2014届江苏省苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）理科数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2014届江苏省苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ， ，若 ，则 答案： 试题分析：因为 ，所以 , 因此 . 考点：集合运算 在平面直角坐标系 中，已知点 在圆内，动直线 过点 且交圆 于 两点，若 ABC的面积的最大值为 ，则实数 的取值范围为 答案： 试题分析：由题意得圆心 半径 因为点 在圆内，所以 ，解得设 到直线距离为 ,则 又，当且仅当 ，即时取等号，因此 ，即 或 综上实数 的取值范围为 . 考点：直线与圆位置关系 已知函数 ，若函数 恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围为 答案： 试题分析：由 求导得 ，故 在上单调增，

2、在 上单调减 ,且当 时，恒有 .又在 上单调增，在 上单调减 ,所以可作出函数的图像，如图 .由图可知，要使函数 恰有两个不同的零点，需或 或 ,即实数 的取值范围为 . 考点：利用导数研究函数图像 如图，在 ABC中， BO为边 AC上的中线， ，设 ，若，则 的值为 答案： 试题分析：因为 所以 .又 ，可设 从而 .因为 ，所以 . 考点：向量共线表示 已知正数 满足 ，则 的最小值为 答案： 试题分析：因为，当且仅当 即 时取等号，所以 的最小值为 9. 考点：基本不等式求最值 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则正整数= 答案： 试题分析：设等差数列 公差为 ，则 ，消去

3、得： 考点：等差数列通项公式及前 项和公式 已知 ， ，则 的值为 答案： 试题分析：因为 ，所以. 考点：两角和与差正切 从甲，乙，丙，丁 4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 答案： 试题分析：从甲，乙，丙，丁 4个人中随机选取两人共有 种基本事件，而甲乙两人中有且只有一个被选取包含 种基本事件，所以所求概率为. 考点：古典概型概率 四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD是边长为 2的正方形， PA 底面 ABCD且PA=4，则 PC与底面 ABCD所成角的正切值为 答案： 试题分析：因为 PA 底面 ABCD，所以 PC与底面 ABCD所成角的为 ，因此 考点：直线

4、与平面所成角 若复数 z = （ 为虚数单位），则 |z|= 答案： 试题分析：因为 所以 也可利用复数模的性质求解，即 考点：复数的模 已知双曲线 的离心率为 ，则实数 m的值为 答案： 试题分析：由题意得： 解得 解答此类问题，要明确对应关系，一是 二是双曲线中 考点：双曲线离心率 一个容量为 20的样本数据分组后，分组与频数分别如下： ， 2；， 3； ， 4； ， 5； ， 4； ， 2则样本在上的频率是 答案： 试题分析：因为样本在 上的频数共有 ，所以样本在上的频率是 .也可从反面求解，即样本不在 上的频数共有，所以样本在 上的频率是 . 考点：样本频率 执行如图所示的算法流程图，

5、则最后输出的 等于 答案： 试题分析：第一次循环， 第二次循环， 第三次循环，第四次循环， 第六次循环， 终止循环，输出 . 考点：流程图 设函数 ，若 ，则 的值为 答案： 试题分析：因为 ，所以 .因此 本题也可应用函数性质求解，因为 ，所以 考点：函数性质 解答题 甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为 ，且各次投篮的结果互不影响甲同学决定投 5 次，乙同学决定投中 1 次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过 5次 （ 1）求甲同学至少有 4次投中的概率； （ 2）求乙同学投篮次数 的分布列 和数学期望 答案：（ 1） ，（ 2） 1 2 3 4 5 ， .

6、 试题分析：（ 1）求概率问题关键在于明确题意，即事件是什么 . 甲同学至少有4次投中，指甲同学在 5次投篮中 “恰投中 4次 ”及 “恰投中 5次 ”这两个互斥事件 .其概率为 = （ 2）求概率分布，首先正确确定随机变量取值情况，本题 ，其次要正确确定随机变量对应各个概率，本题中 的概率，直接求时要注意，第 5次乙同学不论是否投中都停止，即第 5次不考虑乙同学是否投中 .也可间接求 ,利用各概率和为 1，即，这也是一种验证方法 . 试题：解：（ 1）设甲同学在 5次投篮中，有 次投中， “至少有 4次投中 ”的概率为 ，则 2分 = = 4分 （ 2）由题意 ， ， ， ， 的分布表为 1

7、 2 3 4 5 8分 的数学期望 10分 考点：概率分布，数学期望值 已知函数 ，若函数 的图象恒在 轴上方，求实数 的取值范围 答案： 试题分析：因为 ，所以 的最小值为 .因为函数 的图象恒在 轴上方，所以 因此有 ，解得 试题：解： 的最小值为 ， 5分 由题设，得 ，解得 10分 考点：绝对值不等式的应用 在平面直角坐标系 中，圆的参数方程为 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系求： （ 1）圆的直角坐标方程； （ 2）圆的极坐标方程 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）根据 消去参数 得圆的直角坐标方程：.（ 2）利用 代入 ，可得圆的极坐标方程为 试题：解

8、：（ 1）圆的直角坐标方程为 5分 （ 2）把 代入上述方程，得圆的极坐标方程为 10分 考点：参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间互化 已知矩阵 ， ，计算 答案： 试题分析：利用矩阵特征值 及其对应特征向量 性质： 进行化简 .先根据矩阵 M的特征多项式求出其特征值 ，进而求出对应的特征向量， .再将 分解成特征向量，即 ，最后利用性质求结果，即 试题：解：矩阵 M的特征多项式为 令 ，对应的一个特征向量分别为 ， 5分 令 ，得 10分 考点：矩阵特征值、特征向量及其应用 如图， 为四边形 的外接圆，且 ， 是 延长线上一点，直线 与圆 相切 求证： 答案：详见 试题分析：要证明 ，主

9、要利用相似三角形 .难点在找出对应的两个三角形 .由 ，可证 与 相似 .利用圆内接四边形性质得 ，再由等弦对等角得 ， ，从而 . 试题：证明：连结 是圆 的切线， 2分 ， 4分 圆 是四边形 的外接圆， 6分 8分 ， ， 10分 考点：圆内接四边形性质 已知函数 ，其中 m， a均为实数 （ 1）求 的极值； （ 2）设 ，若对任意的 ，恒成立，求 的最小值； （ 3）设 ，若对任意给定的 ，在区间 上总存在 ，使得成立，求 的取值范围 答案：（ 1）极大值为 1，无极小值（ 2） 3 - （ 3） 试题分析：（ 1）求函数极值，先明确定义域为 再求其导数为由 ，得 x = 1.分析导

10、数在定义区间符号正负，确定函数先增后减，所以 y = 有极大值为 1，无极小值（ 2）不等式恒成立问题，先化简不等式 化简不等式的难点有两个，一是绝对值，二是两个参量 可从函数单调性去绝对值，分析两个函数，一是，二是 .利用导数可知两者都是增函数，故原不等式等价于，变量分离调整为,这又等价转化为函数 在区间上为减函数，即 在 上恒成立继续变量分离得 恒成立，即 .最后只需求函数在 上最大值 ,就为 的最小值 .（ 3）本题含义为：对于函数 在 上值域中每一个值，函数 在 上总有两个不同自变量与之对应相等首先求出函数 在 上值域 ，然后根据函数 在 上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需

11、包含 .由 在 不单调得，由每段单调区间对应的值域都需包含 得 ， . 试题：（ 1） ，令 ，得 x = 1 1分 列表如下： x （ -， 1） 1 （ 1， +） + 0 - g(x) 极大值 g(1) = 1， y = 的极大 设各项均为正数的数列 的前 n项和为 Sn,已知 ，且对一切 都成立 （ 1）若 =1，求数列 的通项公式； （ 2）求 的值，使数列 是等差数列 答案：（ 1） an = 2n-1（ 2） = 0. 试题分析：（ 1）本题属于 “已知 求 ”,利用 化简关系式 . 因为 ，所以先分离 与 ，即 ，这是类等比，利用叠乘法得到 ，再利用 ，消去 得 .求数列 an

12、通项公式时，需讨论当 n = 1时是否满足 的情形 .（ 2）解答本题需注意逻辑关系，由数列 是等差数列得 = 0，这是一个必要条件，还需验证其充分性，即 = 0时，数列 是等差数列 .这可类似（ 1）的解答过程 . 试题：解：（ 1）若 = 1，则 ， 又 ， ， 2分 ， 化简，得 4分 当 时， - ，得 ， （ ） 6分 当 n = 1时， ， n = 1时上式也成立， 数列 an是首项为 1，公比为 2的等比数列， an = 2n-1（ ） 8分 （ 2）令 n = 1，得 令 n = 2，得 10分 要使数列 是等差数列，必须有 ，解得 = 0 11分 当 = 0时， ，且 当 n

13、2时， ， 整理，得 ， ， 13分 从而 ， 化简，得 ，所以 15分 综上所述， （ ）， 所以 = 0时，数列 是等差数列 16分 考点：已知 求 如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ， 是椭圆上不同的三点， ， ， 在第三象限，线段 的中点在直线上 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）求点 C的坐标； （ 3）设动点 在椭圆上（异于点 ， ， ）且直线 PB， PC分别交直线 OA于 ， 两点，证明 为定值并求出该定值 答案：（ 1）求椭圆方程一般用待定系数法 .本题已知椭圆过两点，列两个方程 ，解出 的值 ,（ 2）求点 的坐标，需列出两个方程 .一是点C在椭圆上，即 ，二是 的中

14、点在直线 上，即 .注意到在第三象限，舍去正值 .（ 3）题意明确，思路简洁，就是求出点 的坐标，算出 为定值 .难点是如何消去参数 .因为点 在直线 ： 上，所以可设 ， 选择 作为参数，即用 表示点的坐标 .由 三点共线，解得 ，同理解得 .从而有 ，这里主要用到代入化简 .本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示 为定值 . 试题分析：（ 1） ,（ 2） ,（ 3） . 试题：（ 1）由已知，得 解得 2分 所以椭圆的标准方程为 3分 （ 2）设点 ，则 中点为 由已知，求得直线 的方程为 ，从而 又 点 在椭圆上， 由 ，解得 （舍）， ，从而 5分 所以点 的坐标为 6分 （ 3）设

15、 ， ， 三点共线， ，整理，得 8分 三点共线， ，整理，得 10分 点 在椭圆上， ， 从而 14分 所以 15分 为定值，定值为 16分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系 一个圆柱形圆木的底面半径为 1m，长为 10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形 （如图所示，其中 O 为圆心， 在半圆上 ），设 ，木梁的体积为 V（单位： m3），表面积为 S（单位： m2） （ 1）求 V关于 的函数表达式； （ 2）求 的值，使体积 V最大； （ 3）问当木梁的体积 V最大时，其表面积 S是否也最大？请说明理由 答案：（

16、 1） ，（ 2） ，（ 3）当木梁的体积 V最大时，其表面积 S也最大 试题分析：（ 1）解答实际问题关键读懂题意 .本题所求体积为直四棱柱体积，体积为高与底面积的乘积 .高为圆木的长，底面积为梯形 的面积 .利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求关系式 . （ 2）先求出函数的导数 ，再根据导数为零时，定义区间导数值的正负讨论其单调性，研究其图像变化规律，确定其极值、最值 .本题函数先增后减，在 时，取极大值，也是最大值 .（ 3）本题实质是求表面积的最大值，并判断取最大值时 是否成立 .首先先建立表面积的函数关系式 .表面积由两部分组成，一是底面积，二是侧面积 . 底面积为梯形 的面积

17、，有两个 . 侧面积为梯形 周长与圆木的长的乘积 .再利用导数求出其最大值及取最大值时角的取值 . 试题：（ 1）梯形 的面积 = ， 2分 体积 3分 （ 2） 令 ，得 ，或 （舍） ， 5分 当 时， ， 为增函数； 当 时， ， 为减函数 7分 当 时，体积 V最大 8分 （ 3）木梁的侧面积 = ， = ， 10分 设 ， ， 当 ，即 时， 最大 12分 又由（ 2）知 时， 取得最大值， 所以 时，木梁的表面积 S最大 13分 综上，当木梁的体积 V最大时，其表面积 S也最大 14分 考点：利用导数求函数最值 如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形， 且 ， 是 的中点 （ 1）求证：

18、平面 平面 ； （ 2）求证： 平面 答案：（ 1）详见，（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）证明面面垂直，关键找出线面垂直 .因为侧面 为菱形， 且 ,所以 为正三角形，因而有 .又 ， 是的中点，所以有 ，这样就可得到 平面 ，进而可证平面平面 .（ 2）证明线面平行，关键找出线线平行 . 条件 “ 是 的中点 ”,提示找中位线 .取 中点 ，就可得 ，利用线面平行判断定理即可 .解决此类问题，需注意写全定理成立的所有条件，不可省略 . 试题：（ 1）证明： 为菱形，且 ， 为正三角形 2分 是 的中点， ， 是 的中点， 4分 ， 平面 6分 平面 ， 平面 平面 8分 （ 2）证明：连

19、结 ，设 ，连结 三棱柱的侧面 是平行四边形， 为 中点 10分 在 中，又 是 的中点， 12分 平面 ， 平面 ， 平面 14分 考点：面面垂直判定定理，线面平行判定定理 设函数 （ 1）求 的最小正周期和值域； （ 2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 且 ，求 和 答案：（ 1） , ,（ 2） , . 试题分析：（ 1）要研究三角函数的性质，首先先将三角函数化为型 .利用降幂公式 及倍角公式可将函数次数化为一次，再利用配角公式化为 ，然后利用基本三角函数图像求其最小正周期和值域，（ 2）解三角形问题，一般利用正余弦定理解决 .本题为已知两角及一对边，选用正弦定理 .由于是锐角 ，开

20、方时取正 . 试题：（ 1） = = 3分 所以 的最小正周期为 ， 4分 值域为 6分 （ 2）由 ，得 为锐角， ， ， 9分 ， ， 10分 在 ABC中，由正弦定理得 12分 14分 考点：倍角公式，正余弦定理 设 ， 且 ，其中当 为偶数时，；当 为奇数时， （ 1） 证明：当 ， 时， ； （ 2）记 ，求 的值 答案：（ 1）详见，（ 2） . 试题分析：（ 1）利用组合数性质 进行化简 .根据奇偶性，对 进行分类讨论，这不增加难度，仅是便于表示 . ,规律清晰，易于归纳（ 2）利用组合数性质 进行化简 . = 再根据 得周期 ，从而 ， 试题：解：（ 1）当 为奇数时， 为偶数， 为偶数， ， ， ， = 当 为奇数时， 成立 5分 同理可证，当 为偶数时， 也成立 6分 （ 2）由 ，得 = = = 9分 又由 ，得 ， 所以 ， 10分 考点：组合数性质