数 . X 的值非负，且易知其值不大于 8. 容易举出使得 X 的值等于 0， 2， 4， 6， 8 各值的排列的例子 . （ II）可用列表或树状图列出 1， 2， 3， 4 的一共 24 种排列，计算每种排列下的 X 值，在等可能的假定下，得到 X 0 2 4 6 8 P 124324724924424（ III）（ i） 首先41(2)(0)(2)24 6PX PX PX= =+ = =， 将三轮测试都有 2X 的概率记做 p，由上述结果和独立性假设，得 311.2166p = （ ii）由于15216 1000p = 是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有 2X 的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测 .