2013届山西省太原市第五中学高三4月月考文科数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2013届山西省太原市第五中学高三 4月月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 , ,则 的真子集个数为 ( ) A 5 B 7 C 31 D 3 答案： D 试题分析：因为 = ，= ，所以， =0,1,2其真子集有 =7个，故选 B。 考点：本题主要考查函数的定义域、值域，集合的运算，子集的概念。 点评：小综合题，这类题目较多地出现在高考题中。求函数的定义域，往往要考虑偶次根式、分式分母、对数的真数等。 已知数列 满足： ，定义使 为整数的叫做希望数，则区间 1， 2013 内所有希望数的和 M=（ ） A 2026 B 2036 C 32046 D 2048 答案： A 试题

2、分析： = ，（ n N*）， a1 a2 a3a k= ， 又 a1 a2 a3a k为整数 k+2必须是 2的 n次幂（ n N*），即 k=2n-2 k 1， 2013内所有的幸运数的和 M=（ 22-2） +（ 23-2） +（ 24-2） + （ 210-2） = -29=2026，故选 A。 考点：本题主要考查换底公式、累乘法及等比数列前 n项和公式。 点评：中档题，作为新定义问题，关键是理解题意。本题综合性较强，对考查学生综合应用数学知识的能力有较好的考查。 偶函数 满足 ，当 时 , ，则关于 的方程 在 上解的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析

3、： f（ x-1） =f（ x+1） f（ x） =f（ x+2）， 原函数的周期 T=2，又 f（ x）是偶函数， f（ -x） =f（ x）， 又 x 0， 1时， ，函数的周期为 2， 原函数的对称轴是 x=1，且 f（ -x） =f（ x+2）。 设 y1=f(x) ， y2= ，方程 根的个数，即为函数 y1=f(x) ， y2= y2=的图象交点的个数 由以上条件，可画出 y1=f(x) ， y2= 的图象， 当 x= 时， y1 y2，当 x=1时， y1 y2， 故在（ ， 1）上有一个交点 结合图象可得在 0， 3上 y1=f（ x）， y2= 共有 4个交点， 在 0， 3

4、上，原方程有 4个根，故选 D 考点：本题主要考查函数的奇偶性、周期性、单调性，函数的图象，函数零点的概念，一次函数、指数函数的图象和性质。 点评：难题，本题综合考查函数的奇偶性、周期性、单调性，函数的图象，函数零点的概念， 一次函数、指数函数的图象和性质。由已知条件确定函数的性质是解题的关键。 已知实数 构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（ ） A B C 或 D 或 7 答案： C 试题分析：因为 构成一个等比数列，所以 ，当 m=6时，椭圆的离心率为 ；当 m=-6时，双曲线的离心率为， 故选 C。 考点：本题主要考查等比中项，圆锥曲线的几何性质 点评：小综合题，首先确定 m的值，

5、注意根据焦点所在坐标轴。 长方体 的各个顶点都在表面积为 的球 的球面上，其中 ，则四棱锥 的体积为（ ） A B C D 3 答案： A 试题分析：因为 ，故可设 AB、 AD、 AA1分别为 2x， x，x，（ x 0） 由题意可知，长方体 ABCD-A1B1C1D1的体对角线等于其外接球 O 的直径，而由S=4R2=16， 得 R=2，即 2R=4，故 4= ，解得， x= ，故三边长分别为 2 ， ， 。 即四棱锥 O-ABCD的底面为边长为 2 ， 的矩形，高为 四棱锥 O-ABCD的体积 V= 。故选 A。 考点：本题主要考查长方体、球、正四棱锥的几何性质。 点评：中档题，作为长方

6、体与外接球的问题，长方体的体对角线等于其外接球O 的直径是解决问题的关键。 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A右移 个单位 B右移 个单位 C左移 个单位 D左移 个单位 答案： A 试题分析：因为 ，所以其图象右移个单位可得 的图象，故选 A。 考点：本题主要考查正弦型函数图象的变换，诱导公式。 点评：简单题，函数图象的平移规律是 “左加右减，上加下减 ”。 函数 与 . 在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）答案： C 试题分析：两函数均为偶函数，图象关于 y轴对称，函数 在 x0时，为减函数，而 值域为 y|y -1,故选 C。 考点：本题主要考查函数的图象和性质。 点评

7、：简单题，解答此类问题，应从定义域、奇偶性、单调性、值域等入手。 数列 的首项为 3， 为等差数列且 ，若，则 （ ） A 0 B 3 C 8 D 11 答案： B 试题分析：因为 为等差数列， ，所以，数列的公差， ，而，所以， ，由 “累加法 ”可得， 3，故选B。 考点：本题主要考查等差数列的通项公式， “累加法 ”。 点评：简单题，先确定 的通项公式，进一步确定 ，利用累加法求解。 已知向量 、 的夹角为 ，且 ， ，则向量 与向量 2 的夹角等于（ ） A 150 B 90 C 60 D 30 答案： D 试题分析：因为向量 、 的夹角为 ，且 ， ， 所以 = =12， = ， ，

8、所故选 D。 考点：本题主要考查平面向量模的概念，数量积及夹角计算。 点评：中档题，涉及平面向量模的计算问题，往往要 “化模为方 ”，将实数运算转化成向量的数量积。 以下有关线性回归分析的说法不正确的是 ( ) A通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心 B用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使 最小的 a,b的值 C相关系数 r越小，表明两个变量相关性越弱 D 越接近 1，表明回归的效果越好 答案： C 试题分析：根据回归分析的基础知识， “线性回归直线经过样本的中心 ”，“最小二乘法求回归直线方程，是寻求使 最小的 a,b的值 ”，“ 越接近 1，表明回归的效果越好 ”均是正确的说法。

9、故选 C。 考点：本题主要考查线性回归方程，独立性假设检验。 点评：简单题，本题综合考查线性回归方程，独立性假设检验等基础知识。 “a = 1”是 “复数 （ ， i为虚数单位）是纯虚数 ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：因为 a = 1时， =2i，所以其为纯虚数；反之，复数（ ， i为虚数单位）是纯虚数时， ，所以， a=1，故 “a = 1”是 “复数 （ ， i 为虚数单位）是纯虚数 ”的充要条件，选 C。 考点：本题主要考查充要条件的概念，复数的概念。 点评：简单题，纯虚数要求复数的实部为 0，虚部不为 0 。

10、 填空题 下列四个命题： 直线 与圆 恒有公共点； 为 ABC的内角，则 最小值为 ； 已知 a， b是两条异面直线，则过空间任意一点 P都能作并且只能作一条直线与 a， b都垂直； 等差数列 中， 则使其前 n项和 成立的最大正整数为 2013; 其中正确命题的序号为 。（将你认为正确的命题的序号都填上） 答案： (1)(3) 试题分析： 中，圆心（ ）到直线 的距离为，所以直线与圆恒有公共点，正确； 中， = 所以 不正确； 中，根据异面直线所成的角的定义及直线的平移，异面直线的公垂线唯一， 正确； 中， a1006和 a1007异号 a10060， , a1+an0 a1006+a100

11、70, a1006+a1007=a1+a2012， a1+a20130, n最大为 2012, 不正确。故答案：为（ 1）（ 3） 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，三角函数和角公式，异面直线的关系，等差数列的求和公式。 点评：中档题，本题综合性较强，考查知识点涉及直线与圆的位置关系，三角函数和角公式，异面直线的关系，等差数列的求和公式。三角函数的图象和性质。 已知函数 在区间 上是减函数，那么 的最大值为 _； 答案： 试题分析：函数 f（ x） =x3+bx2+cx+d在区间 -1， 2上是减函数， f（ x） =3x2+2bx+c0在区间 -1， 2上恒成立 ， 只要 即 成立即可

12、当过 A点时， b+c有最大值 A(- ， -6)，故 b+c有最大值为 - 。 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性，简单线性规划的应用。 点评：中档题，函数在某区间为增函数，则导数值非负；函数在某区间为减函数，则导数值非正。 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为 答案： 试题分析： 的斜率为 。设切点为（ x,y），则 4，所以x=1， y=1,直线 l的方程为 。 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线垂直的条件。 点评：简单题，思路明确，切线的斜率是函数在切点的导数值。两直线垂直，直线的斜率之积为 -1，或一直线斜率为 0，另一直线斜率不存在。 若某空间几何体的三视图如

13、下图所示，则该几何体的体积是_ 答案： 试题分析：观察三视图可知，这是一个四棱锥，底面直角梯形直角边长为 2，上下底长分别为 1,2，几何体高为 2，所以几何体体积为 。 考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。三视图视图过程中 ，要注意虚线的出现，意味着有被遮掩的棱。 解答题 在 ABC中， 所对边分别为 ，且满足（ ）求 的值； （ ）求 的值 . 答案：（ I） ；（ II）原式 = . 试题分析：（ I） 1分 又 即 3分 又 或 由余弦定理得 6分 （ II）

14、= = 8分 = 10分 原式 = 12分 考点：本题主要考查平面向量的数量积，余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式。 点评：典型题，属于常见题型，通过计算平面向量的数量积，得到三角形边角关系，利用余弦定理进一步求得边长。（ II）根据已知条件，灵活运用三角公式化简、求值。 某电视台举办了 “中华好声音 ”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的 40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。下面是根据这 40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图： 赛制规定：参加复赛的 40名选手中，获得的支持票数排在前 5名的选

15、手可进入决赛，若第 5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于 95票的选手在决赛时拥有 “优先挑战权 ”。 1、从进入决赛的选手中随机抽出 3名，求其中恰有 1名拥有 “优先挑战权 ”的概率； 2、电视台决定，复赛票数不低于 85票的选手将成为电视台的 “签约歌手 ”，请填写下面的 22列联表，并判断 “能否在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为成为 签约歌手 与选择的导师有关？ 甲班 乙班 合计 签约歌手 末签约歌手 合计 下面临界值表仅供参考： P（ K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841

16、5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： K2= ,其中 答案：（ ） . （ ）因此在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为成为 签约歌手 与选择的导师有关 . 试题分析：（ ）进入决赛的选手共 6名，其中拥有 “优先挑战权 ”的选手共 3名 . 2分 为拥有 “优先挑战权 ”的选手编号为 1， 2， 3，其余 3人编号为 A， B， C. 被选中 3人的编号所有可能的情况共 20种，列举如下： 123， 12A， 12B， 12C， 13A， 13B， 13C， 1AB， 1AC， 1BC， 23A， 23B， 23C， 2AB， 2AC， 2BC， 3AB， 3A

17、C， 3BC， ABC， 4分 其中拥有 “优先挑战权 ”的选手恰有 1名的情况共 9种，如下： 1AB， 1AC， 1BC， 2AB， 2AC， 2BC， 3AB， 3AC， 3BC， 所求概率为 . 6分 （ ） 列联表： 甲班 乙班 合计 签约歌手 3 10 13 未签约歌手 17 10 27 合计 20 20 40 9分 因此在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为成为 签约歌手 与选择的导师有关 . 12分 考点：本题主要考查茎叶图，古典概型概率的计算， “卡方检验 ”。 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。古典概型概率的计算问

18、题，关键是明确基本事件数，往往借助于 “树图法 ”，做到不重不漏。 “卡方检验 ”问题，往往直接套用公式加以计算，对照 “定值 ”比较，作出判断。 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中 ，平面 ， ， ， 求证： ； (2)设点 在棱 上， ，若 平面 ，求 的值 . 答案： (1)证明略；（ 2） 。 试题分析：（ 1） DAB=90， AD=1， AB= ， BD=2， ABD=30， BC AD DBC=60， BC=4，由余弦定理得 DC=2 ， BC2=DB2+DC2， BD DC， PD 面 ABCD， BD PD， PDCD=D， BD 面 PDC， PC在面 PDC 内， BD

19、PC。 （ 2）在底面 ABCD内过 D作直线 DF AB，交 BC 于 F， 分别以 DA、 DF、 DP 为 x、 y、 z轴建立如图空间坐标系， A（ 1， 0， 0）， B（ 1， ， 0）， P（ 0， 0， a） C、（ -3， ， 0）， =（ -3， ， -a）， =（ -3， ， -a）， =（ 0， 0， a） +（ -3， ， -a） =（ -3， ， a-a） , =（ 0， ， 0）， =（ 1， 0， -a）， 设 =（ x， y， z）为面 PAB的法向量，由 =0， 得 y=0，由 =0，得 x-az=0，取 x=a， z=1， =（ a， 0， 1）， 由 D

20、E 面 PAB得： ， =0， -3a+a-a=0， = 。 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，（ 2）利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。 已知椭圆的两个焦点 ， ，过 且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于 两点，如果 的周长等于 8。 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若过点 的直线 与椭圆交于不同两点 ，试问在 轴上是否存在定点 ，使 恒

21、为定值？若存在，求出点 的坐标及定值 ;若不存在，说明理由。 答案：（ 1) ；（ 2） 定值 试题分析：（ I）由题意知 c= ， 4a=8， a=2， b=1 椭圆的方程为 。 （ II）当直线 l的斜率存在时，设其斜率为 k，则 l的方程为 y=k（ x-1） 由 消去 y得（ 4k2+1） x2-8k2x+4k2-4=0 设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2） 则由韦达定理得 x1+x2= ， x1x2= 则 =(m-x1， -y1)， =(m-x2， -y2) =(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m（ x1+x2） +x1x2+y1y2 =m2-m（ x1+x2）

22、+x1x2+k2（ x1-1）（ x2-1） = = 要使上式为定值须 =4，解得 m= ， 为定值 当直线 l的斜率不存在时 P(1， )， Q(1， - )由 E( ， 0)可得 =( ， - )， =( ， ) = 综上所述当 时， 为定值 。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。 点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和 a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（ 2）推理直线斜率的两种情况，易于出现遗漏现象。 设函数 ( ) 当 时，求函数 的极值； （ ）当 时，

23、讨论函数 的单调性 . （ ）若对任意 及任意 ，恒有成立，求实数 的取值范围 . 答案： ( ) 无极大值 . （ ）当 时， 在 上是减函数； 当 时， 在 和 单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 和 单调递减，在 上单调递增； （ ） 试题分析： ( )函数的定义域为 . 当 时， 2分 当 时， 当 时， 无极大值 . 4分 （ ） 5分 当 ，即 时， 在定义域上是减函数； 当 ，即 时，令 得 或 令 得 当 ，即 时，令 得 或令 得 综上，当 时， 在 上是减函数； 当 时， 在 和 单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 和 单调递减，在 上单调递增；8分 （ ）由（ ）知，当 时， 在 上单减， 是最大值， 是最小值 . 10分 而 经整理得 ，由 得 ，所以 12分 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题，不等式的解法。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的最值之间的差，从而利用 “分离参数法 ”又转化成函数的最值问题。涉及对数函数，要特别注意函数的定义 域。