1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 山 东 卷 ) 数 学 文一 、 选 择 题 : 本 题 共 10 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 M=x|x-1| 1, N=x|x 2, 则 M N=( )A.(-1, 1)B.(-1, 2)C.(0, 2)D.(1, 2)解 析 : 集 合 M=x|x-1| 1=(0, 2),N=x|x 2=(- , 2), M N=(0, 2).答 案 : C. 2.已 知 i 是 虚 数 单 位
2、 , 若 复 数 z 满 足 zi=1+i, 则 z2=( )A.-2iB.2iC.-2D.2解 析 : 复 数 z满 足 zi=1+i, 1 1iz ii , z 2=-2i.答 案 : A.3.已 知 x, y 满 足 约 束 条 件 2 5 03 02x yxy 则 z=x+2y 的 最 大 值 是 ( )A.-3B.-1C.1D.3 解 析 : x, y满 足 约 束 条 件 2 5 03 02x yxy 的 可 行 域 如 图 : 目 标 函 数 z=x+2y 经 过 可 行 域 的 A时 , 目 标 函 数 取 得 最 大 值 ,由 : 22 5 0yx y 解 得 A(-1, 2
3、),目 标 函 数 的 最 大 值 为 : -1+2 2=3. 答 案 : D.4.已 知 3cos 4x , 则 cos2x=( )A. 14B. 14C. 18D. 18 解 析 : 3cos 4x , 则 23 1cos2 2 14 8x .答 案 : D.5.已 知 命 题 p: x R, x2-x+1 0.命 题 q: 若 a2 b2, 则 a b, 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是 ( )A.p qB.p qC. p qD. p q解 析 : 命 题 p: x=0 R, 使 x 2-x+1 0 成 立 .故 命 题 p 为 真 命 题 ;当 a=1, b=-2时 , a2 b
4、2成 立 , 但 a b 不 成 立 ,故 命 题 q 为 假 命 题 ,故 命 题 p q, p q, p q 均 为 假 命 题 ;命 题 p q 为 真 命 题 .答 案 : B.6.若 执 行 右 侧 的 程 序 框 图 , 当 输 入 的 x的 值 为 4时 , 输 出 的 y 的 值 为 2, 则 空 白 判 断 框 中 的条 件 可 能 为 ( ) A.x 3B.x 4C.x 4D.x 5解 析 : 方 法 一 : 当 x=4, 输 出 y=2, 则 由 y=log2x输 出 , 需 要 x 4,故 选 B.方 法 二 : 若 空 白 判 断 框 中 的 条 件 x 3, 输 入
5、 x=4, 满 足 4 3, 输 出 y=4+2=6, 不 满 足 , 故 A错 误 ,若 空 白 判 断 框 中 的 条 件 x 4, 输 入 x=4, 满 足 4=4, 不 满 足 x 3, 输 出 y=y=log 24=2, 故 B正 确 ;若 空 白 判 断 框 中 的 条 件 x 4, 输 入 x=4, 满 足 4=4, 满 足 x 4, 输 出 y=4+2=6, 不 满 足 , 故C错 误 ,若 空 白 判 断 框 中 的 条 件 x 5, 输 入 x=4, 满 足 4 5, 满 足 x 5, 输 出 y=4+2=6, 不 满 足 ,故 D 错 误 .答 案 : B.7.函 数 3
6、sin2 cos2y x x 的 最 小 正 周 期 为 ( )A. 2 B. 23C.D.2解 析 : 函 数 3sin2 cos2 2sin 2 6y x x x , =2, T= .答 案 : C 8.如 图 所 示 的 茎 叶 图 记 录 了 甲 、 乙 两 组 各 5 名 工 人 某 日 的 产 量 数 据 (单 位 : 件 ).若 这 两 组 数据 的 中 位 数 相 等 , 且 平 均 值 也 相 等 , 则 x 和 y 的 值 分 别 为 ( )A.3, 5B.5, 5C.3, 7D.5, 7解 析 : 由 已 知 中 甲 组 数 据 的 中 位 数 为 65,故 乙 组 数
7、据 的 中 位 数 也 为 65, 即 y=5,则 乙 组 数 据 的 平 均 数 为 : 66,故 x=3.答 案 : A.9.设 f(x)=x, 0 x 12(x-1), x 1, 若 f(a)=f(a+1), 则 f(1a)= ( )A.2B.4C.6D.8解 析 : 当 a (0, 1)时 , 0 12 1 1x xf x x x , , , 若 f(a)=f(a+1), 可 得 2a a , 解 得 14a , 则 : 1 4 2 4 1 6f fa .当 a 1, + )时 . 0 12 1 1x xf x x x , , , 若 f(a)=f(a+1),可 得 2(a-1)=2a
8、, 显 然 无 解 .答 案 : C.10.若 函 数 e xf(x)(e=2.71828 是 自 然 对 数 的 底 数 )在 f(x)的 定 义 域 上 单 调 递 增 , 则 称 函 数f(x)具 有 M性 质 , 下 列 函 数 中 具 有 M 性 质 的 是 ( )A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx解 析 : 当 f(x)=2 -x时 , 函 数 2 xx ee f x 在 R 上 单 调 递 增 , 函 数 f(x)具 有 M 性 质 . 答 案 : A二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 5小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 2
9、5 分11.已 知 向 量 a=(2, 6), b=(-1, ), 若 / /a b , 则 =_.解 析 : / /a b , -6-2 =0, 解 得 =-3.答 案 : -3.12.若 直 线 1x ya b (a 0, b 0)过 点 (1, 2), 则 2a+b 的 最 小 值 为 _.解 析 : 直 线 1x ya b (a 0, b 0)过 点 (1, 2), 则 1 2 1a b ,由 1 2 4 4 42 2 2 2 4 4 2 4 4 8a b a b a ba b a b a b b a b a b a , 当 且 仅 当 4 =a bb a , 即 12a , b=1时
10、 , 取 等 号 , 2a+b的 最 小 值 为 8.答 案 : 8.13.由 一 个 长 方 体 和 两 个 14 圆 柱 体 构 成 的 几 何 体 的 三 视 图 如 图 , 则 该 几 何 体 的 体 积 为 _. 解 析 : 由 长 方 体 长 为 2, 宽 为 1, 高 为 1, 则 长 方 体 的 体 积 V1=2 1 1=2,圆 柱 的 底 面 半 径 为 1, 高 为 1, 则 圆 柱 的 体 积 22 1 1 14 4V ,则 该 几 何 体 的 体 积 1 12 2 2V V V .答 案 : 2 2 .14.已 知 f(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且
11、 f(x+4)=f(x-2).若 当 x -3, 0时 , f(x)=6 -x, 则f(919)=_.解 析 : 由 f(x+4)=f(x-2).则 f(x+6)=f(x), f(x)为 周 期 为 6 的 周 期 函 数 ,f(919)=f(153 6+1)=f(1),由 f(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 则 f(1)=f(-1), 当 x -3, 0时 , f(x)=6-x,f(-1)=6-(-1)=6, f(919)=6.答 案 : 6.15.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 , 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0, b 0)的 右 支 与 焦
12、点 为 F的 抛 物 线x 2=2py(p 0)交 于 A, B 两 点 , 若 |AF|+|BF|=4|OF|, 则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 _.解 析 : 把 x2=2py(p 0)代 入 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0, b 0),可 得 : a2y2-2pb2y+a2b2=0, 222A B pby y a , |AF|+|BF|=4|OF|, 2 42 2A B p py y , 222pb pa , 22ba . 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 : 22y x .答 案 : 22y x .三 、 解 答 题16.某 旅 游 爱 好
13、 者 计 划 从 3个 亚 洲 国 家 A 1, A2, A3和 3 个 欧 洲 国 家 B1, B2, B3中 选 择 2 个 国 家去 旅 游 .( )若 从 这 6 个 国 家 中 任 选 2个 , 求 这 2 个 国 家 都 是 亚 洲 国 家 的 概 率 ;( )若 从 亚 洲 国 家 和 欧 洲 国 家 中 各 任 选 1 个 , 求 这 2个 国 家 包 括 A1但 不 包 括 B1的 概 率 .解 析 : ( )从 这 6 个 国 家 中 任 选 2 个 , 基 本 事 件 总 数 26 15n C , 这 2 个 国 家 都 是 亚 洲 国家 包 含 的 基 本 事 件 个
14、数 23 3m C , 由 此 能 求 出 这 2 个 国 家 都 是 亚 洲 国 家 的 概 率 .( )从 亚 洲 国 家 和 欧 洲 国 家 中 各 任 选 1 个 , 利 用 列 举 法 能 求 出 这 2 个 国 家 包 括 A 1但 不 包 括B1的 概 率 .答 案 : ( )某 旅 游 爱 好 者 计 划 从 3 个 亚 洲 国 家 A1, A2, A3和 3 个 欧 洲 国 家 B1, B2, B3中 选 择 2个 国 家 去 旅 游 . 从 这 6个 国 家 中 任 选 2 个 , 基 本 事 件 总 数 26 15n C ,这 2 个 国 家 都 是 亚 洲 国 家 包
15、含 的 基 本 事 件 个 数 23 3m C , 这 2个 国 家 都 是 亚 洲 国 家 的 概 率 3 115 5mP n .( )从 亚 洲 国 家 和 欧 洲 国 家 中 各 任 选 1个 , 包 含 的 基 本 事 件 个 数 为 9 个 , 分 别 为 :(A 1, B1), (A1, B2), (A1, B3), (A2, B1), (A2, B2),(A2, B3), (A3, B1), (A3, B2), (A3, B3),这 2 个 国 家 包 括 A1但 不 包 括 B1包 含 的 基 本 事 件 有 : (A1, B2), (A1, B3), 共 2个 , 这 2个
16、国 家 包 括 A1但 不 包 括 B1的 概 率 P= 29 .17.在 ABC中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c, 已 知 b=3, 6AB AC , S ABC=3, 求A和 a.解 析 : 根 据 向 量 的 数 量 积 和 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 tanA=-1, 求 出 A和 c的 值 , 再 根 据 余 弦定 理 即 可 求 出 a.答 案 : 由 6AB AC 可 得 bccosA=-6, ,由 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 1 sin 32ABCS bc A , tanA=-1, 0 A 180 , A=135 , 6
17、 2 223 2c ,由 余 弦 定 理 可 得 a 2=b2+c2-2bccosA=9+8+12=29 29a18.由 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1截 去 三 棱 锥 C1-B1CD1后 得 到 的 几 何 体 如 图 所 示 , 四 边 形 ABCD为 正方 形 , O 为 AC 与 BD的 交 点 , E 为 AD 的 中 点 , A1E 平 面 ABCD,( )证 明 : A 1O 平 面 B1CD1;( )设 M 是 OD 的 中 点 , 证 明 : 平 面 A1EM 平 面 B1CD1.解 析 : ( )取 B 1D1中 点 G, 连 结 A1G、 CG, 推 导 出 A
18、1G OC, 从 而 四 边 形 OCGA1是 平 行 四 边 形 ,进 而 A1O CG, 由 此 能 证 明 A1O 平 面 B1CD1.( )推 导 出 BD A1E, AO BD, EM BD, 从 而 BD 平 面 A1EM, 再 由 BD B1D1, 得 B1D1 平 面 A1EM, 由 此 能 证 明 平 面 A1EM 平 面 B1CD1.答 案 : ( )取 B1D1中 点 G, 连 结 A1G、 CG, 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 , O 为 AC与 BD的 交 点 , 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1截 去 三 棱 锥 C1-B1CD1后 , 1 /AG O
19、C , 四 边 形 OCGA1是 平 行 四 边 形 , A1O CG, A1O平 面 B1CD1, CG 平 面 B1CD1, A 1O 平 面 B1CD1.( )四 棱 柱 ABCD-A 1B1C1D1截 去 三 棱 锥 C1-B1CD1后 , BD/ B1D1, M 是 OD 的 中 点 , O为 AC与 BD 的 交 点 , E为 AD的 中 点 , A1E 平 面 ABCD,又 BD 平 面 ABCD, BD A1E, 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 , O 为 AC与 BD的 交 点 , AO BD, M 是 OD 的 中 点 , E为 AD的 中 点 , EM BD, A
20、1E EM=E, BD 平 面 A1EM, BD B1D1, B1D1 平 面 A1EM, B1D1 平 面 B1CD1, 平 面 A1EM 平 面 B1CD1.19.已 知 an是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且 a1+a2=6, a1a2=a3.(1)求 数 列 an通 项 公 式 ;(2)b n为 各 项 非 零 的 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn, 已 知 S2n+1=bnbn+1, 求 数 列 nnba 的 前 n 项和 Tn.解 析 : (1)通 过 首 项 和 公 比 , 联 立 a1+a2=6、 a1a2=a3, 可 求 出 a1=q=2,
21、 进 而 利 用 等 比 数 列 的 通项 公 式 可 得 结 论 ;(2)利 用 等 差 数 列 的 性 质 可 知 S2n+1=(2n+1)bn+1, 结 合 S2n+1=bnbn+1 可 知 bn=2n+1, 进 而 可 知2 12n nnb na , 利 用 错 位 相 减 法 计 算 即 得 结 论 .答 案 : (1)记 正 项 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q,因 为 a1+a2=6, a1a2=a3,所 以 (1+q)a1=6, qa12=q2a1,解 得 : a1=q=2,所 以 an=2n;(2)因 为 bn为 各 项 非 零 的 等 差 数 列 , 所 以 S2n
22、+1=(2n+1)bn+1,又 因 为 S2n+1=bnbn+1,所 以 bn=2n+1, 2 12n nnb na ,所 以 21 1 13 5 2 12 2 2n nT n , 2 3 11 1 1 1 13 5 2 1 2 12 2 2 2 2n n nT n n ,两 式 相 减 得 : 2 3 11 1 1 1 1 13 2 2 12 2 2 2 2 2n n nT n , 即 2 3 1 11 1 1 1 1 1 13 2 12 2 2 2 2 2 2n n nT n ,即 12 3 2 111 1 1 1 1 123 1 2 1 3 2 112 2 2 2 2 21 2nn n
23、n nT n n = 2 55 2nn .20.已 知 函 数 3 21 13 2f x x ax , a R,(1)当 a=2 时 , 求 曲 线 y=f(x)在 点 (3, f(3)处 的 切 线 方 程 ;(2)设 函 数 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx, 讨 论 g(x)的 单 调 性 并 判 断 有 无 极 值 , 有 极 值 时 求 出 极 值 .解 析 : (1)根 据 导 数 的 几 何 意 义 即 可 求 出 曲 线 y=f(x)在 点 (3, f(3)处 的 切 线 方 程 ,(2)先 求 导 , 再 分 类 讨 论 即 可 求 出 函 数 的 单 调 区
24、 间 和 极 值答 案 : (1)当 a=2时 , 3 213f x x x , f (x)=x2-2x, k=f (3)=9-6=3, f(3)= 13 27-9=0, 曲 线 y=f(x)在 点 (3, f(3)处 的 切 线 方 程 y=3(x-3), 即 3x-y-9=0(2)函 数 3 21 1cos sin cos sin3 2g x f x x a x x x ax x a x x , g (x)=(x-a)(x-sinx),令 g (x)=0, 解 得 x=a, 或 x=0, 若 a 0 时 , 当 x 0 时 , g (x) 0恒 成 立 , 故 g(x)在 (- , 0)上
25、 单 调 递 增 ,当 x a 时 , g (x) 0 恒 成 立 , 故 g(x)在 (a, + )上 单 调 递 增 ,当 0 x a时 , g (x) 0 恒 成 立 , 故 g(x)在 (0, a)上 单 调 递 减 , 当 x=a时 , 函 数 有 极 小 值 , 极 小 值 为 31 sin6g a a a 当 x=0时 , 有 极 大 值 , 极 大 值 为 g(0)=-a, 若 a 0 时 , 当 x 0 时 , g (x) 0恒 成 立 , 故 g(x)在 (- , 0)上 单 调 递 增 ,当 x a 时 , g (x) 0 恒 成 立 , 故 g(x)在 (- , a)上
26、 单 调 递 增 ,当 a x 0时 , g (x) 0 恒 成 立 , 故 g(x)在 (a, 0)上 单 调 递 减 , 当 x=a时 , 函 数 有 极 大 值 , 极 大 值 为 31 sin6g a a a 当 x=0时 , 有 极 小 值 , 极 小 值 为 g(0)=-a 当 a=0时 , g (x)=x(x+sinx),当 x 0 时 , g (x) 0 恒 成 立 , 故 g(x)在 (0, + )上 单 调 递 增 ,当 x 0 时 , g (x) 0 恒 成 立 , 故 g(x)在 (- , 0)上 单 调 递 增 , g(x)在 R上 单 调 递 增 , 无 极 值 .
27、 21.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 , 已 知 椭 圆 C: 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 离 心 率 为 22 , 椭 圆C截 直 线 y=1所 得 线 段 的 长 度 为 2 2 .( )求 椭 圆 C 的 方 程 ;( )动 直 线 l: y=kx+m(m 0)交 椭 圆 C 于 A, B两 点 , 交 y 轴 于 点 M.点 N 是 M关 于 O 的 对 称点 , N 的 半 径 为 |NO|.设 D 为 AB的 中 点 , DE, DF与 N 分 别 相 切 于 点 E, F, 求 EDF的 最小 值 . 解 析 : ( )首 先 根 据 题 中 信
28、息 可 得 椭 圆 C 过 点 ( 2 , 1), 然 后 结 合 离 心 率 可 得 椭 圆 方 程 ;( )可 将 题 目 所 求 角 度 的 最 小 值 转 化 为 求 角 度 正 弦 的 最 小 值 , 结 合 题 目 信 息 可 求 得 D、 N坐标 及 N 半 径 , 进 而 将 DN长 度 表 示 出 来 , 可 求 EDF最 小 值 .答 案 : ( ) 椭 圆 C的 离 心 率 为 22 , 2 22 12a ba , a 2=2b2, 椭 圆 C 截 直 线 y=1所 得 线 段 的 长 度 为 2 2 , 椭 圆 C 过 点 ( 2 , 1), 2 22 1 1a b ,
29、 b2=2, a2=4, 椭 圆 C 的 方 程 为 2 2 14 2x y .( )设 A, B 的 横 坐 标 为 x1, x2,则 A(x 1, kx1+m), B(x2, kx2+m), D( 1 2 1 22 2x x k x x m , ),联 立 2 2 14 2x yy kx m 可 得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0, 1 2 241 2kmx x k , D( 2 221 2 1 2km mk k , ), M(0, m), 则 N(0, -m), N的 半 径 为 |m|, 2 2 4 2 2 2 222 3 11 2 1 2 1 2mm kmDN m k kk k k ,设 EDF= , 24 24 22 1 2sin 22 2 3 13 11 2EN ON m kmDN DN k kk kk ,令 24 21 22 3 1ky k k , 则 24 2 4 24 112 3 1 3 1k ky k k k k ,当 k=0时 , sin 2 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为 12 . EDF的 最 小 值 是 60 .
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