2013-2014学年湖北荆州中学高一上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2013-2014学年湖北荆州中学高一上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4， M=0， 1， 2， N=2， 3，则（ M）N=（ ） A B C D 答案： C 试题分析：本题属基础题，考察学生对集合的补集、交集概念掌握的情况，先由观察全集求出集合 的补集，再求出 的补集与集合 的效交集，从而得出答案：是 C. 考点： 1.集合的补集； 2.集合的交集 . 定义域为 R的函数 ，若关于 的方程有 3个不同实数解 ，且 ，则下列说法错误的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：若关于 的方程 有 3个不同实数根，则 是方程的一个解

2、，所以把 代入方程得 ，则有 ，故 A正确；又由 可得 ，所以 B正确；因为函数 是关于直线 对称，且函数值 是方程的根，所以方程的另两根必关于直线 对称，又因为 ，则必有 ，且 ，所以 C 正确，而 D选项的结论是错，故答案：选 D. 考点： 1.函数图像的对称性； 2.方程根与系数的关系 . 已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数，当 时，那么当 时， 的递减区间是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：令 ，则由已知得 的定义域为 ，且 为奇函数，当 时， ，所以当 时，有，此时其单调递减区间为 ，而对于函数 来说，其单调递减区间为 . 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的单调性；

3、 3.函数图像的平移 . 下列说法正确的个数是（ ） 空集是任何集合的真子集； 函数 是指数函数； 既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个； 若 ，则 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： C 试题分析：因为空集不是它本身的真子集，故 错；函数 是指数型的函数，故 错；例如函数 ， ， 故 正确；当 时，有 ，所以有 ，故 正确，所以正确答案：为 C. 考点： 1.空集； 2.指数函数； 3.奇函数、偶函数； 4.集合的运算 . 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和 ，其中 为销售量（单位：辆） .若该公司这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（ ） A

4、120.25万元 B 120万元 C 90.25万元 D 132万元 答案： B 试题分析：考查甲、乙两地的利润函数，在甲地的利润函数为，当 或 时最大利润为 ，在乙地的利润函数 为单调递增函数，所以在甲地销售量为 10 辆、乙地销售量 为 5 量时，可获最大利润为 120元（或者在甲地销售 9、 11量，在乙地销售 6、 4量也可获得最大利润） . 考点： 1.函数模型的应用； 2.二次函数； 3.一次函数 . 集合 ， ，则 （ ） . A B C D 答案： D 试题分析：由题意知，集合 ， ，因为，所以 ，故答案：选 D. 考点： 1.集合的补集、交集； 2.对数函数、指数函数的值域

5、. 下列函数图象关于原点对称的有（ ） ； ； . A B C D 答案： D 试题分析：在函数 的定义域为 ，值域为 ，所以函数图像为只有一个点，不关于原点对称；在函数 定义域为 ，且函数 为奇函数，所以其图像关于原点对称；在函数 的定义域为 不关于原点对称；函数 的定义域为 ，且函数 为奇函数，所以其图像关于原点对称 .所以正确答案：为 D. 考点： 1.奇函数； 2.函数定义域 . 是定义在 R上的奇函数且单调递减，若 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为函数 是定义在 上的奇函数且单调递减，又由得 ，所以 ，即为 ，故答案：选 B. 考点： 1.函数的奇

6、偶性； 2.函数的单调性； 3.不等式 . 实数 是图象连续不断的函数 定义域中的三个数，且满足，则 在区间 的零点个数为（ ） A 2 B奇数 C偶数 D至少是 2 答案： D 试题分析：此题主要考查学生对函数零点存在性定理掌握情况，因为，所以在区间 上至少存在一个零点，同理在区间 上也至少存在一个零点，又因为 、 ，故正确答案：是 D. 考点： 1.函数定义域； 2.函数零点存在性定理 . 已知函数 ，则该函数与直线 的交点个数有（ ） A 1个 B 2个 C无数个 D至多一个 答案： D 试题分析：此题出得巧，此时无形胜有形， 充分检验了学生对函数概念的掌握情况，根据函数的概念在定义域范

7、围内任意的一个自变量 都有唯一的函数值对应，直线 与函数 的图像最多只有一个交点，从而得出正确的答案：是 D. 考点： 1.函数的概念； 2.函数图像 . 填空题 若函数 是函数 的反函数，其图象过点 ，且函数 在区间 上是增函数，则正数 的取值范围是 答案： 试题分析：由题意可得 ，所以函数 ，由该函数在区间上是增函数，得函数 在区间 上为增函数，且，考虑到函数 在 上单调递增，所以当 时，有得 ，当 时，有 即 得 ，从而求得所求正数 的取值范围为 . 考点： 1.反函数； 2.函数的单调性； 3.对数函数； 4.常用函数 . 已知函数 若函数 有 3个零点，则实数 的取值范围是 _ 答案

8、： 试题分析：将函数 的图像向左移动一个单位，可得函数 在区间 上为单调递增函数且 ，因为二次函数 在上单调递增且 ，在 上单调递减且 ，故若函数有 3个零点，即函数 与函数 的图像有 3个交点，所以所求 的取值范围为 . 考点： 1.对数函数； 2.二次函数； 3.分段函数； 4.函数的零点 . 已知 ，则 的增区间为 _ 答案： （或 ） 试题分析：令函数 ，因为 ， ，由函数零点存在性定理知 ，所以函数 为减函数，又由函数 的单调递减区间为 ，故所求函数 的增区间为 . 考点： 1.函数的零点； 2.指数函数； 3.二次函数 . 已知 A是有限集合， ， ，若 的子集个数分别为 ，且 ，

9、则 _ 答案： 试题分析：不妨设集合 A中的元素个数为 ，则集合 B中的元素个数有 ,所以 ， ，因此 ，故所求 的值为 2. 考点： 1.集合的元素个数； 2.整数幂的运算 . 已知 ，则 _ 答案： 试题分析：由已知得， ， ，所以 ， ，故. 考点： 1.指数式与对数式之间的互化； 2.对数运算 . 解答题 （ 1）计算： （ 2）已知 ，求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）此题主要考查学生对指数运算法则、对数运算性质的掌握情况，以及对指数式、对数式整体与局部的认识，属基础题；（ 2）经过审题，若从已知条件中求出 难度较大，由指数运算法则知 ， ，所以所求式子

10、中的 ， . 试题：（ 1）原式 6分 （ 2）因为 得 得 所以原式 12分 考点： 1.指数运算法则； 2.对数运算性质 . 已知集合 与 分别是函数 的定义域与值域 . （ 1）求集合 ； （ 2）当 时，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）从集合 A中的元素特征条件 确定 的范围，从而可求出集合 A元素 的范围，求出集合 A；（ 2）由条件 可知集合 B是集合 A的子集，又由已知条件得集合 A是函数 的定义域，所以 ，故集合 B 中元素的范围不小于集合 A 中元素的范围，列出不等式组，可求出实数 的取值范围 . 试题：（ 1）由 可化为 则 得 故集合 6

11、分 （ 2） 集合 为函数的值域， ， 8分 ，得 故实数 的取值范围为 12分 考点： 1.集合的关系、运算； 2.指数幂不等式的求解 . 湖北省第十四届运动会纪念章委托某专营店销售，每枚进价 5元，同时每销售一枚这种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费 2元，预计这种纪念章以每枚 20元的价格销售时该店一年可销售 2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20元的基础上每减少一元则增加销售 400枚，而每增加一元则减少销售 100枚，现设每枚纪念章的销售价格为 元， 为整数 . (1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润 (元 )与每枚纪念章的销售价格 (元 )的函数关系

12、式 (并写出这个函数的定义域 )； (2)当每纪念章销售价格 为多少元时，该特许专营店一年内利润 (元 )最大，并求出最大值 答案：（ 1） ，定义域为（ 2）当 时，该特许专营店获得的利润最大为 32400元 . 试题分析：此题主要考查学生对函数模型在实际问题中应用的能力 .（ 1）在此类问题中要注意单价与销售量之间的相关关系，同时要注意单价价格的取值范围，必要时要进行分段列式，再根据题意求解；（ 2）经审题实际问题是求函数的最大 值，由（ 1）可知函数 是分段函数，所以要在自变量的各区间中求出最大值，进行比较，从而求出函数的最大值，再还原回实际问题的解 . 试题：（ 1）依题意 ， 定义域

13、为 6分 （ 2） ， 当 时，则 ， (元 ) 当 时，则 或 24， (元 ) 综上：当 时，该特许专营店获得的利润最大为 32400元 . 12分 考点： 1.实际问题中的函数建模； 2.分段函数的最值； 3.二次函数的最值 . 已知函数 ，且 . （ 1）判断 的奇偶性并说明理由； （ 2）判断 在区间 上的单调性，并证明你的结论； （ 3）若对任意实数 ，有 成立，求 的最小值 . 答案：（ 1） 是奇函数；（ 2） 在区间 上单调递增；（ 3）. 试题分析：（ 1）由条件 可求得函数式中的 值，从而求出函数的式，求出函数的定义域并判断其是否关于原点对称（这一步很容易被忽略），再通过

14、计算 ，与 进行比较式之间的正负，从而判断 的奇偶性；（ 2）由（ 1）可知函数的式，根据函数单调性的定义法进行判断求解，（常用的定义法步骤：取值；作差；整理；判断；结论）；（ 3）综合（ 1）（ 2），根据函数的奇偶性、单调性，以及自变量 的范围，分别求出函数在 最大、最小值，从而得出式子 最 大值，求出实数 的最小值 . 试题：（ 1） 即 函数定义域为 关于原点对称 是奇函数 4分 （ 2）任取 则 在区间 上单调递增 8分 （ 3）依题意只需 又 12分 考点： 1.函数的概念、奇偶性、单调性、最值； 2.不等式 . 若非零函数 对任意实数 均有 ，且当 时（ 1）求证： ； （ 2）

15、求证： 为 R上的减函数； （ 3）当 时， 对 时恒有 ，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）证法一： 即 又 当 时， 则 故对于 恒有 证法二： 为非零函数 （ 2）证明：令 且 有 ， 又 即 故 又 故 为 R上的减函数 （ 3）实数 的取值范围为 试题分析：（ 1）由题意可取 代入等式 ，得出关于的方程，因为 为非零函数，故 ，再令 代入等式，可证 ，从而证明当 时，有 ；（ 2）着眼于减函数的定义，利用条件当 时，有 ，根据等式 ，令 ，可得 ，从而可证该函数为减函数 .（ 3）根据，由条件 可求得 ，将 替换不等式中的 ，再根据函数的单调性可得 ，结合 的范围，从而得解 .

16、试题：（ 1）证法一： 即 又 当 时， 则 故对于 恒有 4分 证法二： 为非零函数 （ 2）令 且 有 ， 又 即 故 又 故 为 R上的减函数 8分 （ 3） 故 ， 10分 则原不等式可变形为 依题意有 对 恒成立 或 或 故实数 的取值范围为 13分 考点： 1.函数的概念； 2.函数的单调性； 3.二次函数 . 已知函数 （ 1）写出函数 的单调区间； （ 2）若 在 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）若函数 在 上值域是 ，求实数 的取值范围 答案：（ 1）增区间 , 减区间 ；（ 2）实数 的取值范围为（ 3）实数 的取值范围为 试题分析：（ 1）由已知函数可化为 ，根据函

17、数的单调区间，得出所求函数的单调区间；（ 2）由（ 1）可知不等式可化为 ，根据函数 在 的单调性，可求得函数 在 上的值域，从而求出所实数 的范围；（ 3）由（ 1）可知函数 的单调区间，可将区间 分 与两种情况进行讨论，根据函数 的单调性及值域，分别建立关于 ， 的方程组，由方程组解的情况，从而求出实数 的取值范围 . 试题：（ 1）增区间 , 减区间 2分 （ 2） 在 上恒成立即 在 上恒成立 易证，函数 在 上递减，在 上递增 故当 上有 故 的取值范围为 5分 （ 3） 或 当 时， 在 上递增， 即 即方程 有两个不等正实数根 方程化为： 故 得 10分 当 时 在 上递减 即 （ 1） -（ 2）得 又 ， 13分 综合 得实数 的取值范围为 14分 考点： 1.分段函数； 2.函数的单调性； 3.分类讨论思想 .