2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学试卷（文）及答案解析.pdf

1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文） 本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项. 1已知全集U=R,集合P=xx 2 1,那么 A(-, -1 B1, +） C-1，1 D（-，-1 1，+） 2复数 2 12 i i = + Ai B-i C 43 55 i D 43 55 i+ 3如果,0loglog 2 1 2 1 yx那么 Ay x1 Bx y1 C

2、1 xy D1yx 4若p是真命题，q是假命题，则 Apq是真命题 Bpq是假命题 Cp是真命题 Dq是真命题 5某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A32 B16+16 2 C48 D16+32 2 6执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为 A2 B3 C4 D5 7某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间 为 8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之 和最小，每批应生产产品 A60件 B80件 C100件 D120件 8已知点A（0,2），B（2,0）若点C在函数y = x

3、的图像上，则使得ABC的面积为2的点C 的个数为 A4 B3 C2 D1 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9在ABC中.若b=5， 4 B =，sinA= 1 3 ，则a=_. 10已知双曲线 2 2 2 1 y x b =（b0）的一条渐近线的方程为2yx=，则b = . 11已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3）.若a-2b与c共线，则k=_. 12在等比数列a n 中，a 1 = 1 2 ，a 4 =4，则公比q=_；a 1 +a 2 +a n = _. 13已知函数 3 2 ,2 () (1), 2 x fx x xx

4、= 的离心率为 6 3 ，右焦点为（22,0），斜率为I的直线 l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）. （I）求椭圆G的方程； （II）求PAB的面积. 20（本小题共13分） 若数列 12 :,( 2) nn Aaa an 满足 1 1( 1, 2, , 1) kk aa k n + = = ，则称 n A为E数列，记 12 () nn SA a a a=+. （）写出一个E数列A 5 满足 13 0aa= =； （）若 1 12a =，n=2000，证明：E数列 n A是递增数列的充要条件是 n a =2011； （）在 1 4a =的E数列 n A中，

5、求使得 ( ) n SA =0成立得n的最小值. 参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）A （3）D （4）D （5）B （6）C （7）B （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9） 3 25 （10）2 （11）1 （12）2 2 1 2 1 n （13）（0，1） （14）6 6，7，8， 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）因为1) 6 sin(cos4)( += xxxf 1)cos 2 1 sin 2 3 (cos4 += xxx 1cos22sin3 2 += xx xx 2cos2sin3 +=

6、) 6 2sin(2 += x 所以)(xf的最小正周期为 （）因为. 3 2 6 2 6 , 46 + xx所以 于是，当 6 , 26 2 =+ xx即时，)(xf取得最大值2； 当)(, 6 , 66 2 xfxx时即 =+取得最小值1 （16）（共13分） 解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为 ; 4 35 4 10988 = + =x 方差为 . 16 11 ) 4 35 10() 4 35 9() 4 35 8( 4 1 2222 =+=s （）记甲组四名同学为A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 ，他们植树的棵数依次为9，9，1

7、1，11；乙 组四名同学为B 1 ，B 2 ，B 3 ，B 4 ，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两 组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： （A 1 ，B 1 ），（A 1 ，B 2 ），（A 1 ，B 3 ），（A 1 ，B 4 ）， （A 2 ，B 1 ），（A 2 ，B 2 ），（A 2 ，B 3 ），（A 2 ，B 4 ）， （A 3 ，B 1 ），（A 2 ，B 2 ），（A 3 ，B 3 ），（A 1 ，B 4 ）， （A 4 ，B 1 ），（A 4 ，B 2 ），（A 4 ，B 3 ），（A 4 ，B 4 ）， 用C表示：“选出的两名同学的植树

8、总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是： （A 1 ，B 4 ），（A 2 ，B 4 ），（A 3 ，B 2 ），（A 4 ，B 2 ），故所求概率为. 4 1 16 4 )( =CP （17）（共14分） 证明：（）因为D，E分别为AP，AC的中点， 所以DE/PC。 又因为DE平面BCP， 所以DE/平面BCP。 （）因为D，E，F，G分别为 AP，AC，BC，PB的中点， 所以DE/PC/FG，DG/AB/EF。 所以四边形DEFG为平行四边形， 又因为PC AB， 所以DE DG， 所以四边形DEFG为矩形。 （）存在点Q满足条件，理由如下： 连接DF，EG，设Q为EG的中

9、点 由（）知，DFEG=Q，且QD=QE=QF=QG= 2 1 EG. 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。 与（）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q， 且QM=QN= 2 1 EG， 所以Q为满足条件的点. （18）（共13分） 解：（）.)1()( 3 ekxxf += 令() 0= xf，得1= kx )(xf与)(xf 的情况如下： x （kk ,） 1k （),1( +k )(xf 0 + )(xf 1 k e 所以，)(xf的单调递减区间是（1, k）；单调递增区间是),1( +k （）当01k，即1k时，函数)(xf在0，1上单调

10、递增， 所以f（x）在区间0，1上的最小值为;)0( kf = 当21,110 kk即时， 由（）知() 0, 1fx k在上单调递减，在(1,1k 上单调递增，所以()f x在区间0，1 上的最小值为 1 (1) k f ke =； 当1, 2ktk =即时，函数()f x在0，1上单调递减， 所以()f x在区间0，1上的最小值为(1) (1 ) .f ke= （19）（共14分） 解：（）由已知得 6 22, . 3 c c a = 解得23.a = 又 222 4.bac= 所以椭圆G的方程为 22 1. 12 4 xy += （）设直线l的方程为.mxy += 由 =+ += 1 412 22 yx mxy 得 .012364 22 =+ mmxx 设A、B的坐标分别为),)(,(),( 212211 xxyxyx = + 是递增数列 综上，结论得证. （）对首项为4的E数列A k ，由于 ,31 12 = aa ,21 23 aa .31 75 aa 所以)8,3,2(0 21 LL=+ kaaa k 所以对任意的首项为4的E数列A m ，若,0)( = m AS 则必有9n . 又4 1 =a的E数列,0)(4,3,2,1,0,1,2,3,4: 11 = ASA满足 所以n是最小值是9.