2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（上海卷）.doc

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（上海卷） 选择题 是 “实系数一元二次方程 有虚根 ”的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 过圆 的圆心，作直线分别交 x、 y正半轴于点 A、 B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 则直线 AB有（ ） A、 0条 B、 1条 C、 2条 D、 3条 答案： B 填空题 某地街道呈现东 西、南 北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点 .若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点， ， ， ， ， 为报刊零售点 .请确定一个格点（除零售点外） _为发行站，

2、使 6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短 . 答案： 某学校要从 5名男生和 2名女生中选出 2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 _（结果用最简分数表示） . 答案： 若复数 z 满足 z (1+i) =1-i ( 是虚数单位 )，则其共轭复数 =_ 答案： 已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ，满足的等量关系是 _. 答案： 若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于 A BC D 答案： B 将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线 .若对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图像，则 的最大值为 _ 答案： 解答

3、题 （本题满分 14分） 如图，在直三棱柱 中， , ,求二面角的大小 . 答案：方法 1（坐标法）如图，建立空间直角坐标系，则 , , , , 2分 设 的中点为 ,因为 ,所以 即 是平面 的一个法向量 . 5 分 设平面 的一个法向量是 . , .7 分 , ,令 ,解得 所以 设法向量 与 的夹角为 ，二面角 - 的大小为 ，显然 为锐角 . 因为 ,解得 .所以二面角 的大小为14 分 . 方法 2（传统法）取 中点 ,做 交于 点，因为 ,所以, 在直棱柱中， ,所以 面 .因为 ，由三垂线定理，所以 则 就是所求 . 由 可求： , , ,由 和相似可得 ,可求 , ,所以 即二

4、面角 的大小为 . （本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分6分，第 3小题满分 6分 . 已知函数 的反函数 .定义：若对给定的实数 ，函数与 互为反函数，则称 满足 “ 和性质 ”；若函数与 互为反函数，则称 满足 “ 积性质 ”. （ 1） 判断函数 是否满足 “1和性质 ”，并说明理由； （ 2） 求所有满足 “2和性质 ”的一次函数； （ 3） 设函数 对任何 ，满足 “ 积性质 ”.求 的表达式 . 答案：（ 1）函数 的反函数是 ， ， 而 ，其反函数为 故函数 不满足 “1和性质 ” 4 分 (2)设函数 满足 “2和性质 ”， . , 6

5、分 而 ，得反函数 ， 8 分 由 “2和性质 ”定义可知 对 恒成立 . 即所求一次函数 . 10 分 （ 3）设 且点 图像上，则 在函数 图像上， 故 可得 ， 12 分 令 ， . 14 分 综上所述， 此时 其反函数是 ， 而 故 互为反函数 . 16 分 （本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 5分，第 2小题满分5分，第 3小题满分 8分 . 已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列 . （ 1） 若 ，是否存在 ，有 说明理由； （ 2） 找出所有数列 和 ，使对一切 , ,并说明理由； （ 3） 若 试确定所有的 ，使数列 中存在某个连续项的和是数列

6、 中的一项，请证明 . 答案：（ 1）由 ， 2 分 整理后，可得 ， ， 为整数， 不存在 ，使等式成立 . 5 分 （ 2）解法一 若 即 ， （ *） （ i）若 ， 当 为非零常数列， 为恒等于 1的常数列，满足要求 .7 分 （ ii）若 ，（ *）式等号左边取极限得 （ *）式等号右边只有当 时，才可能等于 1，此时等号左边是常数， ，矛盾 . 综上所述，只有当 为非零常数列， 为恒等于 1的常数列，满足要求 . 10 分 解法二 设 ，若 ，对 都成立，且 为等比数列，则，对 都成立，即 ， ，对 都成立， 7 分 （ i）若 ， . （ ii）若 ，则 综上所述， ，使对一切

7、， . 10 分 （ 3） ， 设 ， ， ， 13 分 取 ， 15 分 由二项展开式可得整数 ，使得 ， 存在整数 满足要求 . 故当且仅当 ，命题成立 . 18 分 说明：第（ 3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若 为偶数，则 （本题满分 16分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 8分，第 2小题满分8分 . 已知双曲线 设过点 的直线 l的方向向量 （ 1） 当直线 l与双曲线 C的一条渐近线 m平行时，求直线 l的方程及 l与 m的距离； （ 2） 证明：当 时，在双曲线 C的右支上不存在点 Q，使之到直线 l的距离为 . 答案：（ 1）双曲线 C的渐近线 ，即 2 分 直线 的方程 6 分 直线 与 m的距离 8 分 （ 2） 设过原点且平行于 的直线 则直线 与 的距离 ， 当 时， . 12 分 又双曲线 C的渐近线为 ， 双曲线 C的右 支在直线 的右下方， 双曲线 C的右支上的任意点到直线 的距离大于 . 故在双曲线 C的右支上不存在点 Q 到到直线 的距离为 16 分 假设双曲线 C右支上存在点 Q 到到直线 的距离为 ， （ 2） 则 ， （ 1）由（ 1）得， 11 分 设 当 时， ： 13 分 将 代入（ 2）得 ， ， 故在双曲线 C的右支上不存在点 Q 到到直线 的距离为 16分