2013届北京市北师特学校高三第四次月考理科数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2013届北京市北师特学校高三第四次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 =（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据已知条件，由于根据二次函数的性质可知，集合，而结合圆的性质可知，满足方程的数 y的取值结合，则 故可知答案：为 D. 考点：集合的交集 点评：解决的关键是对于二次函数以及圆的性质的熟练掌握，属于基础题。 定义在 R上的函数 ，则 的图像与直线 的交点为 、 、 且 ，则下列说法错误的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据题意解方程 f（ x） =1，可得 x1 =1， x2 =2， x3 =3，检验各个选项，可得结论。解：定义在 R

2、上的函数 ，则 f（ x）的图象与直线 y=1的交点为 （ x1， y1）、（ x2， y2）、（ x3， y3）且 x1 x2 x3，解方程 f（ x） =1，可得 x1 =1，x2 =2， x3 =3，故选项 A、 B、 C都正确，只有选项 D不正确，故选 D 考点：函数的图象和性质 点评：本题主要考查函数的图象和性质，求出 x1 =1， x2 =2， x3 =3，是解题的关键，属于基础题 外接圆的半径为 ，圆心为 ，且 ， ，则 等于 A B C D 答案： C 试题分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到 ，得到 BC为直径，故 ABC为直角三角形，求出三边长可得 ACB 的值，利用

3、两个向量的数量积的定义求出 的值 .因为 ，则可知 ， O，B， C共线， BC为圆的直径，如图 AB AC， =1， G故选 C. 考点：向量的几何运用 点评：本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识求出 ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键 . 已知双曲线 ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 两点， 为坐标原点 .若 ，则双曲线的离心率为 A B C D 答案： D 试题分析： 根据题意可得 |MF|=|OF|，再利用双曲线的几何性质表示出 a， b， c的关系式，进而求得 a和 c的关系，则双曲线离心率可得解：设右焦点为 F，由条件可得，|M

4、F|=|OF|，即可知为 故选 D. 考点：双曲线的几何性质 点评：本题主要考查了双曲线的简单性质考查了直线与圆锥曲线的位置关系综合考查了学生基础知识的掌握和理解 已知正项数列 中， ， ， ，则 等于 A 16 B 8 C D 4 答案： D 试题分析：根据题意，由于正项数列 中， ， ，那么根据递推关系可知， 故可知答案：为 D. 考点：数列的项的求解。 点评：关于数列的递推式的运用，主要是通过已知的前两项来得到下一项，依次类推得到结论，属于基础题。 方程 的曲线是（ ） A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线 答案： C 试题分析：根据题意，由于方程，表示的为两条直线的方程

5、的积，因此可知表示的为两条直线，故选 C. 考点：曲线的方程 点评：解决的关键是将已知方程变形为我们所学的方程来判定形状，属于基础题。 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为 ，等腰三角形的腰长为 ，则该几何体的体积是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： 由三视图知，此组合体上部是一个圆锥，下部是一个半球，半球体积易求，欲求圆锥体积需先求圆锥的高，再由公式求体积，最后再想加求出组合体的体积。此几何体上部为一圆锥，下部是一个半球， ,由于半球的半径为 1，故其体积为,圆锥的高为 ，故此圆锥的体积为此几何 体的体积是 故选 A 考点：三视图求几何体的面

6、积、体积 点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积三视图的投影规则是： “主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等 ”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视 已知复数 ，则 的虚部为（ ） A 1 B C D 答案： A 试题分析：根据题意，复数 ，根据复数的虚部的概念可知答案：为 1，故选 A. 考点：复数的运算 点评：解决的关键是根据复数相等来得到 z，进而求解得到，属于基础题。 填空题 对任意 ，函数

7、 满足 ，设，数列 的前 15项的和为 ，则 答案： 试题分析：通过 推出数列的第 n项与第 n+1项的嘎然后 找出规律，求出 a15，然后解出 f（ 15） =的值。解：因为，故有，即数列 an任意相邻两项相加为常数 ，因此可知故可知为 考点：数列与函数的关系 点评：本题是中档题，考查数列与函数的关系，数列的递推关系式，推出数列中的规律是 解题的关键，注意验证数列的项是否在数列中，考查计算能力 如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图 (其中 m为数字 0 9中的一个 )， 去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1、 a2，则 a1、 a

8、2的大小关系是 _(填 a1 a2 ， a2 a1， a1 a2) 答案： 试题分析：由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，根据样本平均数的计算公式，代入数据可以求得甲和乙的平均分，把两个平均分进行比较，得到结果。由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分：故有 考点：茎叶图 点评：本题考查茎叶图：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫茎叶图 已知 若 的最大值 为 8，则k=_

9、 答案： 试题分析：由目标函数 z=x+3y的最大值为 8，我们可以画出满足条件的平面区域，根据目标函数的式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数 k的方程组，消参后即可得到 k的取值，如下图，联立方程组 y=x,2x+y+k=0,得到考点：线性规划的运用 点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去 x， y后，即可求出参数的值 如图， 是半径为 的圆 的直径，点 在 的延长线上， 是圆的切线，点 在直径 上的射影是 的中点，则 = 答案： _

10、试题分析：先根据点 A在直径 BC上的射影是 OC的中点得 AOP=60；再结合 OA=OB求出 ABP；最后在 Rt AOP求出 PA，结合切割线定理即可求出PB PC解：由条件点 A在直径 BC 上的射影 E是 OC的中点易得 OE= OA； AOP=60；又由 OA=OB ABP=30在 Rt AOP中，因为 OA=2， AOP=60可得 AP=2 ，由切割线定理可得 PB PC=AP2=12故答案：为：30， 12 考点：圆、相似三角形 点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用属于基础题解决这类题目的关键在于对性质的熟练掌握以及灵活运用 在 中，若 ，则

11、答案： 试题分析：根据题意，由于 中，若 ，那么根据正弦定理可知有 ,那么利用内角和定理，可知角 C为 ，故答案：为 。 考点：正弦定理和余弦定理的运用 点评：解决的关键是分析已知中的边和角，先用正弦定理，再用内角和定理得到，属于基础题。 已知点 在不等式组 表示的平面区域内，则点 到直线 距 离的最大值为 _ 答案： 试题分析：解：先作出不等式组 表示的平面区域与 x=2的直线如图 由图知点 P（ 2， t）到直线 3x+4y+10=0距离最大的点的坐标是 A（ 2， 1），最大值为 故填写 4. 考点：简单线性规划的应用 点评：本题考查简单线性规划的应用，利用图形求一线上的点到另一个线的最

12、大距离，求解此类题的关键是做出图形，由图形作出判断求出点再代入公式求最值本题易因为理解失误出错，如不理解 P（ 2， t）即是直线 x=2上的一个点 解答题 （本小题共 13分） 已知 ， （ ）求 的值； （ ）求函数 的值域 答案： (1) (2) 试题分析：解：（ ）因为 ，且 ， 所以 ， 因为 所以 6 分 （ ）由（ ）可得 所以 ， 因为 ，所以，当 时， 取最大值 ； 当 时， 取最小值 所以函数 的值域为 13 分 考点：三角函数的性质 点评：该试题是常规的试题，主要是通过三角恒等变化来得到化简，然后结合三角函数的性质来得到求解，属于基础题。 （本小题共 13分） 如图所示，

13、正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ,点E为 的中点。 （ ）求证： ( ) 求证： （ ）在线段 AB上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由。 答案： (1)根据三角形的中位线，那么可以 / ，然后结合线面平行的判定定理可知结论。 (2)结合已知中正方形的心智，以及 ，结合线面垂直的性质定理得到线线垂直。 (3) 试题分析：（ ） , 点 E为 的中点 ,连接 。 的中位线 / 2 分 又 4 分 （ II） 正方形 中 , 由已知可得： ， .6 分 , .7 分 .8 分 （ ）由题意可得： ,以点 D为原点， DA,DC,DD1所在直线分别为 x

14、轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 9分 设 10分 设平面 的法向量为 则 得 11分 取 是平面 的一个法向量，而平面 的一个法向量为 12分 要使二面角 的大小为 而 解得： 当 = 时，二面角 的大小为 13分 考点：空间中的线面平行和线线垂直以及二面角的求解 点评：解决平行和垂直的证明，一般要用到判定定理和性质定理，然后结合空间向量法来求解二面角，属于基础题。 （本 小题共 13分） 数列 中， ， ，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)设 ，求 答案： (1) (2) 试题分析：解： (1) 为常数列， an是以 为首项的等差数列， 设 ， , ， (2)

15、，令 ，得 当 时， ；当 时， ；当 时， 当 时， ， 当 时， 考点：等差数列的求和 点评：解决数列的求和要注意通项公式的特点，然后回归常规的公式来求解运算，属于基础题。 （本小题共 13分） 已知函数 （ ） . （ ）求函数 的单调区间 ; ( ）函数 的图像在 处的切线的斜率为 若函数，在区间（ 1， 3）上不是单调函数，求 的取值范围。 答案：（ 1）当 f(x)的单调递增区间为（ 0， ） ,单调递减区间为（ , 当 f(x)的单调递增区间为（ , ,单调递减区间为（ 0， ） (2) 试题分析：解：（ I） 2 分 当 即 f(x)的单调递增区间为（ 0， ） ,单调递减区间

16、为（ , 4 分 当 ， 即 f(x)的单调递增区间为（ , ,单调递减区间为（ 0， ） 6 分 （ II） 得 8 分 +3 9 分 10 分 11 分 12 分 即： 13 分 考点：导数在研究函数中点运用 点评：解决该试题关键是利用导数的符号，求解函数单调性，并能结合函数的单调性，得到导数是恒大于等于零或者是恒小于等于零来得到参数的范围。属于基础题。 （本小题共 14分） 已知椭圆 C： ，左焦点 ，且离心率 ( ）求椭圆 C的方程； ( )若直线 与椭圆 C交于不同的两点 （ 不是左、右顶点），且以 为直径的圆经过椭圆 C的右顶点 A. 求证：直线 过定点 ,并求出定点的坐标 . 答

17、案： (1) (2) 直线 过 定点，且定点的坐标为 试题分析：解：（ ）由题意可知： 1 分 解得 2 分 所以椭圆的方程为： 3 分 （ II）证明：由方程组 4 分 整理得 .5 分 设 则 .6 分 由已知， 且椭圆的右顶点为 7 分 8 分 即 也即 10 分 整理得： 11 分 解得 均满足 12 分 当 时，直线的 方程为 ，过定点（ 2， 0）与题意矛盾舍去 13 分 当 时，直线的 方程为 ,过定点 故直线 过定点，且定点的坐标为 .14 分 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：解决的关键是熟练的根据椭圆的性质来得到椭圆的方程，同时能结合联立方程组的思想来，韦达定理和垂直关系，

18、得到直线方程，进而求解。属于基础题。 （本小题共 14分） 在单调递增数列 中， ，不等式 对任意 都成立 . （ ）求 的取值范围； （ ）判断数列 能否为等比数列？说明理由； （ ）设 ， ，求证：对任意的 ，. 答案： (1) (2) 用反证法证明：假设数列 是公比为 的等比数列 , 因为 单调递增，所以 .因为 ， 都成立 ,从而加以证明。 (3)通过前几项归纳猜想，然后运用数学归纳法加以证明。 试题分析：（ ）解：因为 是单调递增数列， 所以 ， . 令 ， ， ， 所以 . 4 分 （ ）证明：数列 不能为等比数列 . 用反证法证明： 假设数列 是公比为 的等比数列， ， . 因为 单调递增，所以 . 因为 ， 都成立 . 所以 ， 因为 ，所以 ，使得当 时， . 因为 . 所以 ，当 时， ，与 矛盾，故假设不成立 .9 分 （ ）证明：观察： ， ， ， ，猜想： . 用数学归纳法证明： （ 1）当 时， 成立； （ 2）假设当 时， 成立； 当 时， 所以 . 根据（ 1）（ 2）可知，对任意 ，都有 ，即 . 由已知得， . 所以 . 所以当 时， . 因为 . 所以对任意 ， . 对任意 ，存在 ，使得 ， 因为数列 相关试题 2013届北京市北师特学校高三第四次月考理科数学试卷（带）