2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-山东卷.pdf

1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，选择一个符合题目要求的选项。 1 若 cos sinzi =+（ i为虚数单位） ，则 2 1z = 的 值可能是 （ A） 6 （ B） 4 （ C） 3 （ D） 2 2 已知集合 1,1M = ， 1 1 24, 2 x Nx xZ + = （ D）对任意的 x R ， 32 10 xx + 8 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如 下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于

2、 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒 且小于 15 秒； 第六组，成绩大于等于 18 秒且小于 19 秒。右图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图。设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x，成绩大于等 于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方图中可分析出 x和 y 分别为 （ A） 0.9,35 （ B） 0.9, 45 （ C） 0.1,35 （ D） 0.1, 45 9 下列各小题中， p 是 q的充要条件的是 （ 1） :2pm ； 2 :3qy x mxm= +有两个不同的零点。 （ 2） () :1; () fx p fx = :()q

3、y fx= 是函数。 （ 3） :cos cos ;p = :tan tanq = 。 （ 4） :;p ABA= : UU qCB CA 。 （ A） (1), (2) （ B） (2),(3) （ C） (3),(4) （ D） (1), (4) 10 阅读右边的程序框图，若输入的 n是 100，则输出的变量 S 和 T 的值依次是 （ A） 2500, 2500 （ B） 2550, 2550 （ C） 2500,2550 （ D） 2550, 2500 O 13 14 15 16 17 18 19 0.36 0.34 0.18 0.06 0.04 0.02 11 在直角 ABC 中，

4、CD是斜边 AB上的高，则下列等式不成立的是 （ A） 2 ACACAB= nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull （ B） 2 BCBABC= nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull （ C） 2 AB AC CD= nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull （ D） 2 2 ()()AC AB BA BC CD AB = nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnull

5、null nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull 12 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为 向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 1 2 .质点 P 移动 5 次后位于点 (2,3) 的概率为 （ A） 5 1 () 2 （ B） 25 5 1 () 2 C （ C） 33 5 1 () 2 C （ D） 23 5 55 1 () 2 CC 否 是 开 始 输入 n SSn= + 结束 2?n 输出 ,ST 0, 0ST= 1nn= TTn= + 1nn= 第卷 （共 90 分） 注意

6、事项 ： 1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分，答案须填在题中横线上. (13)设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y 2 =2px(p0)的焦点， A 是抛物线上的一点， FA与 x 轴正 向的夹角为 60,则 OA 为 . (14)设 D 是不等式组 + + 1 ,40 ,32 102 y x yx yx ， 表示的平面区域，则 D 中的点 P（ x,y）到直线 x+y=10 距 离的最大值是 . (15)与直线 x+y-2=0 和曲线 x 2 +y 2 -12x-1

7、2y+64=0 都相切的半径最小的圆的标准方程是 . (16)函数 y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 mn0,则 nm 21 + 的最小值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人 17（本小题满分 12 分） 设数列 n a 满足 21 * 12 3 3 3 .3 , . 3 n n n aa a a nN + + = (I)求数列 n a 的通项 ; (II)设 , n n n b a = 求数列 n b 的前 n项和 n S . 18（本小题满分 1

8、2 分）设 bc和 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 ,用随机变量 表示方 程 2 0 xbxc+=实根的个数 (重根按一个计 ). (I)求方程 2 0 xbxc+= 有实根的概率 ; (II) 求 的分布列和数学期望 ; (III)求在先后两次出现的点数中有 6 的条件下 ,方程方程 2 0 xbxc+ += 有实根的概率 . 19（本小题满分 12 分）如图 ,在直四棱柱 111 1 ABCD ABC D 中 ,已知 1 22DC DD AD AB=, AD DC , ABDCnull . (I)设 E是 DC 的中点 ,求证 : 11 DE ABDnull平面 ; (II)求二面角 1

9、1 ABDC的余弦值 . E D1 C1 B1 A1 D C B A 得 分 评卷人 (20)(本小题满分12 分) 如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船 按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1处， 此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A1处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方 向的 B1处，此时两船相距 10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 得 分 评卷人 （21） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3；最 小值为 1；

10、 （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 l1y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点（ A， B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的 圆过椭圆 C的右顶点.求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标. 得 分 评卷人 (22)(本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=x 2 +b ln(x+1),其中 b0. ()当 b 2 1 时，判断函数 f(x)在定义域上的单调性； （）求函数 f(x)的极值点； （）证明对任意的正整数 n,不等式ln( 32 11 )1 1 ( nnn + )都成立. 参考答案 1-12 【答案】 : DBDAAB， CADDCB 13 【答案】 : 2

11、1 2 p 14 【答案】 : 42. 15 【答案】 :. 22 (2)(2)2xy+= 16 【答案】 : 8。 17【答案】 : (I) 21 12 3 3 3 .3 , 3 n n n aa a a + + = 22 12 3 1 1 3 3 .3 ( 2), 3 n n n aa a a n + + = 1 11 3(2). 333 n n nn an = = 1 (2). 3 n n an= 验证 1n= 时也满足上式， * 1 (). 3 n n anN= (II) 3 n n bn= ， 23 1 3 2 3 3 3 . 3 n n Sn=+ + + 23 1 23333 3

12、nn n Sn + =+ 1 1 33 23 13 n n n Sn + + = ， 11 13 33 244 nn n n S + = + 18【答案】 :（ I）基本事件总数为 66 36 = ， 若使方程有实根，则 2 40bc= ，即 2bc 。 当 1c= 时， 2,3, 4,5, 6b= ； 当 2c = 时， 3, 4, 5, 6b= ； 当 3c= 时， 4,5, 6b= ； 当 4c = 时， 4,5, 6b= ； 234 1 3 1 3 2 3 3 3 . 3 n n + = + + + 当 5c = 时， 5, 6b= ； 当 6c = 时， 5, 6b= , 目标事件个

13、数为 54332219,+= 因此方程 2 0 xbxc+= 有实根的概率为 19 . 36 (II)由题意知， 0,1, 2 = ，则 17 (0) 36 P =， 21 (1) , 36 18 P = = 17 (2) 36 P =， 故 的分布列为 0 1 2 P 17 36 1 18 17 36 的数学期望 17 1 17 0121. 36 18 36 E = + + = (III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M， “方程 2 0ax bx c+ += 有实根” 为事件 N，则 11 () 36 PM = ， 7 () 36 PMN = ， ()7 () () 1 PMN

14、PNM PM =. 19【答案】 :(I)连结 BE，则四边形 DABE为正方形， 11 BEADAD =，且 11 BEADADnullnull ， 11 ADEB四边形 为平行四边形， 11 DE AB null . 1111 DE ABD AB ABD 平面 ， 平面 ， 11 .DE ABD null平面 (II) 以 D 为原点， 1 ,DA DC DD 所在直线分别为 x轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系， 不妨设 1DA= ，则 11 (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0, 2, 2), (1,0, 2).DABC A 1 (1,0,2), (1,1

15、,0).DA DB = nullnullnullnullnullnullnullnull 设 (, ,)nxyz= null 为平面 1 ABD的一个法向量， 由 1 ,nDAnDB null nullnullnullnullnull null nullnullnullnull 得 20 0 xy xy += += ， 取 1z = ，则 (2,2,1)n= null . 设 111 (, ,)mxyz= nullnull 为平面 1 CBD的一个法向量， 由 ,mDCmDB nullnull nullnullnullnull nullnull nullnullnullnull 得 11 11

16、 220 0 yz xy += += ， 取 1 1z = ,则 (1, 1,1)m= nullnull . 33 cos , . 3 93 mn mn mn = = = nullnull null nullnull null nullnull null 由于该二面角 11 ABDC为锐角， 所以所求的二面角 11 ABDC的余弦值为 3 . 3 20【答案】 解如图，连结 12 AB ， 22 10 2AB = ， 12 20 30 2 10 2 60 AA = = ， 122 AAB 是等边三角形， 112 105 60 45BAB=， 在 121 ABB 中，由余弦定理得 222 12

17、11 12 11 12 22 2 cos 45 2 20 (10 2) 2 20 10 2 200 2 BB AB AB AB AB=+ =+ = ， 12 10 2.BB = 因此乙船的速度的大小为 10 2 60 30 2. 20 = 答：乙船每小时航行 30 2 海里 . 21【答案】 (I)由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1( 0) xy ab ab + = 3, 1ac ac+= =， 2 2, 1, 3acb= 22 1. 43 xy += (II)设 11 2 2 (, ),(, )Ax y Bx y ，由 22 1 43 y kx m xy = + + = 得 22 2

18、(3 4 ) 8 4( 3) 0kx mkx m+=， 22 2 2 64 16(3 4 )( 3) 0mk k m= + ， 22 34 0km+ . 2 12 1222 84(3) ,. 34 34 mk m xx xx kk += = + 22 22 12 1 2 12 1 2 2 3( 4 ) ()() () . 34 mk y y kx m kx m kxx mkx x m k = + += + += + 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2,0),D 1 AD BD kk = ， 12 12 1 22 yy xx = ， 12 12 1 2 2( ) 4 0yy xx x x+

19、=， 22 2 222 3( 4 ) 4( 3) 16 40 34 34 34 mk m mk kk += + ， 22 716 40mmkk+=，解得 12 2 2, 7 k mkm= = ，且满足 22 34 0km+. 当 2mk= 时， :(2)ly kx=，直线过定点 (2,0),与已知矛盾； 当 2 7 k m= 时， 2 :() 7 ly kx=，直线过定点 2 (,0). 7 综上可知，直线 l过定点，定点坐标为 2 (,0). 7 22【答案】 (I) 函数 2 () ln( 1)fx x b x=+ +的定义域为 ( )1, + . 2 22 ( ) 2 11 bxxb f

20、x x xx + =+ = + ， 令 2 () 2 2gx x x b=+，则 ()gx在 1 , 2 + 上递增，在 1 1, 2 上递减， min 11 () ( ) 22 gx g b=+. 当 1 2 b 时， min 1 () 0 2 gx b= + ， 2 () 2 2 0gx x x b=+在 ()1,+上恒成立 . () 0,fx 即当 1 2 b 时 ,函数 ()f x 在定义域 ()1, + 上单调递增。 （ II）分以下几种情形讨论： （ 1）由（ I）知当 1 2 b 时函数 ()f x 无极值点 . （ 2）当 1 2 b= 时， 2 1 2( ) 2 ( ) 1

21、x fx x + = + ， 1 1, 2 x 时， () 0,fx 1 , 2 x + 时， () 0,fx 1 2 b = 时，函数 ()f x 在 ()1,+上无极值点。 （ 3）当 1 2 b 时，解 () 0fx= 得两个不同解 1 112 2 b x = ， 2 112 2 b x + = . 当 0b 时， 1 112 1 2 b x = ， ()() 12 1, , 1, ,xx + + 此时 ()f x 在 ()1,+上有唯一的极小值点 2 112 2 b x + = . 当 1 0 2 b时， () 12 ,1,xx+ ()f x 在 ()( ) 12 1,xx+都大于 0 ， ()f x 在 12 (, )x x 上小于 0 ， 此时 ()f x 有一个极大值点 1 112 2 b x = 和一个极小值点 2 112 2 b x + = . 综上可知， 0b 时， ()f x 在 ()1,+上有唯一的极小值点 2 112 2 b x + = ； 1 0 2 b=. 即当 ()0,x+时，有 32 ln( 1) 0,xx x+ + 23 ln( 1)x xx+ ， 对任意正整数 n，取 1 x n = 得 23 111 ln( 1) nnn +