2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（安徽卷）.doc

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（安徽卷） 选择题 集合 ， 则下列结论正确的是（ ） A B C D 答案： D 设 则 中奇数的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： C 由题知 ，逐个验证知 ，其它为偶数，选 A。 （ 7） 是方程 至少有一个负数根的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：当 ，得 a1时方程有根。 a0时， ，方程有负根，又 a=1时，方程根为 ，所以选 B 复数 （ ） A 2 B -2 C D 答案： A ，选 A。 将函数 的图象按向量 平移后所得的图象关于点 中心对称，则向量 的坐标可

2、能为（ ） A B C D 答案： C 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A B C D 答案： D 是方程 至少有一个负数根的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 12名同学合影，站成前排 4人后排 8人，现摄影师要从后排 8人中抽 2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( ) A B C D 答案： C 若函数 分别是 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则有（ ） A B C D 答案： D 设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所示。则有（ ） A B C D 答案： A 在同

3、一平面直角坐标系中，函数 的图象与 的图象关于直线对称。而函数 的图象与 的图象关于 轴对称，若，则 的值是（ ） A BC D答案： D 若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为（ ） A B C D 答案： C 填空题 已知点 在同一个球面上， 平面 ， ，若 ， ，则 两点间的球面距离是 答案： 在数列 在中， ， ， ,其中 为常数，则 的值是 答案： 1 从而 。 a=2， ，则 若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从 -2连续变化到 1时，动 直线 扫过 中的那部分区域的面积为 。 答案： 函数 的定义域为 答案： x3 解答题 （本小题满分 12分） 已知函

4、数 （ ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程 （ ）求函数 在区间 上的值域 答案： 函数图象的对称轴方程为 ，函数 在区间 上的值域为 （ 1） 由 函数图象的对称轴方程为 （ 2） 因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以 当 时， 取最大值 1 又 ，当 时， 取最小值 所以函数 在区间 上的值域为 （本小题满分 13分） 设数列 满足 为实数 （ ）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ； （ ）设 ，证明： ; （ ）设 ，证明： 答案： 见 (1) 必要性： ， 又 ，即 充分性：设 ，对 用数学归纳法证明 当 时， .假设 则 ，且 ，由数学归纳法知 对所有 成立

5、 (2) 设 ，当 时， ，结论成立 当 时， ,由（ 1）知 ，所以 且 (3)设 ，当 时， ，结论成立 当 时，由（ 2）知 （本小题满分 12分 如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1的菱形， , , , 为 的中点， 为 的中点 （ ）证明：直线 ； （ ）求异面直线 AB与 MD所成角的大小； （ ）求点 B到平面 OCD的距离。 答案： （ ）证明：见。 （ ） （ ） 方法一（综合法） （ 1）取 OB中点 E，连接 ME， NE 又 （ 2） 为异面直线 与 所成的角（或其补角） 作 连接 ， 所以 与 所成角的大小为 （ 3） 点 A和点 B到平面 OCD的距离相等，连接

6、OP,过点 A作 于点 Q， 又 ,线段 AQ 的长就是点 A到平面 OCD的距离 ， ，所以点 B到平面 OCD的距离为 方法二 (向量法 ) 作 于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 轴建立坐标系 , (1) 设平面 OCD的法向量为 ,则 即 取 ,解得 (2)设 与 所成的角为 , , 与 所成角的大小为 (3)设点 B到平面 OCD的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值 , 由 , 得 .所以点 B到平面 OCD的距离为 （本小题满分 12分） 设函数 （ ）求函数 的单调区间； （ ）已知 对任意 成立，求实数 的取值范围。 答案： （ ） + 0 - -

7、单调增 极大值 单调减 单调减 （ ） （本小题满分 12分） 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活沙柳的株数，数学期望 ，标准差 为 。 （ ）求 n,p的值并写出 的分布列； （ ）若有 3株或 3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 答案： （ ） 0 1 2 3 4 5 6 （ ）、 或（本小题满分 13分） 设椭圆 过点 ，且着焦点为 （ ）求椭圆 的方程； （ ）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足 ，证明：点 总在某定直线上 答案： （ ） （ ）见 (1)由题意： ，解得 ，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点 Q、 A、 B的坐标分别为 。 由题设知 均不为零，记 ,则 且 又 A， P， B， Q 四点共线，从而 于是 ， ， 从而 ， （ 1） ， （ 2） 又点 A、 B在椭圆 C上，即 （ 1） +（ 2） 2 并结合（ 3），（ 4）得 即点 总在定直线 上 方法二 设点 ，由题设， 均不为零。 且 又 四点共线，可设 ,于是 （ 1） （ 2） 由于 在椭圆 C上，将（ 1），（ 2）分别代入 C的方程整理得 （ 3） (4) (4)-(3) 得 即点 总在定直线 上