2014届上海市十三校高三年级第二次联考文科数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2014届上海市十三校高三年级第二次联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 、 是定点，且均不在平面 上 ,动点 在平面 上 ,且 ，则点 的轨迹为（ ） A圆或椭圆 B抛物线或双曲线 C椭圆或双曲线 D以上均有可能 答案： D 试题分析：以 为高线， 为顶点作顶角为 的圆锥面，则 点就在这个圆锥面上，用平面 截这个圆锥面所得截线就是点 的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选 D. 考点：圆锥曲线的性质 . 若 ,且 则下列结论正确的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：考察函数 ，首先它是偶函数，其次在 时，与 都是增函数，且均不小于 0，因此可证 在 上也是增函

2、数 .由 得 ，即 ， ，选 D. 考点：函数的单调性与奇偶性 . 函数 则函数 是（ ） A奇函数但不是偶函数 B偶函数但不是奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数 答案： A 试题分析：当 时， ， ， ，当 时， ，由数学归纳法知对任意的 ，有 ，同理当 时， ，因此的定义域是 且不可能是偶函数，由于 是奇函数，假设是奇函数，则 ，即 也是奇函数，因此对任意的 ，有 是奇函数，本题选 A. 考点：数学归纳法，函数的奇偶性 . 集合 ，若 “ ”是 “ ”的充分条件，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意 ， 时，方程 的两根为 和， ，

3、时 . 考点：解不等式，充分必要条件 . 填空题 方程 的解是 答案： 试题分析：原方程可变为 ，即 ， ，解得 或 ，又 ， 考点：解对数方程 对于非空实数集 ，定义 设非空实数集现给出以下命题： （ 1）对于任意给定符合题设条件的集合 必有 （ 2）对于任意给定符合题设条件的集合 必有 ； （ 3）对于任意给定符合题设条件的集合 必有 ； （ 4）对于任意给定符合题设条件的集合 必存在常数 ，使得对任意的，恒有 以上命题正确的是 答案：（ 1）（ 4） 试题分析：（ 1）对任意 ，根据题意，对任意 ，有 ，因为，所以对任意的 ，一定有 ，所以 ，即 ，（ 1）正确；（ 2）如 ，则 ，但

4、，（ 2）错误；（ 3）如如 ，则 ，但 ，（ 3）错误；（ 4）首先对任意集合 由定义知 一定有最小值，又由（ 1） ，设的最小值分别为 ，即 ， ，只要取 ，则对任意 的 ， ，即 ，（ 4）正确，故（ 1）（ 4）正确 考点： 若集合 ,若集合 中的元素个数为 ,则实数的取值范围为 答案： 试题分析： 时， ， 时， ， 时， 时， ， 时，由 得 ，当 时，因为集合 中只有 4个元素，故 . 考点：集合的元素，不等式恒成立问题 . 给定平面上四点 满足 ，则面积的最大值为 答案： 试题分析： 由已知 ，得 ，由余弦定理可得，从而 中边 边上的高为 ，由 知点 在以 为圆心， 4为半径的

5、圆上， 到直线 的距离最大值为 ， 面积的最大值为 考点：向量的数量积，三角形面积最大值 某高中有甲乙等 5名同学被一所大学自主招生录取后 ,大学提供了 4个学院给这 5名学生选择假设选择每个学院是等可能的，则这 5人中甲乙进同一学院，且每所学院都有学生选择的概率是 答案： 试题分析：这是一个古典概型， 5名学生，选择 4个学院，共有 种可能的选择，而甲乙两人进同一学院，且每个学院都有人进的方法数为 ，因此所求概率为 考点：古典概型 若关于 的方程 在区间 上有两个不同的实数解，则的取值范围 为 答案： 试题分析：原方程可变形为 ， ， ，易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 方程时，有

6、 ，即 考点：方程解的个数问题，与函数的单调性或函数图象的交点 某公司推出了下表所示的 QQ在线等级制度，设等级为 级需要的天数为， 等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 6 60 48 2496 则等级为 级需要的天数 _ 答案： 试题分析：由表格知 ， 考点：归纳推理，数列的通项公式 已知函数 ，则 答案： 试题分析：由题意 ，令 ，解得 ， 考点：行列式的定义，反函数值 若实数 满足 ，则 的最小值为 答案： 试题分析：由基本不等式得 ，当且仅当 ，即 ， 时等号

7、成立，故所求最小值为 4 考点：基本不等式与最小值 设 （ i为虚数单位），则 答案： 试题分析：由题意， ， 考点：复数的运算与复数的模 已知 则 的值为 答案： 试题分析：由题意有 ，解得 ， 原式 考点：函数的定义域 除以 5的余数是 答案： 试题分析：，它除以 5余数为 3 考点：二项式定理，整除的知识 若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为 答案： 试题分析：由题意 ， 考点：三视图与体积 等差数列 的前 项和为 ，则 答案： 试题分析： ， 考点：等差数列的前 项和，数列的极限 解答题 设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为 的一个实

8、心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？ 答案： 试题分析：本题实质是体积问题，我们知道题中球取出前后水的体积是不变的，通过开始时的圆锥体积减去球的体积得出水的容积，球取出后，水变成了圆锥，圆锥的高就是我们要求的水面高度 . 试题：如图为圆锥轴截面 ，球心为 ，可得 （ 3分） （ 5分） 设取出球后，水面 高为 ，则 （ 8分） 因为 （ 10分） 所以 （ 12分） 考点：圆锥的体积与圆锥的性质 . 对于函数 ，若在定义域存在实数 ，满足 ，则称 为“局部奇函数 ” （ 1）已知二次函数 ，试判断 是否为 “局部奇函数 ”？并说明理由； （ 2）设 是定义在 上的 “局 部奇函

9、数 ”，求实数 的取值范围 答案：（ 1）是 “局部奇函数 ”；（ 2） . 试题分析：（ 1）本题实质就是解方程 ，如果这个方程有实数解，就说明 是 “局部奇函数 ”，如果这个方程无实数解，就说明 不是 “局部奇函数 ”，易知 有实数解，因此答案：是肯定的；（ 2）已经明确 是 “局部奇函数 ”，也就是说方程 一定有实数解，问题也就变成方程 在 上有解，求参数 的取值范围，又方程可变形为 ，因此求 的取值范围，就相当于求函数 的值域，用换元法（设 ），再借助于函数 的单调性就可求出 . 试题： (1) 为 “局部奇函数 ”等价于关于 的方程 有解 即 （ 3分） 有解 为 “局部奇函数 ”（

10、 5分） (2)当 时 , 可转化为 （ 8分） 因为 的定义域为 ,所以方程 在 上有解 ,令,（ 9分） 则 因为 在 上递减 ,在 上递增 , （ 11分） （ 12分） 即 （ 14分） 考点：新定义概念，方程有解求参数取值范围问题 . 已知 、 、 为正实数， （ 1）当 、 、 为 的三边长，且 、 、 所对的角分别为 、 、若 ，且 求 的长； （ 2）若 试证明长为 、 、 的线段能构成三角形，而且边 的对角为 答案：（ 1） 2；（ 2）见 . 试题分析： (1)本题属于解三角形问题，它是 “已知两边及一边所对的角，求第三边 ”的问题，解决这个问题可以有两种方法，一种是先用正

11、弦定理求出已知两边所对的角中未知的一角，从而可求得第三角，然后用余弦定理求出第三边，也可以直接用余弦定理列出待求边的方程，通过解方程求出第三边；（ 2）首先要证明长为 、 、 的线段能构成三角形，即证 ，即证，而这个不等式通过已知条件，再利用 易得，其次再由余弦定理很快可得 试题：（ 1）解：由 （ 3分） （ 5分） （ 2）证：由 ，可得 （ 6分） 所以 也就是 （ 9分） 因此长为 的线段能构成三角形，不妨记为 。 在 中，由余弦定理可设 （ 11分） 即 又 ，由 的单调性可得 （ 14分） 所以边 的对角为 . 考点：（ 1）余弦定理；（ 2）三条线段构成三角形的条件 已知抛物线

12、(1)若圆心在抛物线 上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标； (2)抛物线 的焦点为 ,若过 点的直线与抛物线相交于 两点 ,若,求直线 的斜率； (3)若过 点且相互垂直的两条直线 ,抛物线与 交于点 与 交于点 证明：无论如何取直线 ,都有 为一常数 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）证明见 试题分析：（ 1）本题考查抛物线的定义，由于直线 是已知抛物线的的准线，而圆心在抛物线上的圆既然与准线相切，则它必定过抛物线的焦点，所以所有的圆必过抛物线的焦点，即定点 ；（ 2）这是直线与抛物线相交问题，设如设 ， ，则 ，两式相减有，则 ，下面就是要求 或，

13、为此，我们设直线 方程为 ，把它与抛物线方程联立方程组，消去 ，就可得到关于 的方程，可得 ， ，只是里面含有 ，这里解题的关键就是已知条件 怎样用？实际上有这个条件可得，这样与刚才的 ， 合起来就能求出 ；（ 3）由于直线过焦点 ，因此弦长 可用抛物线的定义来求，设 方程为 ，同理 ，直线计算，可证结论 试题： (1) 由定义可得定点 (1,0);（ 4分） (2)设 ,由 ,得 （ 5分） 由方程组 ,得 得 （ 7分） 联立上述方程求得 : （ 9分） (3) 由 ,得 （ 11分） 则 ,（ 12分） 同理 : ,（ 14分） 因此 为常数（ 16分） 考点： (1)抛物线的定义；（

14、2）直线和与抛物线相交与向量的应用； (3)圆锥曲线综合问题 在数列 中， 且对任意的 成等比数列，其公比为 ， （ 1）若 ； （ 2）若对任意的 成等差数列，其公差为 求证： 成等差数列，并指出其公差； 若 ，试求数列 的前 项和 答案： (1) ;(2) ； 或 试题分析： (1)由于 ，因此 成等比数列，且公比为 4，故和易求；（ 2） 要证明 是等差数列，就是要证明 为常数，也就是要找到 与 的关系，我们从唯一的已知条件有 即，这就是 变形为 即由此就证得 ； 求数列 的前 项和 ，必须先求出通项 ，而 ，因此又应该求出 ，这时我们来看看已知 可得出什么？由 得 即 ，解得：或 ，从而可求得 ，于是可通过 是公差为 1的等差数列，求出 ，下面我们想办法通过 把 联系起来， ，于是，而再用 可得出 ，所以，那么 可求 试题：（ 1）因为 ，所以 （ 1分） 故 是首项为 1，公比为 4的等比数列， 所以 （ 4分） （ 2） 因为 成等差数列，所以 而 所以 （ 6分） 则 得 所以 所以 是等差数列，且公差 是等差数列，且公差为 1 （ 9分） 因为 所以 则由 ，解得： 或 。 （ 11分） (i) 当 时， ，所以 ，则 即 ，得，所以 则 所以 （ 13分） 则 ，故 ；（