2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学试卷.pdf

1、绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3至 4 页，共 150 分。 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参

2、考公式 如果事件 ,A B互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= +24SR= 如果事件 ,A B，相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ()()()P AB PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 343VR=n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 )kk nknnPk Cp p= 第卷 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1对于实数 ,abc， “ ab ”是“22ac bc ”的 A充分不必要条件 B必要不

3、充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】主要考查不等式的性质。当 C=0 时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边 2若集合 |1Axx=， 0Bxx=，则 AB=I A 11xx B 0xx C 01xx D 【答案】C 【解析】考查集合与简单不等式。解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知集合 A 是由大于等于 -1 小于等于 1 的数构成的集合，所以不难得出答案 310(1 )x 展开式中3x 项的系数为 A 720 B 720 C 120 D 120 【答案】D 【解析】 考查二项式定理展开式中特定项问题， 解决此类问题主要是依据二项展开式的通项

4、，由 4若42()f xaxbxc=+满足 (1) 2f = ，则 (1)f = A 4 B 2 C 2 D 4 【答案】B 【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择 B 5不等式 22xx的解集是 A (,2) B (,) + C (2, )+ D (,2)(2,) +U 【答案】A 【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。 但此题利用代值法会更好 6函数2sin sin 1y xx=+的值域为 A 1,1 B5,14 C5,14 D51, 4 【答案】C 【解析】 考查二次函数型

5、值域问题。 通过函数形状发现此函数很像二次函数， 故令 sin Xt=可得21y tt=+从而求解出二次函数值域 7等比数列 na 中，15 252|1, 8, ,aa aaa= 则na = A1(2)n B1(2 )n C (2)n D (2)n 【答案】A 【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好。 8若函数1axyx=+的图像关于直线 y x= 对称，则 a为 A 1 B 1 C 1 D任意实数 【答案】B 【解析】 考查反函数， 因为图像本身关于直线 y x= 对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。 或利用反函数的性质，依题知（ 1，

6、 a/2）与（ a/2， 1）皆在原函数图故可得 a=-1 9有 n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 p (0 1)p ， 所以不存在实数 a，使得 ()f x 是 R 上的单调函数 . 18 （本小题满分 12 分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道 .若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门 .再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止 . (1)求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率； (2)求走出迷

7、宫的时间超过 3 小时的概率 . 【解析】 考查数学知识的实际背景， 重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 解： (1)设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件，则1()3PA= . (2) 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件，则1111()6662PB= +=. 19 （本小题满分 12 分） 已知函数2( ) (1 cot )sin 2sin( )sin( )44fx x x x x =+ + . （ 1）若 tan 2 = ，求 ()f ； （ 2）若 ,12 2x ，求 ()f x 的取值范围

8、 . 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题 . 解： （ 1）2() sin sin cos cos2f xxxxx=+ +1cos2 1sin 2 cos 222xx x=+ 11(sin 2 cos 2 )22xx=+ 由 tan 2 = 得22 22sin cos 2 tan 4sin 2sin cos 1 tan 5 =+， 22 222 2cos sin 1 tan 3cos 2sin cos 1 tan 5 =+， 所以3()5f = . （ 2）由（ 1）得11

9、21( ) (sin 2 cos 2 ) sin(2 )2242fx x x x=+= + 由 ,12 2x 得552,4124x + ，所以2sin(2 ) ,142x+ 从而2112( ) sin(2 ) 0, 242fx x +=+. 20 （本小题满分 12 分） 如图， BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD， AB 平面 BCD， 23AB = . （ 1）求直线 AM 与平面 BCD所成的角的大小； （ 2）求平面 ACM 与平面 BCD所成的二面角的正弦值 . 【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的

10、判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力 解法一： （ 1）取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB CD， OM CD. 又平面 MCD平面 BCD,则 MO平面 BCD，所以 MO AB， A、B、 O、 M 共面 .延长 AM、 BO 相交于 E，则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 . OB=MO= 3 ， MO AB，则12EO MOEBAB= = ， 3EO OB=，所以 23EB AB=，故 45AEB=o. （ 2） CE 是平面 ACM 与平面 BCD的交线 . 由（ 1）知， O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形 . 作 BF EC 于 F，

11、 连 AF， 则 AF EC， AFB 就是二面角 A-EC-B的平面角，设为 . 因为 BCE=120，所以 BCF=60 . sin 60 3BF BC= =o， DMCBA_C _H _M_D_E_ B _O_ A _Ftan 2ABBF =，25sin5 = 所以，所求二面角的正弦值是255. 解法二： 取 CD 中点 O， 连 OB， OM， 则 OB CD， OM CD， 又平面 MCD平面 BCD,则 MO平面 BCD. 以 O 为原点，直线 OC、 BO、 OM 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图 . OB=OM= 3 ，则各点坐标分别为 O（ 0， 0，

12、0） ， C（ 1， 0， 0） ，M（ 0， 0， 3 ） ， B（ 0，- 3 ， 0） ， A（ 0，- 3 ， 2 3 ） ， （ 1）设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 . 因 AM =uuuur（ 0， 3 ， 3 ） ，平面 BCD的法向量为 (0,0,1)n=r.则有32sin cos ,26AM nAM nAM n=uuuurruuuurruuuurr ，所以 45 =o. （ 2） (1,0, 3)CM =uuuur， (1, 3,23)CA=uuur. 设平面 ACM 的法向量为1(, ,)nxyz=ur，由11nCMnCAuruuururuur得303230xzx

13、y z+ = + =.解得3x z= ， y z= ，取1(3,1,1)n =ur. 又平面 BCD 的法向量为 (0,0,1)n=r，则1111cos ,5nnnnnn的两个焦点 . (1) 求椭圆2C 的离心率； (2) 设 (3, )Qb， 又 ,M N 为1C 与2C 不在 y 轴上的两个交点，若 QMN 的重心在抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程 . 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形NxQMOyyxMDCBOAzNxQMOy来确认方程。 解： （ 1）因为抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点12(,0),(,0)Fc Fc ， 所以220cb b+= ，即2

14、2cb= ，由222 22abc c=+= 得椭圆2C 的离心率22e= . （ 2）由（ 1）可知222ab= ，椭圆2C 的方程为： 222212xybb+= 联立抛物线1C 的方程22x by b+=得：2220ybyb =， 解得：2by = 或 yb= （舍去） ，所以62x b= ， 即66(,),(,)22 22bbMbNb ，所以 QMN 的重心坐标为 (1, 0) . 因为重心在1C 上，所以2210bb+= ，得 1b= .所以22a = . 所以抛物线1C 的方程为：21x y+=， 椭圆2C 的方程为：2212xy+=. 22 （本小题满分 14 分） 正实数数列 na

15、 中 ,121, 5aa=,且2na 成等差数列 . (1) 证明数列 na 中有无穷多项为无理数； (2)当 n为何值时，na 为整数，并求出使 200na ， 故 24 1kna . 24 1kna ,与 ( 24)( 24) 1kknnaa +=矛盾， 所以2124kna =+ （*kN ）都是无理数，即数列 na 中有无穷多项为无理数 ; 方法二：因为21124,( )nannN+=+ ，当 n的末位数字是 3, 4,8, 9 时， 124n+ 的末位数字是 3和 7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时1124nan+=+ 不是有理数，因这种 n有无穷多，故这种无理项1na

16、+也有无穷多 (2) 要使na 为整数，由 (1)(1)24(1)nnaa n+=可知： 1, 1nnaa+同为偶数，且其中一个必为 3 的倍数，所以有 16nam = 或 16nam+= 当 61nam=+时，有2236 12 1 1 12 (3 1)namm mm=+=+ +（ mN ） 又 (3 1)mm+ 必为偶数，所以 61nam= + （ mN ）满足2124( 1)nan= + 即(3 1)12mmn+=+（ mN ）时，na 为整数； 同理*61( )nammN=有2236 12 1 1 12 (3 1)namm mm= +=+ （*mN ） 也满足2124( 1)nan=+

17、，即(3 1)12mmn= + （*mN ）时，na 为整数； 显然*61( )nammN=和 61nam= + （ mN ）是数列中的不同项； 所以当(3 1)12mmn+=+（ mN ）和(3 1)12mmn= + （*mN ）时，na 为整数； 由 6120nam=+ ， 所以不存在实数 a，使得 ()f x 是 R 上的单调函数 . 18 （本小题满分 12 分） 解： (1)设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件，则1()3PA= . (2) 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件，则1111()666 2PB= +=. 19 （本小题满分 12 分） 解： （

18、1）2() sin sin cos cos2f xxxxx=+ +1cos2 1sin 2 cos 222xx x=+ 11(sin 2 cos 2 )22xx=+ 由 tan 2 = 得22 22sin cos 2 tan 4sin 2sin cos 1 tan 5 =+， 22 222 2cos sin 1 tan 3cos 2sin cos 1 tan 5 =+， 所以3()5f = . （ 2）由（ 1）得1121( ) (sin 2 cos 2 ) sin(2 )2242fx x x x=+= + 由 ,12 2x 得552,4124x + ，所以2sin(2 ) ,142x+ 从而

19、2112() sin(2 ) 0, 242fx x +=+. 20 （本小题满分 12 分） 解法一： （ 1）取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB CD， OM CD. 又平面 MCD平面 BCD,则 MO平面 BCD，所以 MO AB， A、 B、 O、 M 共面 .延长 AM、 BO 相交于 E，则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 . OB=MO= 3 ， MO AB，则12EO MOEBAB= = ， 3EO OB=，所以 23EB AB=，故 45AEB=o. （ 2） CE 是平面 ACM 与平面 BCD的交线 . 由（ 1）知， O 是 BE 的中点，则

20、BCED 是菱形 . 作 BF EC 于 F， 连 AF， 则 AF EC， AFB 就是二面角 A-EC-B的平面角，设为 . 因为 BCE=120，所以 BCF=60 . sin 60 3BF BC= =o， tan 2ABBF =，25sin5 = 所以，所求二面角的正弦值是255. 解法二： 取 CD 中点 O， 连 OB， OM， 则 OB CD， OM CD， 又平面 MCD平面 BCD,则 MO平面 BCD. 以 O 为原点，直线 OC、 BO、 OM 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图 . OB=OM= 3 ，则各点坐标分别为 O（ 0， 0， 0） ， C

21、（ 1， 0， 0） ，M（ 0， 0， 3 ） ， B（ 0，- 3 ， 0） ， A（ 0，- 3 ， 2 3 ） ， （ 1）设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 . 因 AM =uuuur（ 0， 3 ， 3 ） ，平面 BCD的法向量为 (0,0,1)n=r.则有32sin cos ,26AM nAM nAM n=uuuurruuuurruuuurr ，所以 45 =o. （ 2） (1,0, 3)CM =uuuur， (1, 3,23)CA=uuur. 设平面 ACM 的法向量为1(, ,)nxyz=ur，由11nCMnCAuruuururuur得303230xzxy z+ =

22、 + =.解得zyxMDCBOAz_C _H _M_D_E_ B _O_ A _F3x z= ， y z= ，取1(3,1,1)n =ur. 又平面 BCD 的法向量为 (0,0,1)n=r，则1111cos ,5nnnnnn， 故 24 1kna . 24 1kna ,与 ( 24)( 24) 1kknnaa +=矛盾， 所以2124kna =+ （*kN ）都是无理数，即数列 na 中有无穷多项为无理数 ; 方法二：因为21124,( )nannN+=+ ，当 n的末位数字是 3, 4,8, 9 时， 124n+ 的末位数字是 3和 7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时112

23、4nan+=+ 不是有理数，因这种 n有无穷多，故这种无理项1na+也有无穷多 (2) 要使na 为整数，由 (1)(1)24(1)nnaa n+=可知： 1, 1nnaa+同为偶数，且其中一个必为 3 的倍数，所以有 16nam = 或 16nam+= 当 61nam=+时，有2236 12 1 1 12 (3 1)namm mm=+=+ +（ mN ） 又 (3 1)mm+ 必为偶数，所以 61nam= + （ mN ）满足2124( 1)nan= + 即(3 1)12mmn+=+（ mN ）时，na 为整数； 同理*61( )nammN=有2236 12 1 1 12 (3 1)namm

24、 mm= +=+ （*mN ） 也满足2124( 1)nan=+ ，即(3 1)12mmn= + （*mN ）时，na 为整数； 显然*61( )nammN=和 61nam= + （ mN ）是数列中的不同项； 所以当(3 1)12mmn+=+（ mN ）和(3 1)12mmn= + （*mN ）时，na 为整数； 由 6120nam=+ （ mN ）有 033m ， 由 6 1 200nam= （*mN ）有 133m . 设na 中满足 200na 的所有整数项的和为 S ，则 (5 11 197) (1 7 199)S =+ +LL5 197 1 19933 34 673322+ +=+=