2015年江西省南昌市中考真题数学及答案解析.docx

1、2015年 江 西 省 南 昌 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 ， 每 小 题 只 有 一 个 正 确 选 项 ）1.计 算 （ 1） 0的 结 果 为 （ ）A.1B. 1C.0D.无 意 义解 析 ： （ 1） 0=1， （ 1） 0的 结 果 为 1.答 案 ： A.2. 2015年 初 ， 一 列 CRH5型 高 速 车 组 进 行 了 “ 300000 公 里 正 线 运 营 考 核 ” 标 志 着 中 国 高 速快 车 从 “ 中 国 制 造 ” 到 “ 中 国 创 造 ” 的 飞 跃 ， 将 3

2、00000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 （ ）A.3 106B.3 105C.0.3 10 6D.30 104解 析 ： 将 300000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 3 105.答 案 ： B.3.下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A.（ 2a2） 3=6a6B. a2b2 3ab3= 3a2b5C.D. 解 析 ： A、 原 式 =8a6， 错 误 ；B、 原 式 = 3a3b5， 错 误 ；C、 原 式 = ， 错 误 ；D、 原 式 = ， 正 确 ；答 案 ： D.4.如 图 是 将 正 方 体 切 去 一 个 角 后 形 成 的 几 何 体 ， 则 该 几 何

3、 体 的 左 视 图 为 （ ） A.B.C.D. 解 析 ： 从 左 面 看 所 得 到 的 图 形 是 正 方 形 ， 切 去 部 分 的 棱 能 看 到 ， 用 实 线 表 示 ，答 案 ： C.5.如 图 ， 小 贤 为 了 体 验 四 边 形 的 不 稳 定 性 ， 将 四 根 木 条 用 钉 子 钉 成 一 个 矩 形 框 架 ABCD， B与 D 两 点 之 间 用 一 根 橡 皮 筋 拉 直 固 定 ， 然 后 向 右 扭 动 框 架 ， 观 察 所 得 四 边 形 的 变 化 ， 下 列 判断 错 误 的 是 （ ）A.四 边 形 ABCD由 矩 形 变 为 平 行 四 边

4、形B.BD的 长 度 增 大C.四 边 形 ABCD的 面 积 不 变 D.四 边 形 ABCD的 周 长 不 变解 析 ： 矩 形 框 架 ABCD， B 与 D 两 点 之 间 用 一 根 橡 皮 筋 拉 直 固 定 ， 然 后 向 右 扭 动 框 架 ， AD=BC， AB=DC， 四 边 形 变 成 平 行 四 边 形 ，故 A 正 确 ；BD的 长 度 增 加 ，故 B 正 确 ； 拉 成 平 行 四 边 形 后 ， 高 变 小 了 ， 但 底 边 没 变 ， 面 积 变 小 了 ， 故 C错 误 ； 四 边 形 的 每 条 边 的 长 度 没 变 ， 周 长 没 变 ，故 D 正

5、确 ，答 案 ： C. 6.已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c（ a 0） 过 （ 2， 0） ， （ 2， 3） 两 点 ， 那 么 抛 物 线 的 对 称 轴 （ ）A.只 能 是 x= 1 B.可 能 是 y 轴C.在 y 轴 右 侧 且 在 直 线 x=2的 左 侧D.在 y 轴 左 侧 且 在 直 线 x= 2 的 右 侧解 析 ： 抛 物 线 y=ax2+bx+c（ a 0） 过 （ 2， 0） ， （ 2， 3） 两 点 ， 点 （ 2， 0） 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 横 坐 标 x2满 足 ： 2 x2 2， 2 0， 抛 物 线 的 对 称 轴 在 y 轴

6、左 侧 且 在 直 线 x= 2 的 右 侧 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分 ）7.一 个 角 的 度 数 为 20 ， 则 它 的 补 角 的 度 数 为 .解 析 ： 180 20 =160 . 答 案 ： 160 .8.不 等 式 组 的 解 集 是 .解 析 ： ，由 得 ： x 2，由 得 ： x 3，则 不 等 式 组 的 解 集 为 3 x 2.答 案 ： 3 x 29.如 图 ， OP平 分 MON， PE OM 于 E， PF ON 于 F， OA=OB， 则 图 中 有 对 全 等 三 角 形 .

7、 解 析 ： OP 平 分 MON， PE OM于 E， PF ON于 F， PE=PF， 1= 2，在 AOP与 BOP中 ， ， AOP BOP， AP=BP，在 EOP与 FOP中 ， ， AOP BOP，在 R t AOP与 Rt BOP中 ， Rt AOP Rt BOP， 图 中 有 3对 全 等 三 角 形 ，答 案 ： 3.10.如 图 ， 点 A， B， C 在 O 上 ， CO的 延 长 线 交 AB 于 点 D， A=50 ， B=30 ， 则 ADC的 度 数 为 . 解 析 ： A=50 ， BOC=2 A=100 ， B=30 ， BOC= B+BDC， BDC= B

8、OC B=100 30 =70 ， ADC=180 BDC=110 ，答 案 ： 110 .11.已 知 一 元 二 次 方 程 x2 4x 3=0的 两 根 为 m， n， 则 m2 mn+n2= .解 析 ： m， n 是 一 元 二 次 方 程 x 2 4x 3=0的 两 个 根 ， m+n=4， mn= 3，则 m2 mn+n2=（ m+n） 2 3mn=16+9=25.答 案 ： 25.12.如 图 1 是 小 志 同 学 书 桌 上 的 一 个 电 子 相 框 ， 将 其 侧 面 抽 象 为 如 图 2 所 示 的 几 何 图 形 ， 已知 BC=BD=15cm， CBD=40 ，

9、 则 点 B 到 CD的 距 离 为 cm（ 参 考 数 据 sin20 0.342，cos20 0.940， sin40 0.643， cos40 0.766， 结 果 精 确 到 0.1cm， 可 用 科 学 计 算 器 ） . 解 析 ： 如 图 2， 作 BE CD于 E， BC=BD， CBD=40 ， CBE=20 ，在 Rt CBE中 ， cos CBE= ， BE=BC cos CBE=15 0.940=14.1cm.答 案 ： 14.1.13.两 组 数 据 ： 3， a， 2b， 5 与 a， 6， b的 平 均 数 都 是 6， 若 将 这 两 组 数 据 合 并 为 一

10、 组 数 据 ，则 这 组 新 数 据 的 中 位 数 为 .解 析 ： 两 组 数 据 ： 3， a， 2b， 5与 a， 6， b 的 平 均 数 都 是 6， ，解 得 ， 若 将 这 两 组 数 据 合 并 为 一 组 数 据 ， 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 3， 4， 5， 6， 8， 8， 8，一 共 7个 数 ， 第 四 个 数 是 6， 所 以 这 组 数 据 的 中 位 数 是 6.答 案 ： 6.14.如 图 ， 在 ABC中 ， AB=BC=4， AO=BO， P 是 射 线 CO 上 的 一 个 动 点 ， AOC=60 ， 则 当 PAB为 直 角 三

11、 角 形 时 ， AP的 长 为 . 解 析 ： 当 APB=90 时 （ 如 图 1） ， AO=BO， PO=BO， AOC=60 ， BOP=60 ， BOP为 等 边 三 角 形 ， AB=BC=4， AP=AB sin60 =4 =2 ；当 ABP=90 时 ， 情 况 一 ： （ 如 图 2） ， AOC= BOP=60 ， BPO=30 ， BP= = =2 ，在 直 角 三 角 形 ABP中 ，AP= =2 ，情 况 二 ： 如 图 3， AO=BO， APB=90 ， PO=AO， AOC=60 ， AOP为 等 边 三 角 形 ， AP=AO=2，答 案 ： 2 或 2 或

12、 2.三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 24分 ）15.先 化 简 ， 再 求 值 ： 2a（ a+2b） （ a+2b） 2， 其 中 a= 1， b= .解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 单 项 式 乘 以 多 项 式 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 完 全 平 方 公 式 化 简 ， 去 括号 合 并 得 到 最 简 结 果 ， 把 a与 b的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 =2a 2+4ab a2 4ab 4b2=a2 4b2，当 a= 1， b= 时 ， 原 式 =1 12= 11.16.

13、如 图 ， 正 方 形 ABCD于 正 方 形 A1B1C1D1关 于 某 点 中 心 对 称 ， 已 知 A， D1， D 三 点 的 坐 标 分 别是 （ 0， 4） ， （ 0， 3） ， （ 0， 2） .（ 1） 求 对 称 中 心 的 坐 标 .（ 2） 写 出 顶 点 B， C， B1， C1的 坐 标 . 解 析 ： （ 1） 根 据 对 称 中 心 的 性 质 ， 可 得 对 称 中 心 的 坐 标 是 D1D的 中 点 ， 据 此 解 答 即 可 .（ 2） 首 先 根 据 A， D 的 坐 标 分 别 是 （ 0， 4） ， （ 0， 2） ， 求 出 正 方 形 ABC

14、D与 正 方 形 A1B1C1D1的边 长 是 多 少 ， 然 后 根 据 A， D1， D 三 点 的 坐 标 分 别 是 （ 0， 4） ， （ 0， 3） ， （ 0， 2） ， 判 断 出 顶 点B， C， B1， C1的 坐 标 各 是 多 少 即 可 .答 案 ： （ 1） 根 据 对 称 中 心 的 性 质 ， 可 得对 称 中 心 的 坐 标 是 D1D 的 中 点 ， D1， D 的 坐 标 分 别 是 （ 0， 3） ， （ 0， 2） ， 对 称 中 心 的 坐 标 是 （ 0， 2.5） .（ 2） A， D 的 坐 标 分 别 是 （ 0， 4） ， （ 0， 2）

15、， 正 方 形 ABCD 与 正 方 形 A 1B1C1D1的 边 长 都 是 ： 4 2=2， B， C的 坐 标 分 别 是 （ 2， 4） ， （ 2， 2） ， A1D1=2， D1的 坐 标 是 （ 0， 3） ， A1的 坐 标 是 （ 0， 1） ， B1， C1的 坐 标 分 别 是 （ 2， 1） ， （ 2， 3） ， 综 上 ， 可 得顶 点 B， C， B1， C1的 坐 标 分 别 是 （ 2， 4） ， （ 2， 2） ， （ 2， 1） ， （ 2， 3） .17. O为 ABC的 外 接 圆 ， 请 仅 用 无 刻 度 的 直 尺 ， 根 据 下 列 条 件 分

16、 别 在 图 1， 图 2 中 画 出 一条 弦 ， 使 这 条 弦 将 ABC分 成 面 积 相 等 的 两 部 分 （ 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 写 作 法 ） .（ 1） 如 图 1， AC=BC；（ 2） 如 图 2， 直 线 l与 O 相 切 于 点 P， 且 l BC. 解 析 ： （ 1） 过 点 C 作 直 径 CD， 由 于 AC=BC， = ， 根 据 垂 径 定 理 的 推 理 得 CD 垂 直 平 分AB， 所 以 CD将 ABC分 成 面 积 相 等 的 两 部 分 ；（ 2） 连 结 PO并 延 长 交 BC 于 E， 过 点 A、 E 作 弦 AD， 由 于

17、 直 线 l与 O 相 切 于 点 P， 根 据 切线 的 性 质 得 OP l， 而 l BC， 则 PE BC， 根 据 垂 径 定 理 得 BE=CE， 所 以 弦 AE将 ABC 分 成面 积 相 等 的 两 部 分 .答 案 ： （ 1） 如 图 1， 直 径 CD为 所 求 ；（ 2） 如 图 2，弦 AD 为 所 求 .18.在 一 个 不 透 明 的 袋 子 中 装 有 仅 颜 色 不 同 的 10个 小 球 ， 其 中 红 球 4 个 ， 黑 球 6个 .（ 1） 先 从 袋 子 中 取 出 m（ m 1） 个 红 球 ， 再 从 袋 子 中 随 机 摸 出 1 个 球 ，

18、将 “ 摸 出 黑 球 ” 记 为 事 件 A， 请 完 成 下 列 表 格 ： 事 件 A 必 然 事 件 随 机 事 件m 的 值（ 2） 先 从 袋 子 中 取 出 m 个 红 球 ， 再 放 入 m 个 一 样 的 黑 球 并 摇 匀 ， 随 机 摸 出 1 个 黑 球 的 概 率等 于 ， 求 m的 值 .解 析 ： （ 1） 当 袋 子 中 全 部 为 黑 球 时 ， 摸 出 黑 球 才 是 必 然 事 件 ， 否 则 就 是 随 机 事 件 ；（ 2） 利 用 概 率 公 式 列 出 方 程 ， 求 得 m 的 值 即 可 .答 案 ： （ 1） 当 袋 子 中 全 为 黑 球

19、， 即 摸 出 4 个 红 球 时 ， 摸 到 黑 球 是 必 然 事 件 ；当 摸 出 2 个 或 3个 时 ， 摸 到 黑 球 为 随 机 事 件 ，答 案 ： 4； 2， 3.（ 2） 根 据 题 意 得 ： = ，解 得 ： m=2， 所 以 m 的 值 为 2.四 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 24分 ）19.某 校 为 了 了 解 学 生 家 长 对 孩 子 使 用 手 机 的 态 度 情 况 ， 随 机 抽 取 部 分 学 生 家 长 进 行 问 卷 调查 ， 发 出 问 卷 140份 ， 每 位 学 生 家 长 1 份 ， 每

20、份 问 卷 仅 表 明 一 种 态 度 ， 将 回 收 的 问 卷 进 行 整理 （ 假 设 回 收 的 问 卷 都 有 效 ） ， 并 绘 制 了 如 图 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 . 根 据 以 上 信 息 解 答 下 列 问 题 ：（ 1） 回 收 的 问 卷 数 为 份 ， “ 严 加 干 涉 ” 部 分 对 应 扇 形 的 圆 心 角 度 数 为 .（ 2） 把 条 形 统 计 图 补 充 完 整（ 3） 若 将 “ 稍 加 询 问 ” 和 “ 从 来 不 管 ” 视 为 “ 管 理 不 严 ” ， 已 知 全 校 共 1500 名 学 生 ， 请 估计 该 校 对 孩 子

21、 使 用 手 机 “ 管 理 不 严 ” 的 家 长 大 约 有 多 少 人 ？解 析 ：（ 1） 用 “ 从 来 不 管 ” 的 问 卷 数 除 以 其 所 占 百 分 比 求 出 回 收 的 问 卷 总 数 ； 用 “ 严 加 干 涉 ”部 分 的 问 卷 数 除 以 问 卷 总 数 得 出 百 分 比 ， 再 乘 以 360 即 可 ；（ 2） 用 问 卷 总 数 减 去 其 他 两 个 部 分 的 问 卷 数 ， 得 到 “ 稍 加 询 问 ” 的 问 卷 数 ， 进 而 补 全 条 形统 计 图 ；（ 3） 用 “ 稍 加 询 问 ” 和 “ 从 来 不 管 ” 两 部 分 所 占

22、的 百 分 比 的 和 乘 以 1500即 可 得 到 结 果 .答 案 ： （ 1） 回 收 的 问 卷 数 为 ： 30 25%=120（ 份 ） ，“ 严 加 干 涉 ” 部 分 对 应 扇 形 的 圆 心 角 度 数 为 ： 360 =30 . 故 答 案 为 ： 120， 30 ； （ 2） “ 稍 加 询 问 ” 的 问 卷 数 为 ： 120 （ 30+10） =80（ 份 ） ，补 全 条 形 统 计 图 ， 如 图 所 示 ： （ 3） 根 据 题 意 得 ： 1500 =1375（ 人 ） ，则 估 计 该 校 对 孩 子 使 用 手 机 “ 管 理 不 严 ” 的 家 长

23、 大 约 有 1375人 .20.（ 1） 如 图 1， 纸 片 ABCD 中 ， AD=5， SABCD=15， 过 点 A 作 AE BC， 垂 足 为 E， 沿 AE 剪 下 ABE， 将 它 平 移 至 DCE 的 位 置 ， 拼 成 四 边 形 AEE D， 则 四 边 形 AEE D的 形 状 为 CA.平 行 四 边 形 B.菱 形 C.矩 形 D.正 方 形（ 2） 如 图 2， 在 （ 1） 中 的 四 边 形 纸 片 AEE D中 ， 在 EE 上 取 一 点 F， 使 EF=4， 剪 下 AEF，将 它 平 移 至 DE F 的 位 置 ， 拼 成 四 边 形 AFF D

24、. 求 证 ： 四 边 形 AFF D 是 菱 形 . 求 四 边 形 AFF D 的 两 条 对 角 线 的 长 . 解 析 ： （ 1） 根 据 矩 形 的 判 定 ， 可 得 答 案 ；（ 2） 根 据 菱 形 的 判 定 ， 可 得 答 案 ； 根 据 勾 股 定 理 ， 可 得 答 案 .答 案 ： （ 1） 如 图 1， 纸 片 ABCD中 ， AD=5， SABCD=15， 过 点 A作 AE BC， 垂 足 为 E， 沿 AE剪下 ABE， 将 它 平 移 至 DCE 的 位 置 ， 拼 成 四 边 形 AEE D， 则 四 边 形 AEE D 的 形 状 为 矩 形 ，故 选

25、 ： C；（ 2） 证 明 ： 纸 片 ABCD中 ， AD=5， SABCD=15， 过 点 A 作 AE BC， 垂 足 为 E， AE=3.如 图 2： ， AEF， 将 它 平 移 至 DE F ， AF DF ， AF=DF ， 四 边 形 AFF D 是 平 行 四 边 形 .在 Rt AEF中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 AF=AD=5， 四 边 形 AFF D 是 菱 形 ； 连 接 AF ， DF， 如 图 3： 在 Rt DE F 中 E F=FF E F =5 4=1， DE =3，在 Rt AEF 中 EF =EF+FF =4+5=9， AE=3，21.如 图 ，

26、已 知 直 线 y=ax+b与 双 曲 线 y= （ x 0） 交 于 A（ x 1， y1） ， B（ x2， y2） 两 点 （ A 与B不 重 合 ） ， 直 线 AB与 x轴 交 于 P（ x0， 0） ， 与 y轴 交 于 点 C.（ 1） 若 A， B 两 点 坐 标 分 别 为 （ 1， 3） ， （ 3， y2） ， 求 点 P的 坐 标 .（ 2） 若 b=y1+1， 点 P 的 坐 标 为 （ 6， 0） ， 且 AB=BP， 求 A， B 两 点 的 坐 标 .（ 3） 结 合 （ 1） ， （ 2） 中 的 结 果 ， 猜 想 并 用 等 式 表 示 x1， x2， x

27、0之 间 的 关 系 （ 不 要 求 证 明 ） . 解 析 ： （ 1） 先 把 A（ 1， 3） ） ， B（ 3， y2） 代 入 y= 求 得 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ， 进 而 求 得 B 的坐 标 ， 然 后 把 A、 B 代 入 y=ax+b 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 得 直 线 的 解 析 式 ， 继 而 即 可 求 得 P的 坐 标 ；（ 2） 作 AD y 轴 于 D， AE x 轴 于 E， BF x轴 于 F， BG y轴 于 G， AE、 BG交 于 H， 则 AD BG x轴 ， AE BF y轴 ， 得 出 = ， = = ， 根 据 题

28、 意 得 出 ， = = ， 从 而 求 得 ， 然 后 根 据 k=xy得 出 x1 y1= y1， 求 得 y1=2， 代 入= ， 解 得 x1=2， 即 可 求 得 A、 B 的 坐 标 ；（ 3） 合 （ 1） ， （ 2） 中 的 结 果 ， 猜 想 x1+x2=x0.答 案 ： （ 1） 直 线 y=ax+b与 双 曲 线 y= （ x 0） 交 于 A（ 1， 3） ， k=1 3=3， y= ， B（ 3， y 2） 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ， y2= =1， B（ 3， 1） ， 直 线 y=ax+b 经 过 A、 B两 点 ， 解 得 ， 直 线 为 y=

29、 x+4，令 y=0， 则 x=4， P（ 4， O） ；（ 2） 如 图 ， 作 AD y 轴 于 D， AE x 轴 于 E， BF x 轴 于 F， BG y轴 于 G， AE、 BG 交 于 H，则 AD BG x 轴 ， AE BF y轴 ， = ， = = ， b=y1+1， AB=BP， = ，= = ， B（ ， y 1） A， B两 点 都 是 反 比 例 函 数 图 象 上 的 点 ， x1 y1= y1，解 得 y1=2，代 入 = ， 解 得 x1=2， A（ 2， 2） ， B（ 4， 1） .（ 3） 根 据 （ 1） ， （ 2） 中 的 结 果 ， 猜 想 ：

30、x 1， x2， x0之 间 的 关 系 为 x1+x2=x0.五 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 9 分 ， 共 18分 ）22.甲 、 乙 两 人 在 100米 直 道 AB 上 练 习 匀 速 往 返 跑 ， 若 甲 、 乙 分 别 中 A， B 两 端 同 时 出 发 ，分 别 到 另 一 端 点 处 掉 头 ， 掉 头 时 间 不 计 ， 速 度 分 别 为 5m/s和 4m/s.（ 1） 在 坐 标 系 中 ， 虚 线 表 示 乙 离 A端 的 距 离 s（ 单 位 ： m） 与 运 动 时 间 t（ 单 位 ： s） 之 间 的函 数 图 象 （

31、0 t 200） ， 请 在 同 一 坐 标 系 中 用 实 线 画 出 甲 离 A 端 的 距 离 s 与 运 动 时 间 t 之 间的 函 数 图 象 （ 0 t 200） ； （ 2） 根 据 （ 1） 中 所 画 图 象 ， 完 成 下 列 表 格 ：两 人 相 遇 次 数（ 单 位 ： 次 ） 1 2 3 4 n两 人 所 跑 路 程 之和（ 单 位 ： m） 100 300 （ 3） 直 接 写 出 甲 、 乙 两 人 分 别 在 第 一 个 100m内 ， s 与 t 的 函 数 解 析 式 ， 并 指 出 自 变 量 t的 取 值 范 围 ； 当 t=390s时 ， 他 们 此

32、 时 相 遇 吗 ？ 若 相 遇 ， 应 是 第 几 次 ？ 若 不 相 遇 ， 请 通 过 计 算 说 明 理 由 ，并 求 出 此 时 甲 离 A 端 的 距 离 .解 析 ： （ 1） 根 据 甲 跑 100米 所 用 的 时 间 为 100 5=20（ 秒 ） ， 画 出 图 象 即 可 ；（ 2） 根 据 甲 和 乙 第 一 次 相 遇 时 ， 两 人 所 跑 路 程 之 和 为 100米 ， 甲 和 乙 第 二 次 相 遇 时 ， 两 人 所 跑 路 程 之 和 为 100 2+100=300（ 米 ） ， 甲 和 乙 第 三 次 相 遇 时 ， 两 人 所 跑 路 程 之 和 为

33、200 2+100=500（ 米 ） ， 甲 和 乙 第 四 次 相 遇 时 ， 两 人 所 跑 路 程 之 和 为 300 2+100=700（ 米 ） ，找 到 规 律 即 可 解 答 ；（ 3） 根 据 路 程 、 速 度 、 时 间 之 间 的 关 系 即 可 解 答 ； 由 200n 100=9 390， 解 得 ： n=18.05， 根 据 n不 是 整 数 ， 所 以 此 时 不 相 遇 ， 当 t=400s时 ， 甲 回 到 A， 所 以 当 t=390s 时 ， 甲 离 A端 距 离 为 （ 400 390） 5=50m.答 案 ： （ 1） 如 图 ： （ 2） 甲 和 乙

34、 第 一 次 相 遇 时 ， 两 人 所 跑 路 程 之 和 为 100米 ，甲 和 乙 第 二 次 相 遇 时 ， 两 人 所 跑 路 程 之 和 为 100 2+100=300（ 米 ） ，甲 和 乙 第 三 次 相 遇 时 ， 两 人 所 跑 路 程 之 和 为 200 2+100=500（ 米 ） ，甲 和 乙 第 四 次 相 遇 时 ， 两 人 所 跑 路 程 之 和 为 300 2+100=700（ 米 ） ，甲 和 乙 第 n次 相 遇 时 ， 两 人 所 跑 路 程 之 和 为 （ n 1） 100 2+100=200n 100（ 米 ） ，故 答 案 为 ： 500， 700

35、， 200n 100；（ 3） s 甲 =5t（ 0 t 20） ， s 乙 =4t（ 0 t 25） . 由 200n 100=9 390，解 得 ： n=18.05， n 不 是 整 数 ， 此 时 不 相 遇 ，当 t=400s 时 ， 甲 回 到 A，当 t=390s时 ， 甲 离 A 端 距 离 为 （ 400 390） 5=50m.23.如 图 ， 已 知 二 次 函 数 L 1： y=ax2 2ax+a+3（ a 0） 和 二 次 函 数 L2： y= a（ x+1） 2+1（ a 0） 图 象 的 顶 点 分 别 为 M， N， 与 y 轴 分 别 交 于 点 E， F.（ 1

36、） 函 数 y=ax2 2ax+a+3（ a 0） 的 最 小 值 为 ， 当 二 次 函 数 L1， L2的 y值 同 时 随 着 x的 增 大 而 减 小 时 ， x的 取 值 范 围 是 .（ 2） 当 EF=MN 时 ， 求 a 的 值 ， 并 判 断 四 边 形 ENFM的 形 状 （ 直 接 写 出 ， 不 必 证 明 ） .（ 3） 若 二 次 函 数 L2的 图 象 与 x 轴 的 右 交 点 为 A（ m， 0） ， 当 AMN 为 等 腰 三 角 形 时 ， 求 方 程 a（ x+1） 2+1=0的 解 . 解 析 ： （ 1） 把 二 次 函 数 L1： y=ax2 2a

37、x+a+3化 成 顶 点 式 ， 即 可 求 得 最 小 值 ， 分 别 求 得 二 次 函数 L1， L2的 y 值 随 着 x 的 增 大 而 减 小 的 x 的 取 值 ， 从 而 求 得 二 次 函 数 L1， L2的 y 值 同 时 随 着x的 增 大 而 减 小 时 ， x 的 取 值 范 围 ；（ 2） 先 求 得 E、 F 点 的 坐 标 ， 作 MG y轴 于 G， 则 MG=1， 作 NH y轴 于 H， 则 NH=1， 从 而 求得 MG=NH=1， 然 后 证 得 EMG FNH， MEF= NFE， EM=NF， 进 而 证 得 EM NF， 从 而 得 出 四边 形

38、 ENFM 是 平 行 四 边 形 ； （ 3） 作 MN 的 垂 直 平 分 线 ， 交 MN于 D， 交 x 轴 于 A， 先 求 得 D 的 坐 标 ， 继 而 求 得 MN的 解 析式 ， 进 而 就 可 求 得 直 线 AD 的 解 析 式 ， 令 y=0， 求 得 A 的 坐 标 ， 根 据 对 称 轴 从 而 求 得 另 一 个交 点 的 坐 标 ， 就 可 求 得 方 程 a（ x+1） 2+1=0 的 解 .答 案 ： （ 1） 二 次 函 数 L1： y=ax2 2ax+a+3=a（ x 1） 2+3， 顶 点 M 坐 标 为 （ 1， 3） ， a 0， 函 数 y=ax

39、2 2ax+a+3（ a 0） 的 最 小 值 为 3， 二 次 函 数 L 1的 对 称 轴 为 x=1， 当 x 1时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ；二 次 函 数 L2： y= a（ x+1） 2+1的 对 称 轴 为 x= 1， 当 x 1时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ； 当 二 次 函 数 L1， L2的 y值 同 时 随 着 x的 增 大 而 减 小 时 ， x 的 取 值 范 围 是 1 x 1；故 答 案 为 ： 3， 1 x 1.（ 2） 由 二 次 函 数 L1： y=ax2 2ax+a+3 可 知 E（ 0， a+3） ，由 二 次 函 数 L2

40、： y= a（ x+1） 2+1= a2x 2ax a+1可 知 F（ 0， a+1） ， M（ 1， 3） ， N（ 1， 1） ， EF=MN= ， a+3 （ a+1） =2 ， a= 1，作 MG y 轴 于 G， 则 MG=1， 作 NH y 轴 于 H， 则 NH=1， MG=NH=1， EG=a+3 3=a， FH=1 （ a+1） =a， EG=FH，在 EMG和 FNH中 ， EMG FNH（ SAS） ， MEF= NFE， EM=NF， EM NF， 四 边 形 ENFM 是 平 行 四 边 形 ； EF=MN， 四 边 形 ENFM 是 矩 形 ；（ 3） 由 AMN为

41、 等 腰 三 角 形 ， 可 分 为 如 下 三 种 情 况 ： 如 图 2， 当 MN=NA=2 时 ， 过 点 N 作 ND x 周 ， 垂 足 为 点 D， 则 有 ND=1， DA=m （ 1）=m+1，在 Rt NDA中 ， NA 2=DA2+ND2， 即 （ 2 ） 2=（ m+1） 2+12， m1= 1， m2= 1（ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） ， A（ 1， 0） .由 抛 物 线 y= a（ x+1） 2+1（ a 0） 的 对 称 轴 为 x= 1， 它 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 坐 标 为 （ 1 ， 0） . 方 程 a（ x+1） 2+1=0 的 解

42、 为 x1= 1， x2= 1 . 如 图 3， 当 MA=NA时 ， 过 点 M 作 MG x 轴 ， 垂 足 为 G， 则 有 OG=1， MG=3， GA=|m 1|， 在 Rt MGA中 ， MA2=MG2+GA2， 即 MA2=32+（ m 1） 2，又 NA2=（ m+1） 2+12， （ m+1） 2+12=32+（ m 1） 2， m=2， A（ 2， 0） ，则 抛 物 线 y= a（ x+1） 2+1（ a 0） 的 左 交 点 坐 标 为 （ 4， 0） ， 方 程 a（ x+1） 2+1=0 的 解 为 x1=2， x2= 4. 当 MN=MA时 ， 32+（ m 1）

43、 2=（ 2 ） 2， m 无 实 数 解 ， 舍 去 .综 上 所 述 ， 当 AMN为 等 腰 三 角 形 时 ， 方 程 a（ x+1） 2=0的 解 为x1= 1， x2=1 或 x1=2， x2= 4.六 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 12分 ）24.我 们 把 两 条 中 线 互 相 垂 直 的 三 角 形 称 为 “ 称 为 中 垂 三 角 形 ” ， 例 如 图 1， 图 2， 图 3 中 ，AF， BE 是 ABC的 中 线 ， AF BE， 垂 足 为 P， 像 ABC这 样 的 三 角 形 均 称 为 “ 中 垂 三 角 形 ” ，设 BC=a， AC=b， AB=

44、c.特 例 探 索（ 1） 如 图 1， 当 ABE=45 ， c=2 时 ， a= ， b= .如 图 2， 当 ABE=30 ， c=4 时 ， a= ， b= .归 纳 证 明（ 2） 请 你 观 察 （ 1） 中 的 计 算 结 果 ， 猜 想 a 2， b2， c2三 者 之 间 的 关 系 ， 用 等 式 表 示 出 来 ， 并利 用 图 3 证 明 你 发 现 的 关 系 式 . 拓 展 应 用（ 3） 如 图 4， 在 ABCD中 ， 点 E、 F、 G 分 别 是 AD， BC， CD 的 中 点 ， BE EG， AD=2 ， AB=3，求 AF 的 长 .解 析 ： （

45、1） 由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到 AP=BP= AB=2， 根 据 三 角 形 中 位 线 的 性 质 ， 得 到 EF AB， EF= AB= ， 再 由 勾 股 定 理 得 到 结 果 ；（ 2） 连 接 EF， 设 ABP= ， 类 比 着 （ 1） 即 可 证 得 结 论 .（ 3） 连 接 AC交 EF于 H， 设 BE与 AF的 交 点 为 P， 由 点 E、 G 分 别 是 AD， CD 的 中 点 ， 得 到EG 是 ACD的 中 位 线 于 是 证 出 BE AC， 由 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 得 到 AD BC，AD=BC=2

46、 ， EAH= FCH根 据 E， F分 别 是 AD， BC的 中 点 ， 得 到 AE=BF=CF= AD= ， 证出 四 边 形 ABFE是 平 行 四 边 形 ， 证 得 EH=FH， 推 出 EH， AH分 别 是 AFE的 中 线 ， 由 （ 2） 的 结论 得 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： （ 1） AH BE， ABE=45 ， AP=BP= AB=2， AF， BE 是 ABC的 中 线 ， EF AB， EF= AB= ， PFE= PEF=45 ， PE=PF=1，在 Rt FPB和 Rt PEA中 ，AE=BF= = ， AC=BC=2 ， a=b=2 ，如 图

47、 2， 连 接 EF， 同 理 可 得 ： EF= 4=2， EF AB， PEF ABP， ，在 Rt ABP中 ，AB=4， ABP=30 ， AP=2， PB=2 ， PF=1， PE= ，在 Rt APE和 Rt BPF中 ，AE= ， BF= ， a=2 ， b=2 ， 故 答 案 为 ： 2 ， 2 ， 2 ， 2 ；（ 2） 猜 想 ： a2+b2=5c2，如 图 3， 连 接 EF，设 ABP= ， AP=csin ， PB=ccos ， 由 （ 1） 同 理 可 得 ， PF= PA= ， PE= = ，AE2=AP2+PE2=c2sin2 + ， BF2=PB2+PF2=

48、+c2cos2 ， =c2sin2 + ， = +c2cos2 ， + = +c 2cos2 +c2sin2 + ， a2+b2=5c2；（ 3） 如 图 4， 连 接 AC， EF交 于 H， AC与 BE交 于 点 Q， 设 BE 与 AF的 交 点 为 P， 点 E、 G 分 别 是 AD， CD的 中 点 ， EF AC， BE EG， BE AC， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AD BC， AD=BC=2 ， EAH= FCH， E， F分 别 是 AD， BC的 中 点 ， AE= AD， BF= BC， AE=BF=CF= AD= ， AE BF， 四 边 形 ABFE 是 平 行 四 边 形 ， EF=AB=3， AP=PF，在 AEH和 CFH中 ， AEH CFH， EH=FH， EH， AH 分 别 是 AFE的 中 线 ，由 （ 2） 的 结 论 得 ： AF 2+EF2=5AE2， AF2=5 EF2=16， AF=4.