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2013年山东省莱芜市中考数学(含答案).docx

1、2013 年 山 东 莱 芜 市 中 考 试 题数 学( 满 分 120分 , 考 试 时 间 120分 钟 )第 一 部 分 ( 选 择 题 共 36分 )一 、 选 择 题 ( 本 大 题 共 12个 小 题 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 正 确 的 , 请 把正 确 选 项 的 代 码 涂 写 在 答 题 卡 上 , 每 小 题 选 对 得 3分 , 选 错 、 不 选 或 选 出 的 答 案 超 过 一 个 均记 零 分 , 共 36 分 ) .1.( 2013山 东 莱 芜 , 1, 3 分 ) 如 在 12 , 13 , 2, 1这 四

2、 个 数 中 , 最 大 的 数 是 ( )A. 12 B. 13 C. 2 D. 1 【 答 案 】 B2. ( 2013 山 东 莱 芜 , 2, 3 分 ) 在 网 络 上 用 “ Google” 搜 索 引 擎 搜 索 “ 中 国 梦 ” , 能 搜 索 到与 之 相 关 的 结 果 个 数 约 为 45100000, 这 个 数 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A. 451 105 B. 45.1 106 C. 4.51 107 D. 0.451 10【 答 案 】 C3. ( 2013山 东 莱 芜 , 3, 3分 ) 下 面 四 个 几 何 体 中 , 左 视 图 是

3、四 边 形 的 几 何 体 共 有 ( ) 球 体 圆 锥 正 方 体 圆 柱A.1个 B. 2 个 C. 3个 D.4个【 答 案 】 B4. ( 2013山 东 莱 芜 , 4, 3 分 ) 方 程 2 42xx =0 的 解 为 ( )A. 2 B. 2 C. 2 D. 12【 答 案 】 A5. ( 2013 山 东 莱 芜 , 5, 3 分 ) 一 组 数 据 : 10、 5、 15、 5、 20, 则 这 组 数 据 的 平 均 数 和 中 位数 分 别 是 ( )A. 10, 10 B. 10, 12.5 C. 11,12.5 D. 11, 10 【 答 案 】 D6. ( 20

4、13山 东 莱 芜 , 6, 3 分 ) 如 图 所 示 , 将 含 有 30 角 的 三 角 板 的 直 角 顶 点 放 在 相 互 平 行 的 两 条 直 线 其 中 一 条 上 , 若 1=35 , 则 2的 度 数 为 ( )A. 10 B. 20 C. 25 D.30【 答 案 】 C7. ( 2013 山 东 莱 芜 , 7, 3 分 ) 将 半 径 为 3cm的 圆 形 纸 片 沿 AB 折 叠 后 , 圆 弧 恰 好 能 经 过 圆心 O, 用 图 中 阴 影 部 分 的 扇 形 围 成 一 个 圆 锥 的 侧 面 , 则 这 个 圆 柱 的 高 为 ( ) A. 2 2 B.

5、 2 C. 10 D.【 答 案 】 A8. ( 2013山 东 莱 芜 , 8, 3分 ) 下 列 图 形 中 , 既 是 轴 对 称 图 形 , 又 是 中 心 对 称 图 形 的 个 数 是( ) 等 边 三 角 形 ; 矩 形 ; 等 腰 梯 形 ; 菱 形 ; 正 八 边 形 ; 圆A. 2 B. 3 C. 4 D.5【 答 案 】 C9. ( 2013山 东 莱 芜 , 9, 3 分 ) 如 图 , 在 O 中 , 已 知 OAB=22.5 , 则 C的 度 数 为 ( ) A. 135 B. 122.5 C. 115.5 D.112.5【 答 案 】 D10. ( 2013山 东

6、 莱 芜 , 10, 3分 ) 下 列 说 法 错 误 的 是 ( )A.若 两 圆 相 交 , 则 它 们 公 共 弦 的 垂 直 平 分 吧 必 过 两 圆 的 圆 心B.2 3 与 2 3 互 为 倒 数 C.若 a , 则 a bD.梯 形 的 面 积 等 于 梯 形 的 中 位 线 与 高 的 乘 积 的 一 半【 答 案 】 D11.( 2013山 东 莱 芜 , 11, 3 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 点 A 的 坐 标 为 ( 1 3 ) ,M为 坐 标 轴 上 一 点 , 且 使 得 MOA 为 等 腰 三 角 形 , 则 满

7、足 条 件 的 点 M 的 个 数 为 ( )A.4 B. 5 C. 6 D.8【 答 案 】 C12. ( 2013山 东 莱 芜 , 12, 3 分 ) 如 图 , 等 边 三 角 形 ABC的 边 长 为 3, N为 AC的 三 等 分 点 ,三 角 形 边 上 的 动 点 M 从 点 A 出 发 , 沿 A B C 的 方 向 运 动 , 到 达 点 C 时 停 止 .设 点 M 运 动 的路 程 为 x, MN 2=y, 则 y 关 于 x的 函 数 图 象 大 致 为 ( ) 【 答 案 】 B二 、 填 空 题 ( 本 大 题 共 5小 题 , 只 要 求 填 写 最 后 结 果

8、 , 每 小 题 填 对 得 4分 , 共 20分 ) .13. ( 2013山 东 莱 芜 , 13, 4分 ) 分 解 因 式 : 2m3 8m= .【 答 案 】 2m( m+2) ( m 2)14. ( 2013山 东 莱 芜 , 14, 4分 ) 正 十 二 边 形 每 个 内 角 的 度 数 为 .【 答 案 】 15015. ( 2013 山 东 莱 芜 , 15, 4 分 ) M( 1, a) 是 一 次 函 数 y=3x 2 与 反 比 例 函 数 ky x 图 象的 公 共 点 , 若 将 一 次 函 数 y=3x 2 的 图 象 向 下 平 移 4 个 单 位 , 则 它

9、 与 反 比 例 函 数 图 象 的 交 点坐 标 为 . 【 答 案 】 ( 1, 5) , ( 5,33 )16. ( 2013山 东 莱 芜 , 16, 4分 ) 如 图 , 矩 形 ABCD中 , AB=1, E、 F 分 别 为 AD、 CD 的 中 点 ,沿 BE 将 ABE折 叠 , 若 点 A 恰 好 落 在 BF上 , 则 AD= . 【 答 案 】 217. ( 2013山 东 莱 芜 , 17, 4分 ) 已 知 123456789101112 997998999 是 由 连 续 整 数 1 至 999排 列 组 成 的 一 个 数 , 在 该 数 种 从 左 往 右 数

10、 第 2013位 上 的 数 字 为 .【 答 案 】 7三 、 解 答 题 ( 本 大 题 共 7 小 题 , 共 64 分 , 解 得 要 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 推 演 步骤 )18. ( 2013山 东 莱 芜 , 18, 9分 ) 先 化 简 , 再 求 值 : 2 4( )4 4a aa a , 其 中 a= 3 +2.解 : 22 4 2 4 4( )4 4 4 4a a a aaa a a a 22 44 ( 2)a aa a 1 2a .当 a= 3 2 时 , 原 式 1 1 1 3 .2 33 2 2 3a 19 ( 2013 山 东

11、莱 芜 , 19, 8 分 ) 在 学 校 开 展 的 “ 学 习 交 通 安 全 知 识 , 争 做 文 明 中 学 生 ” 主题 活 动 月 中 , 学 校 德 工 处 随 机 选 取 了 该 校 部 分 学 生 , 对 闯 红 灯 情 况 进 行 了 一 次 调 查 , 调 查 结果 有 三 种 情 况 : A.从 不 闯 红 灯 ; B.偶 尔 闯 红 灯 ; C 经 常 闯 红 灯 .德 工 处 将 调 查 的 数 据 进 行 了整 理 , 并 绘 制 了 尚 不 完 整的 统 计 图 如 下 , 请 根 据 相 关 信 息 , 解 答 下 列 问 题 .( 1) 求 本 次 活 动

12、 共 调 查 了 多 少 名 学 生 ; ( 2) 请 补 全 ( 图 二 ) , 并 求 ( 图 一 ) 种 B 区 域 的 圆 心 角 的 度 数 ;( 3) 若 该 校 有 240 名 学 生 , 请 估 算 该 校 不 严 格 遵 守 信 号 灯 指 示 的 人 数 .解 : ( 1) 36 120 20 200.360 10 本 次 活 动 共 调 查 了 200名 学 生 .( 2) 补 全 图 二200 120 20=60.60360 108 .200 B区 域 的 圆 心 角 的 度 数 是 108 . ( 3) 60 20 22400 2400 960.200 5 估 计 该

13、 校 不 严 格 遵 守 信 号 等 指 示 的 人 数 为 960人 .20. ( 2013 山 东 莱 芜 , 20, 9 分 ) 如 图 , 有 一 艘 渔 船 在 捕 鱼 作 业 时 出 现 故 障 , 急 需 抢 修 , 调度 中 心 通 知 附 近 两 个 小 岛 A、 B 上 的 观 测 点 进 行 观 测 , 从 A 岛 测 得 渔 船 在 南 偏 东 37 方 向 C处 , B 岛 在 南 偏 东 66 方 向 , 从 B 岛 测 得 渔 船 在 正 西 方 向 , 已 知 两 个 小 岛 间 的 距 离 是 72 海里 , A 岛 上 维 修 船 的 速 度 为 每 小 时

14、 20海 里 , B 岛 上 维 修 船 的 速 度 为 每 小 时 28.8 海 里 , 为 及时 赶 到 维 修 , 问 调 度 中 心 应 该 派 遣 哪 个 岛 上 的 维 修 船 ?( 参 考 数 据 : cos37 0.8, sin37 0.6, sin66 0.9, cos66 0.4) 解 :作 AD BC 的 延 长 线 于 点 D, 在 Rt ADB中 ,AD=AB cos BAD=72 cos66 =72 0.4=28.8( 海 里 )BD=AB sin BAD=72 sin66 =72 0.9=64.8( 海 里 ) .在 Rt ADC中 , 28.8 28.8 36c

15、os cos37 0.8ADAC DAC ( 海 里 ) .CD=AC sin CAD=36 sin37 =36 0.6=21.6( 海 里 ) .BC=BD CD=64.8 21.6=43.2(海 里 ). A岛 上 维 修 船 需 要 时 间 36 1.820 20A ACt (小 时 ).B岛 上 维 修 船 需 要 时 间 43.2 1.528.8 28.8B BCt (小 时 ). , 调 度 中 心 应 该 派 遣 B 岛 上 的 维 修 船 .21. ( 2013山 东 莱 芜 , 21, 9分 ) 在 Rt ABC中 , C=90 , 以 AC为 一 边 向 外 作 等 边 三

16、 角形 ACD, 点 E 为 AB 的 中 点 , 连 结 DE.( 1) 证 明 DE CB;( 2) 探 索 AC 与 AB 满 足 怎 样 的 数 量 关 系 时 , 四 边 形 DCBE是 平 行 四 边 形 . 解 : ( 1) 证 明 : 连 结 CE. 点 E为 Rt ACB的 斜 边 AB 的 中 点 , CE=AB=AE. ACD是 等 边 三 角 形 , AD=CD.在 ADE与 CDE中 ,AD=CD,DE=DE,AE=CE, ADE CDE. ADE= CDE=30 . DCB=150 , EDC+ DCB=180 . DE CB.(2) DCB=150 ,若 四 边

17、形 DCBE是 平 行 四 边 形 , 则 DC BE, DCB+ B=180 . B=30 .在 Rt ACB中 , sinB= ACBC ,sin30 = 12ACBC , AC= 12 AB或 AB=2AC. 当 AC= 12 AB或 AB=2AC时 , 四 边 形 DCBE是 平 行 四 边 形 .22. ( 2013 山 东 莱 芜 , 22, 10分 ) 某 学 校 将 周 三 “ 阳 光 体 育 ” 项 目 定 为 跳 绳 活 动 , 为 此 学 校 准 备 购 置 长 、 短 两 种 跳 绳 若 干 .已 知 长 跳 绳 的 单 价 比 短 跳 绳 单 价 的 两 倍 多 4

18、元 , 且 购 买 2条 长 跳 绳 与 购 买 5 条 短 跳 绳 的 费 用 相 同 .(1)两 种 跳 绳 的 单 价 各 是 多 少 元 ?(2)若 学 校 准 备 用 不 超 过 2000元 的 现 金 购 买 200条 长 、 短 跳 绳 , 且 短 跳 绳 的 条 数 不 超 过 长 跳绳 的 6倍 , 问 学 校 有 几 种 购 买 方 案 可 供 选 择 ? 解 : ( 1) 设 长 跳 绳 的 单 价 是 x元 , 短 跳 绳 的 单 价 为 y元 .由 题 意 得 : 2 42 5x yx y .解 得 : 208xy .所 以 长 跳 绳 单 价 是 20 元 , 短

19、跳 绳 的 单 价 是 8 元 .( 2) 设 学 校 购 买 a 条 长 跳 绳 , 由 题 意 得 : 200 620 8(200 ) 2000a aa a .解 得 : 4 128 337 3a . a 为 正 整 数 , a 的 整 数 值 为 29, ,3,31,32,33. 所 以 学 校 共 有 5种 购 买 方 案 可 供 选 择 .23. ( 2013山 东 莱 芜 , 23, 10分 ) 如 图 , O 的 半 径 为 1, 直 线 CD经 过 圆 心 O, 交 O 于 C、D两 点 , 直 径 AB CD, 点 M 是 直 线 CD 上 异 于 点 C、 O、 D 的 一

20、 个 动 点 , AM所 在 的 直 线 交 于 O于 点 N, 点 P 是 直 线 CD上 另 一 点 , 且 PM=PN.(1)当 点 M 在 O内 部 , 如 图 一 , 试 判 断 PN与 O 的 关 系 , 并 写 出 证 明 过 程 ;(2)当 点 M 在 O外 部 , 如 图 二 , 其 它 条 件 不 变 时 , ( 1) 的 结 论 是 否 还 成 立 ? 请 说 明 理 由 ;(3)当 点 M 在 O外 部 , 如 图 三 , AMO=15 , 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 . 解 : ( 1) PN与 O 相 切 .证 明 : 连 结 ON,则 ONA= OAN

21、, PM=PN, PNM= PMN. AMO= PMN, PNM= AMO. PNO= PNM+ ONA= AMO+ ONA=90 .即 PN 与 O相 切 .( 2) 成 立 .证 明 : 连 结 ON, 则 ONA= OAN, PM=PN, PNM= PMN.在 Rt AOM中 , OMA+ OAM=90 , PNM+ ONA=90 . PNO=180 90 =90 .即 PN 与 O相 切 .( 3) 连 结 ON, 由 ( 2) 可 知 ONP=90 . AMO=15 , PM=PN, PNM=15 , OPN=30 , PON=60 , AON=30 .作 NE OD,垂 足 为 点

22、 E,则 NE=ON sin60 =1 32 = 32 .ONAONAOC CS S S S 阴 影 扇 形 =OC OA+ 230 11360 2 CO NE= 1 1 1 3 1 1 31 1 12 12 2 2 2 12 4 .24. ( 2013山 东 莱 芜 , 24, 12分 ) 如 图 , 抛 物 线 y=ax 2+bx+c( a 0) 经 过 点 A( 3, 0) 、B(1,0)、 C( 2, 1), 交 y 轴 于 点 M.(1)求 抛 物 线 的 表 达 式 ;(2)D为 抛 物 线 在 第 二 象 限 部 分 上 的 一 点 , 作 DE 垂 直 x轴 于 点 E, 交

23、线 段 AM于 点 F, 求 线 段DF长 度 的 最 大 值 , 并 求 此 时 点 D 的 坐 标 ;(3)抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 P, 作 PN垂 直 x 轴 于 点 N, 使 得 以 点 P、 A、 N 为 顶 点 的 三 角 形 与 MAO相 似 ? 若 存 在 , 求 点 P的 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 . 解 : 由 题 意 可 知 9 3 004 2 1a b ca b ca b c .解 得 13231abc . 抛 物 线 的 表 达 式 为 y= 21 2 13 3x x .( 2) 将 x=0代 入 抛 物 线 表 达 式 ,

24、得 y=1. 点 M的 坐 标 为 ( 0,1) .设 直 线 MA 的 表 达 式 为 y=kx+b, 则 131.kb 13 0bk b .解 得 k=, b=1. 直 线 MA的 表 达 式 为 y=x+1.设 点 D的 坐 标 为 ( 20 0 01 2, 13 3x x x ) , 则 点 F的 坐 标 为 ( 0 01, 13x x ) .DF= 20 0 01 2 11 ( 1)3 3 3x x x = 2 20 0 01 1 3 3( )3 3 2 4x x x .当 0 32x 时 , DF 的 最 大 值 为 .此 时 20 01 2 513 3 4x x , 即 点 D的

25、 坐 标 为 ( 3 5,2 4 ) .( 3) 存 在 点 P, 使 得 以 点 P、 A、 N为 顶 点 的 三 角 形 与 MAO相 似 .在 Rt MAO中 , AO=3MO,要 使 两 个 三 角 形 相 似 , 由 题 意 可 知 , 点 P 不 可 能 在 第 一 象 限 .1 设 点 P在 第 二 象 限 时 , 点 P不 可 能 在 直 线 MN 上 , 只 能 PN=3NM, 21 2 1 3( 3)3 3m m m , 即 2 11 24 0m m .解 得 m= 3( 舍 去 ) 或 m= 8.又 3M0,故 此 时 满 足 条 件 的 点 不 存 在 . 2 当 点

26、P在 第 三 象 限 时 , 点 P不 可 能 在 直 线 MN 上 , 只 能 PN=3NM, 21 2 1 3( 3)3 3m m m , 即 2 11 24 0m m .解 得 m= 3或 m=8.此 时 点 P 的 坐 标 为 ( 8, ,15) .3 当 点 P在 第 四 象 限 时 ,若 AN=3PN 时 ,则 3 21 2( 1) 33 3m m m , 即 2 6 0m m . 解 得 m= 3( 舍 去 ) 或 m=2.当 m=2时 , 20 01 2 513 3 3x x .此 时 点 P 的 坐 标 为 ( 2, ) .若 PN=3NA,则 21 2( 1) 3( 3)3 3m m m , 即 2 7 30 0m m . 解 得 m= 3( 舍 去 ) 或 m=10, 此 时 点 P的 坐 标 为 ( 10, ,39) .综 上 所 述 , 满 足 条 件 的 点 P 的 坐 标 为 ( 8, ,15) 、 ( 2, ) 、 ( 10, ,39) .

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