2012届陕西省长安一中高三开学第一次考试理科数学.doc

1、2012届陕西省长安一中高三开学第一次考试理科数学 选择题 设 ， ，则 “ ”是 “ ”则 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 如图，模块 - 均由 4个棱长为 1的小正方体构成，模块 由 15个棱长为1 的小正方体构成现从模块 - 中选出三个放到模块 上，使得模块 成为一个棱长为 3 的大正方体则下列选择方案中，能够完成任务的为 （ ） A模块 ， ， B模块 ， ， C模块 ， ， D模块 ， ， 答案： A 函数 满足 ，当 时， ，则 在 上零点的个数为 （ ） A 1004 B 1005 C 2009 D 2010 答案： B

2、 若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角是 （ ） A B C D 答案： C 已知实数 满足 如果目标函数 的最小值为 ，则实数 =（ ） A 2 B 5 C 6 D 7 答案： B 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 （ ） A 12 B 22 C 30 D 32 答案： C 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 ， b， c，若 ， b=2，sinB+cosB= ， 则角 A的大小为 （ ） A B C D 答案： D 已知抛物线 的准线与圆 相切，则 的值为 （ ） A B 1 C 2 D 4 答案： C 设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）

3、 A B C D 答案： D 已知 ，其中 为虚数单位，则 （ ） A B 1 C 2 D 3 答案： B 填空题 如图所示，过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A， B两点，已知 PA=2，点 P到 O 的切线长 PT=4，则弦 AB的长为 答案： 不等式 的解集为 答案： 在极坐标系中，两点 ， 间的距离是 答案： 设函数 ,观察 : 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 且 时， 答案： 函数 的图像恒过定点 A，若点 A在直线 上，其中 则 的最小值为 答案： 如图， 是以 为圆心，半径为 1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机 地扔到该圆内，用 A表示事件 “豆子落在正方形 内 ”

4、， B表示事件 “豆子落在扇形 （阴影部分）内 ”，则（ 1） ；（ 2） 答案：（ 1） ； （ 2） 已知 ，则 的展开式中的常数项为 答案： 解答题 （ 12分）已知函数 （ 1）求 的最小正周期； （ 2）求 在区间 上的最大值和最小值 答案：解：（ 1）因为 所以 的最小正周期为 -6分 （ 2）因为 于是，当 时， 取得最大值 2； 当 取得最小值 -12分 （ 12 分）成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、 5、13 后成为等比数列 中的 、 、 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）数列 的前 n项和为 ，求证：数列 是等比数列 答案：解：（ 1）设成

5、等差数列的三个正数分别为 依题意，得 所以 中的 依次为 依题意，有 （舍去） 故 的第 3项为 5，公比为 2 由 所以 是 以 为首项， 2为以比的等比数列， 其通项公式为 -6分 （ 2）数列 的前 项和 ，即 所以 因此 为首项，公比为 2的等比数列 -12分 （ 12分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD为平行四边形， DAB=60,AB=2AD=2,PD 底面 ABCD （ 1）证明： PA BD； （ 2）若 PD=AD，求二面角 A-P B-C的余弦值 答案：（ 1）因为 =2， 由余弦定理得 = 从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD 又 PD 底面 ABC

6、D，可得 BD PD 所以 BD 平面 PA D故 PA BD-6分 （ 2）如图，以 D为坐标原点，射线 DA为 轴的正半轴建立空间直角坐标系D- ， 则 ， ， ， ， 设平面 PAB的法向量为 =（ x， y， z），则 即 因此可取 = 设平面 PBC的法向量为 ，则 ， 可取 =（ 0， -1， ）， 则 故二面角 A-PB-C的余弦值为 -12分 （ 12分）设 ，其中 （ 1）当 时，求 的极值点； （ 2）若 为 R上的单调函数，求 的取值范围 答案：对 求导得 （ 1）当 时，若 ，则 ，解得 结合 ，可知 所以， 是极小值点， 是极大值点 -6分 （ 2）若 为 R上的单调

7、函数，则 在 R上不变号，结合 与条件 a0，知 在 R上恒成立，因此 ， 由此并结合 a0，知 -12分 （ 13分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取人 进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族 ”， 否则称为 “非低碳族 ”，得到如下 统计表和各年龄段人数频率分布直方图： （ 1）补全频率分布直方图并求 、 、 的值； （ 2）从 岁年龄段的 “低碳族 ”中采用分层抽样法抽取 人参加户外低碳体验活动，其中选取 人作为领队，记选取的 名领队中年龄在 岁的人数为 ，求 的分布列和期望 答案：解：（ 1）第二组的频率为 ， 所以高为 频

8、率直方图如下： 第一组的人数为 ，频率为 ，所以 由题可知，第二组的频率为 0 3，所以第二组的人数为 ，所以 第四组的频率为 ，所以第四组的人数为 ，所以 -6分 （ 2）因为 岁年龄段的 “低碳族 ”与 岁年龄段的 “低碳族 ”的比值为 ，所以采用分层抽样法抽取 18人， 岁中有 12人，岁中有 6 人随机 变量 服从超几何分布 ， ， ， 所以随机变量 的分布列为 数学期望 -13分 （ 14分）设椭圆的对称中心为坐标原点 ,其中一个顶点为 ,右焦点与点 的距离为 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）是否存在经过点 的直线 ,使直线 与椭圆相交于不同的两点满足 ？若存在 ,求出直线 的方程；若不存在 ,请说明理由 答案：解 :（ 1）依题意 ,设椭圆方程为 ,则其右焦点坐标为 ,由 ,得 ,即故 又 , ,从而可得椭圆方程为 -6分 （ 2）由题意可设直线 的方程为 ,由 知点 在线段 的垂直平分线上 , 由 消去 得 ,即可得方程（ *） 当方程（ *）的 即 时方程（ *）有两个不相等的实数根 设 , ,线段 的中点 ,则 是方程（ *）的两个不等的实根 ,故有 从而有 , 于是 ,可得线段 的中点 的坐标为 又由于 ,因此直线 的斜率为 , 由 ,得 ，即 ，解得 ， ， 综上可知存在直线 ： 满足题意 -14分