2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-四川卷.pdf

1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3 到 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPA

2、PBAP +=+ 2 4 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP = 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV = n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP = )1()( 一选择题： (1)复数 2 1 1 i i i + + 的值是 （ A） 0 (B)1 (C)-1 (D)1 (2)函数 f(x)=1+log 2 x 与 g(x)=2 -x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是 (3) 2 2 1 1 lim 21 x x xx = （

3、A） 0 (B)1 (C) 2 1 (D) 3 2 (4)如图， ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 为正方体，下面结论错误 的是 （ A） BD平面 CB 1 D 1 （ B） AC 1 BD （ C） AC 1 平面 CB 1 D 1 （ D）异面直线 AD 与 CB 1 角为 60 （ 5） 如果双曲线 1 24 22 = yx 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2， 那么点 P 到 y 轴的距离是 （ A） 3 64 （ B） 3 62 （ C） 62 （ D） 32 （ 6）设球 O 的半径是 1， A、 B、 C 是球面上三点，已知 A 到 B、 C 两点的球面距离都是 2

4、 ，且三面角 B-OA-C 的大小为 3 ，则从 A 点 沿球面经 B、 C 两点再回到 A 点的最短距离是 （ A） 6 7 （ B） 4 5 （ C） 3 4 （ D） 2 3 （ 7）设 A a,1 ， B 2， b ， C 4,5 ，为坐标平面上三点， O 为坐 标原点，若方向在与 OCOBOA 上的投影相同，则 a 与 b 满足的关 系式为 (A) 354 = ba (B) 345 = ba (C) 1454 =+ ba (D) 1445 =+ ba （ 8）已知抛物线 3 2 += xy 上存在关于直线 0=+ yx 对称的相异两点 A、 B，则 |AB|等于 （ A） 3 （ B

5、） 4 （ C） 23 （ D） 24 （ 9）某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项 目乙投资的 3 2 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这 两个项目上共可获得的最大利润为 （ A） 36 万元 （ B） 31.2 万元 （ C） 30.4 万元 （ D） 24 万元 （ 10）用数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有 （ A） 288 个 （ B） 24

6、0 个 （ C） 144 个 （ D） 126 个 （ 11）如图， l 1 、 l 2 、 l 3 是同一平面内的三条平行直线， l 1 与 l 2 间的距离是 1， l 2 与 l 3 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l 1 、 l 2 、 l 3 上，则 ABC 的边长是 （ A） 32 （ B） 3 64 （ C） 4 173 （ D） 3 212 （ 12）已知一组抛物线 1 2 1 2 += bxaxy ，其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个 数， b 为 1,3,5,7 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1 交点处 的切线相互平

7、行的概率是 （ A） 12 1 （ B） 60 7 （ C） 25 6 （ D） 25 5 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在横线上 . （ 13）若 函 数 f(x)=e -(m-u)2 (c 是自然对数的底数 )的最大值是 m,且 f(x)是偶函数，则 m+u= . (14)如图，在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，侧棱长为 2 ，底面三角形的边 长为 1，则 BC 1 与侧面 ACC 1 A 1 所成的角是 . (15)已知 O 的方程是 x 2 +y 2 -2=0, O的方程是 x 2 +y 2 -8x+10=0,由动点 P 向 O 和

8、 O所引 的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是 . (16)下面有五个命题： 函数 y=sin 4 x-cos 4 x 的最小正周期是 . 终边在 y 轴上的角的集合是 a|a= Zk k , 2 |. 在同一坐标系中，函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点 . 把函数 .2sin3 6 ) 3 2sin(3 的图象得到的图象向右平移 xyxy = += 函数 .0) 2 sin( 上是减函数，在 = xy 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17） （本小题满分 12 分）已

9、知 0, 14 13 )cos(, 7 1 cos 且= 2 , ()求 2tan 的值. （）求 . （18） （本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家 时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4 件进行检验.求至少有 1 件是合格品的概率; （）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件， 都进行检验，只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产 品数 的分布列及期望 E ，并求该商

10、家拒收这批产品的概率. （19） （本小题满分 12 分）如图， PCBM 是直角梯形， PCB90， PM BC， PM 1， BC2，又 AC 1， ACB120， AB PC，直线 AM 与直线 PC所成的角 为 60. （）求证：平面 PAC 平面 ABC; （）求二面角 BACM 的大小; （）求三棱锥 MACP 的体积. （20） （本小题满分 12 分）设 1 F 、 2 F 分别是椭圆 1 4 2 2 =+ y x 的左、右焦点. （）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 1 PF 2 PF 的最大值和最小值; （）设过定点 )2,0(M 的直线 l与椭圆交于不同的两点 A、 B

11、，且 AOB为锐角（其中 O 为坐标原点） ，求直线 l的斜率 k 的取值范围. 已知函数 42)( += xxf ,设曲线 )(xfy = 在点 ()处的切线与 x 轴线发点 ()()其中 xn 为实数 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数 42)( += xxf ,设曲线 )(xfy = 在点 ()处的切线与 x 轴线发点 ()()其中 xn 为实数 ( )用表示 ( ) (22)(本小题满分 14 分 ) 设函数 ),1,( 1 1)( NxnNn n xf n += null且 . ( )当 x=6 时 ,求 n n + 1 1 的展开式中二项式系数最大的项 ; ( )对任意的

12、实数 x,证明 2 )2()2( fxf + );)()()( 的导函数是 xfxfxf ( )是否存在 Na ,使得 an + n k k 1 1 1 na )1( + 恒成立 ?若存在 ,试证明你的结论并求 出 a 的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学参考答案 一选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 （ 1） A （ 2） C （ 3） D （ 4） D （ 5） A （ 6） C （ 7） A （ 8） C （ 9） B （ 10） B （ 11） D （ 12） B 二填空题：本题考察基础知识和基

13、本运算，每小题 4 分，满分 16 分 （ 13） 1 （ 14） 6 （ 15） 3 2 x= （ 16） 三解答题： （ 17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以 及计算能力。 解： （）由 1 cos ,0 72 = ，得 2 2 143 sin 1 cos 1 77 = = = sin 4 3 7 tan 4 3 cos 7 1 = ，于是 () 22 2tan 2 4 3 8 3 tan 2 1tan 47 143 = = （）由 0 2 ，得 0 2 ， 则 () () 000 31 0,1, , , , , 0,0, 22 M zAM zC

14、P z = = nullnullnullnullnullnullnullnull 由直线 AM 与直线 PC 所成的解为 0 60 ，得 0 cos 60AM CP AM CP= nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnull ，即 22 000 3 2 zzz = + ，解得 0 1z = () 31 0,0,1 , , , 0 22 CM CA = nullnullnullnullnullnullnullnull ，设平面 MAC 的一个法向量为 111 ,nxyz= null ， 则 11

15、 11 0 31 0 22 yz yz += = ，取 1 1x = ，得 1, 3, 3n= null 平面 ABC 的法向量取为 ( )0, 0,1m= nullnull 设 m nullnull 与 n null 所成的角为 ，则 3 cos 7 mn mn = nullnullnull nullnull null 显然，二面角 M AC B的平面角为锐角， 故二面角 M AC B的平面角大小为 21 arccos 7 （）取平面 PCM 的法向量取为 ( ) 1 1, 0, 0n = nullnull ，则点 A 到平面 PCM 的距离 1 1 3 2 CA n h n = nulln

16、ullnullnullnullnull nullnull 1, 1PC PM= nullnullnullnull nullnullnullnullnull ， 11 1 3 3 11 32 6 2 12 PMAC APCM VV PCPMh = nullnullnullnull nullnullnullnullnull （20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解 决问题及推理计算能力。 解： （）解法一：易知 2, 1, 3abc= 所以 ()( ) 12 3,0 , 3,0FF ，设 ( ),Pxy，则 ()() 22 12 3, ,3, 3PFPF

17、xy xy x y= =+ nullnullnullnull nullnullnullnullnull () 2 22 1 1338 44 x xx= + = 因为 2, 2x ，故当 0 x = ，即点 P 为椭圆短轴端点时， 12 PF PF nullnullnullnull nullnullnullnullnull 有最小值 2 当 2x = ，即点 P 为椭圆长轴端点时， 12 PF PF nullnullnullnull nullnullnullnullnull 有最大值 1 解法二：易知 2, 1, 3abc=，所以 ( ) ( ) 12 3,0 , 3,0FF ，设 ( ),Px

18、y，则 22 2 1212 12 1 2 12 1 2 12 cos 2 PF PF FF PF PF PF PF FPF PF PF PF PF + = = nullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnull () () 22

19、2 1 33123 2 xyxyxy =+=+ （以下同解法一） （）显然直线 0 x= 不满足题设条件，可设直线 ( )( ) 12 22 :2,ly kx Axy Bxy= ， 联立 2 2 2 1 4 ykx x y = += ，消去 y ，整理得： 22 1 430 4 kxkx + += 12 12 22 43 , 11 44 k xx xx kk += = + 由 () 2 2 1 44 3430 4 kk k = + = 得： 3 2 k 又 00 90cos00 0AB AB OAOB nullnullnullnullnullnullnullnull 12 12 0OA OB

20、x x y y= + nullnullnullnullnullnullnullnull 又 ()( ) ( ) 2 12 1 2 12 1 2 22 2 4y y kx kx k x x k x x=+ += + + 22 22 38 4 11 44 kk kk = + + 2 2 1 1 4 k k + = + 2 22 31 0 11 44 k kk + + + ，即 2 4k 22k 故由、得 3 2 2 k 或 3 2 2 k ， 2 1 4x ， 即有 1 2x （充分性）若 1 20 x ，由 1 2 2 n n n x x x + =+ 用数学归纳法易得 0 n x ，从而 ()

21、 1 22 221 22 nn n nn xx xn xx + = + = ，即 ()22 n xn 又 1 2x ( )22 n xn 于是 2 1 42 22 nn nn n nn x x xx x x x + =+= ( )( )22 0 2 nn n xx x + = ， 即 1nn x x + 对一切正整数 n成立 （）由 1 2 2 n n n x x x + =+，知 () 2 1 2 2 2 n n n x x x + + += ，同理， () 2 1 2 2 2 n n n x x x + = 故 2 1 1 22 22 nn xx + + + = 从而 1 1 22 lg

22、2lg nn xx + + + = ，即 1 2 nn aa + = 所以，数列 n a 成等比数列，故 11 11 1 1 2 22lg 2lg3 2 nn n n x aa x + = = ， 即 1 2 lg 2 lg 3 2 nn n x x + = ，从而 21 2 3 2 nn n x x + = 所以 () 21 21 23 1 31 n n n x + = （22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。 考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。 （）解：展开式中二项式系数最大的项是第 4 项，这项是 3 35 6 3 120 1C

23、nn = （）证法一：因 () () 22 11 221 1 n fxf nn +=+ 22 11 21 1 n nn + 11 21 1 n nn =+ 1 21 n n + 11 21 ln1 2 n n + + () 11 21 ln1 2 n f x nn + += 证法二：因 () () 22 11 221 1 n fxf nn +=+ 22 11 21 1 n nn + 11 21 1 n nn =+ 而 () 11 221ln1 n fx nn =+ + 故只需对 1 1 n + 和 1 ln 1 n + 进行比较。 令 () ( )ln 1gx x xx= ，有 () 11 1

24、 x gx x x = = 由 1 0 x x = ，得 1x = 因为当 01x时， () 0gx ， ( )gx单调递减；当 1 x ， ()gx单 调递增，所以在 1x= 处 ()gx 有极小值 1 故当 1x 时， () ()11gx g=， 从而有 ln 1x x，亦即 ln 1 lnx xx+ 故有 11 1ln1 nn + + 恒成立。 所以 () () () 222f xf fx+ ，原不等式成立。 （）对 mN ，且 1m 有 2 01 2 11111 1 mkm km mm m m m CC C C C mm +=+ + + + nullnull () ( ) ( ) ()

25、 2 11112 11 2! ! ! km mm mm m k mm mkmmm + =+ + + nullnull nullnull 11 11 2 1 11 1 21 1 1 1 1 1 2! ! ! km mkmm m mm m =+ nullnullnullnull 11 1 1 2 2! 3! ! !km + + + + + +nullnull () () 11 1 1 2 21 32 1 1kk mm + + + + + + nullnull 111 11 11 21 223 1 1kk mm =+ + + + + + nullnull 1 33 m = = null ，故 1 21 3 m m + 1 21 3 m m + ，从而有 1 1 21 3 k n k nn k = + 成立， 即存在 2a = ，使得 1 1 21 3 k n k nn k = + 恒成立。