2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试卷(文科）及答案解析.pdf

1、绝密启用前 试卷类型 ：A 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科） 本试卷共 4页，21 小题，满分 150分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码 横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置

2、上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错 涂、多涂的，答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式 1 3 vSh= ，其中 s是锥体的底面积， h是锥体的高 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50分.每小题给出得四个选项中，只有 一项十符合题目要求得. 1.已知全集U=R，则正确表示集合 M= 1，0，1 和 N= x |x 2 +x=0 关系的韦恩（Venn） 图是 2.下

3、列n 的取值中，使 n i =1(i 是虚数单位）的是 A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5 3.已知平面向量 a= ,1x（） ， b= 2 ,x x（ ） ， 则向量 +ab A 平行于 x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 4.若函数 ()y fx= 是函数 1 x yaa a=（ 0，且 ） 的反函数，且 (2) 1f = ，则 ()f x = A x 2 log B x 2 1 C x 2 1 log D2 2x 5.已知等比数列 n a 的公比为正数，且 3 a 9 a =2 2 5 a ， 2 a =1，则

4、 1 a = A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 6.给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 7.已知 ABC 中， CBA , 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 26 + 且 75A= o ，则b= A.2 B4 23 C4 23 D 62 8.函数 x exxf )3()( = 的单调递增区间是 A. )2,( B

5、0,3) C.(1,4) D. ),2( + 9函数 1) 4 (cos2 2 = xy 是 A最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 2 的奇函数 D. 最小正周期为 2 的偶函数 10广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线 距离（单位：百公里）见下表.若以 A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那 么火炬传递的最短路线距离是 A.20.6 B.21 C.22 D.23 二、填空题：本大题共5 小题，考生作答4 小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（1113题） 11.某篮球队6 名

6、主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： 队员i 1 2 3 4 5 6 三分球个数 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图， 则图中判断框 应填 ，输出的 s= (注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”) 图1 12某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽 样法，将全体职工随机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（15 号，610 号， 196200 号）.若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是 。若用分层抽

7、样 方法，则 40岁以下年龄段应抽取 人. 图 2 13以点（2， 1 ）为圆心且与直线 6xy+ = 相切的圆的方程是 . (二)选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题）若直线 12 23 x t y t = = + （t 为参数）与直线 41x ky+=垂直， 则常数 k = . 15.(几何证明选讲选做题)如图 3，点 A、B、C 是圆 O 上的点，且 AB=4， 30ACB= o ，则 圆 O 的面积等于 . 图3 三、解答题，本大题共6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 已知向量 )

8、2,(sin = a 与 )cos,1( =b 互相垂直，其中 ) 2 ,0( （1）求 sin 和 cos 的值 （2）若 cos53)cos(5 = ， = aaxf x 且 1a ）的图象上一点，等比数列 n a 的 前 n 项和为 cnf )( ,数列 n b )0( n b 的首项为 c，且前 n 项和 n S 满足 n S 1n S = n S + 1+n S （n 2）. （1）求数列 n a 和 n b 的通项公式； （2）若数列 1 1+nn bb 前 n 项和为 n T ，问 n T 2009 1000 的最小正整数 n 是多少? 21.（本小题满分 14 分） 已知二次函

9、数 )(xgy = 的导函数的图像与直线 2yx= 平行,且 )(xgy = 在 x=1处取 得最小值 m1(m 0 ).设函数 x xg xf )( )( = (1)若曲线 )(xfy = 上的点 P 到点Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) )( Rkk 如何取值时,函数 kxxfy = )( 存在零点,并求出零点. 参考答案 一、 1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7.A 8. D 9A 10 B 二、 11. 6i , 12 6 aa a+L 12 37, 20 13 22 25 (2)(1) 2 xy+= 14 6 15.16 16. 【

10、解析】 （） ab v v Q , sin 2cos 0ab = = v v g ,即 sin 2cos = 又 2 sin cos 1+=, 22 4cos cos 1+ = ,即 2 1 cos 5 = , 2 4 sin 5 = 又 25 (0, ) sin 25 =, 5 cos 5 = (2) 5cos( ) 5(cos cos sin sin ) = + 5cos 2 5sin =+ 35cos= cos sin = , 22 2 cos sin 1 cos = ,即 2 1 cos 2 = 又 ）半焦距为 c; 则 212 3 2 a c a = = , 解得 6 33 a c

11、 = , 222 36 27 9bac = 所求椭圆 G 的方程为： 22 1 36 9 xy +=. (2 )点 K A 的坐标为 ( ),2K 12 12 11 263263 22 K AFF SFF= = = V （3）若 0k ，由 22 6 0 12 0 21 5 12 0kk+ =+ f 可知点（6，0）在圆 k C 外， 若 0k , 0 n S , 1 1 nn SS =； 数列 n S 构成一个首相为 1公差为 1 的等差数列， ( )111 n Sn n= += ， 2 n Sn= 当 2n ， () 2 2 1 121 nnn bSS n n n = = ； 21 n

12、bn =( * nN )； （2） 12 23 34 1 111 1 n nn T bb bb bb bb + =+L () 111 1 13 35 57 (2 1) 2 1nn =+ + K 11111111 11 1 1 23235257 22121nn =+ + K 11 1 22121 n nn = = + ； 由 1000 2 1 2009 n n T n = + 得 1000 9 n ，满足 1000 2009 n T 的最小正整数为 112. 21.【解析】 （1）设 () 2 g x ax bx c=+，则 ( ) 2gx axb = + ； 又 ()gx 的图像与直线 2y

13、x= 平行 22a = 1a = 又 ()gx在 1x= 取极小值， 1 2 b = ， 2b= ()1121gabc cm =+=+=， cm= ； () () 2 gx m fx x xx =+， 设 ( ) ,oo Pxy 则 () 2 2 2 22 00 00 0 2 m PQ x y x x x =+ =+ + 2 22 0 2 0 22 m xm x = + + 2 22 2 4m += 2 2 m= ； （2）由 () ( )120 m yfxkx kx x =+=， 得 () 2 120kx x m+= ( )* 当 1k = 时，方程 ()* 有一解 2 m x= ，函数 ( )yfxkx= 有一零点 2 m x= ； 当 1k 时，方程 () * 有二解 ( ) 44 1 0mk= ，若 0m ， 1 1k m ， 函数 ( )yfxkx=有两个零点 () () ()2441 11 1 21 1 mk mk x kk = ；若 0m ， 1 1k m ，函数 ()yfxkx=有两个零点 () () ()2441 11 1 21 1 mk mk x kk = ； 当 1k 时，方程 ()* 有一解 ( )44 1 0mk= = , 1 1k m = , 函数 () yfxkx=有一零点 1 1 x k =