2011年安徽省泗县中学数学竞赛卷.doc

1、2011年安徽省泗县中学数学竞赛卷 选择题 若实数 x， y满足 ，则 yx的值为（ ） A B 3 C - D -3 答案： B 如果 =a+b （ a， b为有理数），那么 a+b等于 ( ) A 2 B 3 C 8 D 10 答案： D 单选题 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是 ( ) A对应点连线与对称轴垂直 B对应点连线被对称轴平分 C对应点连线被

2、对称轴垂直平分 D对应点连线互相平行 答案： B 如图，平面直角坐标系， ABO 90，将直角 AOB绕 点顺时针旋转，使点 落在经 x 轴上的点 B1处，点 A落在 A1处，若 点的坐标为（ ， ），则点 A1的坐标是（ ） A（， -） B（， -） C（， -） D（， -） 答案： B 如图，点 P是矩形 ABCD的边 AD的一个动点，矩形的两条边 AB、 BC的长分别为 3和 4，那么点 P到矩形的两条对角线 AC和 BD的距离之和是（ ） A B C D不确定 答案： A 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 C的坐标是（ 3， 4）则顶点 A、 B的坐标分别是（ ）

3、A. （ 4， 0）（ 7， 4） B. （ 4， 0）（ 8， 4） C. （ 5， 0）（ 7， 4） D. （ 5， 0）（ 8， 4） 答案： D 如图，菱形 ABCD由 6个腰长为 2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AC的长为（ ） A 3 B 6 C D 答案： D 如图在平面直角坐标系中， MNEF的两条对角线 ME， NF交于原点 O，点 F的坐标是（ 3， 2），则点 N 的坐标为（ ） （ -3， -2） B（ -3， 2） C（ -2， 3） D（ 2， 3） 答案： A 填空题 在菱形 ABCD中， ABC=60，边长为 2cm， E,F分别是边 BC 和对角线BD上

4、两个动点，则 EF CF的最小值为 _. 答案： 若 表示不超过 的最大整数（如 等），则 _ 答案： 已知点 P(x,y)在第二象限，且 |x|=2,y是 1的平方根，则点 P的坐标为_. 答案：（ -2， 1） 如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， D 在 AB上，四边形 DECF 是正方形，若 BD=3cm， AD=2cm,则图中阴影部分面积为 _. 答案： 若 得整数部分为 a，小数部分为 b，则 a-b的值为_. 答案： 如图所示，两个全等菱形的边长为 1厘米，一只蚂蚁由 点开始按 ABCDEFGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2010厘米后停下，则这只 蚂蚁停在 点 答案

5、 C 在 Rt ABC中， a=3， b=4，则 c=_. 答案：或 直角三角形一直角边长为 11，另两条边长均为自然数，则其周长为_. 答案： 解答题 已知， ,求 x2-3xy y2的值 . 答案： xy=-1 x y=2 x2-3xy y2=（ x y)2-5xy=22-5(-1)=9 如图在 ABC中，为 BC 的中点， AB=5， AD=6， AC=13，求 BC 边长 . 答案：延长 AD到 E使 DE=AD=6,连接 BE,CE， CD=BD 四边形 ABEC 是平行四边形 AB CE,EB=CA=13 52 122=132, EAC=90 BD= BC= 如果一条直线把一个平

6、面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是 平行四边形的一条面积等分线 （ 1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是 _； （ 2）如图 1，梯形 ABCD中， AB DC，如果延长 DC 到 E，使 CE AB，连接 AE，那么有 S 梯形 ABCD S ADE请你给出这个结论成立的理由，并过点 A作出梯形 ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）； （ 3）如图 2，四边形 ABCD中， AB与 CD不平行， S ADC S ABC，过点 A能否作出四边形 ABCD的面积等分线

7、若能，请画出面积等分线，并给出说明；若不能，说明理由 答案： 问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习 “平面图形的镶嵌 ”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究 . 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点 O 周围围绕着 4个正方形的内角 . 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角 问题提出 如果我们要 同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能

8、设计出几种不同的组合方案？ 问题解决 猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角 验证 1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x个正方形和 y个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程： ，整理得： ， 我们可以找到惟一 一组适合方程的正整数解为 结论 1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1个正方形和 2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同

9、时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由 验证 2： 结论 2： 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案 问题拓广 请你仿照 上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程 猜想 3： . 验证 3： 结论 3： . 答案：个； 1分 验证 2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 a个正三角形和 b个正

10、六边形的内角可以拼 成一个周角根据题意，可得方程： 整理得： ， 可以找到两组适合方程的正整数解为 和 3分 结论 2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 2个正三角形和 2个正六边形的内角或者围绕着 4个正三角形和 1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 4分 猜想 3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 5分 验证 3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 m个正三角形、 n个正方形和 c个正六边形的内角可以拼成一个周角 . 根据题意，可得方程： ， 整理得： ， 可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 . 7分 结论 3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1个正三角形、 2个正方形和 1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正 三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌 .