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2018年上海市高考数学试题+解析.pdf

1、第1页(共24页)绝密启用前2018年上海市高考数学试卷考试时间:120分钟;试卷整理:微信公众号-浙江数学题号一二三总分得分注意事项:1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷(选择题)评卷人得分一选择题(共4小题,满分20分,每小题5分)1(5分)(2018上海)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A2 B2 C2 D42(5分)(2018上海)已知aR,则“a1”是“1”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件3(5分)(2018上海)九章算术中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA

2、1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()第2页(共24页)A4 B8 C12 D164(5分)(2018上海)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()ABCD0第3页(共24页)第卷(非选择题)评卷人得分二填空题(共12小题,满分54分)5(4分)(2018上海)行列式的值为6(4分)(2018上海)双曲线y2=1的渐近线方程为7(4分)(2018上海)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示)8(

3、4分)(2018上海)设常数aR,函数f(x)=1og2(x+a)若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a=9(4分)(2018上海)已知复数z满足(1+i)z=17i(i是虚数单位),则|z|=10(4分)(2018上海)记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=11(5分)(2018上海)已知2,1,1,2,3,若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=12(5分)(2018上海)在平面直角坐标系中,已知点A(1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且| |=2,则的最小值为13(5分)(2018上海)有编号互不相同的五个砝码,其中

4、5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示)14(5分)(2018上海)设等比数列an的通项公式为an=qn1(nN*),前n项和为第4页(共24页)Sn若=,则q=15(5分)(2018上海)已知常数a0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,)若2p+q=36pq,则a=16(5分)(2018上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为评卷人得分三解答题(共5小题,满分76分)17(14分)(2018上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O

5、,半径为2(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且AOB=90,M为线段AB的中点,如图求异面直线PM与OB所成的角的大小18(14分)(2018上海)设常数aR,函数f(x)=asin2x+2cos2x(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()= +1,求方程f(x)=1在区间,上的解第5页(共24页)19(14分)(2018上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示:当S中x%(0x100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公

6、交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义20(17分)(2018上海)设常数t2在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线:y2=8x(0xt,y0)l与x轴交于点A、与交于点BP、Q分别是曲线与线段AB上的动点(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPE

7、Q,使得点E在上?若存在,求第6页(共24页)点P的坐标;若不存在,说明理由21(17分)(2018上海)给定无穷数列an,若无穷数列bn满足:对任意nN*,都有|bnan|1,则称bn与an“接近”(1)设an是首项为1,公比为的等比数列,bn=an+1+1,nN*,判断数列bn是否与an接近,并说明理由;(2)设数列an的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,bn是一个与an接近的数列,记集合M=x|x=bi,i=1,2,3,4,求M中元素的个数m;(3)已知an是公差为d的等差数列,若存在数列bn满足:bn与an接近,且在b2b1,b3b2,b201b200中至少有100个为

8、正数,求d的取值范围第7页(共24页)2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一选择题(共4小题,满分20分,每小题5分)1(5分)(2018上海)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A2 B2 C2 D4【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可【解答】解:椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2故选:C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查2(5分)(2018上海)已知aR,则“a1”是“1”的()A充分非必要条件

9、B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】“a1” “ ”,“ ” “a1或a0”,由此能求出结果【解答】解:aR,则“a1” “ ”,“ ” “a1或a0”,第8页(共24页)“a1”是“ ”的充分非必要条件故选:A【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题3(5分)(2018上海)九章算术中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A4 B8 C12 D16【分析】根据新定义和正

10、六边形的性质可得答案【解答】解:根据正六边形的性质,则D1A1ABB1,D1A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有26=12,当A1ACC1为底面矩形,有2个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有2个满足题意,故有12+2+2=16故选:D第9页(共24页)【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题4(5分)(2018上海)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()ABCD0【分析】直接利用定义性函数的应用求出结果【解答】解:设D是含数

11、1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,故f(1)=cos =,故选:B【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用二填空题(共12小题,满分54分)5(4分)(2018上海)行列式的值为18【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可【解答】解:行列式=4521=18故答案为:18【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查第10页(共24页)6(4分)(2018上海)双曲线y2=1的渐近线方程为【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程【解答】解:双曲线的a=2,b=1,

12、焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=双曲线的渐近线方程为y=故答案为:y=【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想7(4分)(2018上海)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为21(结果用数值表示)【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数【解答】解:二项式(1+x)7展开式的通项公式为Tr+1= xr,令r=2,得展开式中x2的系数为=21故答案为:21【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题8(4分)(2018上海)设常数aR,函数f(x)=1og2(x+a)若f(x)的反

13、函数的图象经过点(3,1),则a= 7第11页(共24页)【分析】由反函数的性质得函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),由此能求出a【解答】解:常数aR,函数f(x)=1og2(x+a)f(x)的反函数的图象经过点(3,1),函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),log2(1+a)=3,解得a=7故答案为:7【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题9(4分)(2018上海)已知复数z满足(1+i)z=17i(i是虚数单位),则|z|= 5【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,

14、再由复数求模公式计算得答案【解答】解:由(1+i)z=17i,得,则|z|=故答案为:5【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题10(4分)(2018上海)记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=14【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=4,d=2,由此能求出S7第12页(共24页)【解答】解:等差数列an的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14,解得a1=4,d=2,S7=7a1+ =28+42=14故答案为:14【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程

15、思想,是基础题11(5分)(2018上海)已知2,1,1,2,3,若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=1【分析】由幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,得到a是奇数,且a0,由此能求出a的值【解答】解:2,1,1,2,3,幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,a是奇数,且a0,a=1故答案为:1【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题12(5分)(2018上海)在平面直角坐标系中,已知点A(1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且| |=2,则的最小值为3【分析】据题意可设E

16、(0,a),F(0,b),从而得出|ab|=2,即a=b+2,或b=a+2,第13页(共24页)并可求得,将a=b+2带入上式即可求出的最小值,同理将b=a+2带入,也可求出的最小值【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);a=b+2,或b=a+2;且;当a=b+2时,;b2+2b2的最小值为;的最小值为3,同理求出b=a+2时,的最小值为3故答案为:3【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式13(5分)(2018上海)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这

17、三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示)【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况,所有的事件总数为:=10,第14页(共24页)这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个,所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,故答案为:【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查14(5分)(2018上海)设等比数列an的通项公式为an=qn1(nN*),前n项和为Sn若=,则q

18、= 3【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可【解答】解:等比数列an的通项公式为a =qn1(nN*),可得a1=1,因为=,所以数列的公比不是1,an+1=qn可得= = = =,可得q=3故答案为:3【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查15(5分)(2018上海)已知常数a0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,)若2p+q=36pq,则a= 6第15页(共24页)【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q

19、,)则:,整理得:=1,解得:2p+q=a2pq,由于:2p+q=36pq,所以:a2=36,由于a0,故:a=6故答案为:6【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用16(5分)(2018上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为+【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y1=0的距离d1与d2之和,由两平行线的距离可得所求最大值【解答

20、】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),第16页(共24页)由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,可得A,B两点在圆x2+y2=1上,且 =11cosAOB=,即有AOB=60,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB:x+y+t=0,(t0),由圆心O到直线AB的距离d=,可得2 =1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为:+【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的

21、方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题三解答题(共5小题,满分76分)17(14分)(2018上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;第17页(共24页)(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且AOB=90,M为线段AB的中点,如图求异面直线PM与OB所成的角的大小【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角【解答】解:(1)圆锥的顶点为P,底面圆

22、心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,圆锥的体积V= =(2)PO=4,OA,OB是底面半径,且AOB=90,M为线段AB的中点,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),=(1,1,4),=(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为,则cos= = =第18页(共24页)=arccos异面直线PM与OB所成的角的为arccos【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思

23、想,是基础题18(14分)(2018上海)设常数aR,函数f(x)=asin2x+2cos2x(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f()= +1,求方程f(x)=1在区间,上的解【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出【解答】解:(1)f(x)=asin2x+2cos2x,f(x)=asin2x+2cos2x,f(x)为偶函数,f(x)=f(x),asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,2asin2x=0,第19页(共24页)a=0;(2)f()= +1,asin +2cos2()=a+1= +1,a

24、=,f(x)= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,f(x)=1,2sin(2x+)+1=1,sin(2x+)=,2x+ =+2k,或2x+ = +2k,kZ,x=+k,或x= +k,kZ,x,x=或x= 或x=【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题19(14分)(2018上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示:当S中x%(0x100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响

25、,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说第20页(共24页)明其实际意义【分析】(1)由题意知求出f(x)40时x的取值范围即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义【解答】解;(1)由题意知,当30x100时,f(x)=2x+9040,即x265x+9000,解得x20或x45,x(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)当0x30时,g(x)=30x%+40(1x

26、%)=40;当30x100时,g(x)=(2x+90)x%+40(1x%)=x+58;g(x)=;当0x32.5时,g(x)单调递减;当32.5x100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力20(17分)(2018上海)设常数t2在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),第21页(共24页)直线l:x=t,曲线:y2=8x(0xt,y0)l与x轴交于点A、与交于点BP、

27、Q分别是曲线与线段AB上的动点(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由【分析】(1)方法一:设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|;方法二:根据抛物线的定义,即可求得|BF|;(2)根据抛物线的性质,求得Q点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得AQP的面积;(3)设P及E点坐标,根据直线kPFkFQ=1,求得直线QF的方程,求得Q点坐标,根据+

28、=,求得E点坐标,则()2=8(+6),即可求得P点坐标【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B(t,2 t),则|BF|= =t+2,|BF|=t+2;方法二:由题意可知:设B(t,2 t),由抛物线的性质可知:|BF|=t+ =t+2,|BF|=t+2;(2)F(2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,|AQ|=,Q(3,),设OQ的中点D,D(,),kQF= =,则直线PF方程:y=(x2),第22页(共24页)联立,整理得:3x220x+12=0,解得:x=,x=6(舍去),AQP的面积S= =;(3)存在,设P(,y),E(,m),则kPF= =,kFQ=,直线QF方程为y

29、=(x2),yQ=(82)=,Q(8,),根据+ =,则E(+6,),()2=8(+6),解得:y2=,存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上,且P(,)【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题21(17分)(2018上海)给定无穷数列an,若无穷数列bn满足:对任意nN*,第23页(共24页)都有|bnan|1,则称bn与an“接近”(1)设an是首项为1,公比为的等比数列,bn=an+1+1,nN*,判断数列bn是否与an接近,并说明理由;(2)设数列an的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,bn是一个与an接近的数

30、列,记集合M=x|x=bi,i=1,2,3,4,求M中元素的个数m;(3)已知an是公差为d的等差数列,若存在数列bn满足:bn与an接近,且在b2b1,b3b2,b201b200中至少有100个为正数,求d的取值范围【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;(2)由新定义可得an1bnan+1,求得bi,i=1,2,3,4的范围,即可得到所求个数;(3)运用等差数列的通项公式可得an,讨论公差d0,d=0,2d0,d2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围【解答】解:(1)数列bn与an接近理由:an是首项为1,公比为的等比数列,可得an=,bn=an+1+

31、1= +1,则|bnan|=| +1|=11,nN*,可得数列bn与an接近;(2)bn是一个与an接近的数列,可得an1bnan+1,数列an的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,可得b10,2,b21,3,b33,5,b47,9,可能b1与b2相等,b2与b3相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等,集合M=x|x=bi,i=1,2,3,4,M中元素的个数m=3或4;第24页(共24页)(3)an是公差为d的等差数列,若存在数列bn满足:bn与an接近,可得an=a1+(n1)d,若d0,取bn=an,可得bn+1bn=an+1an=d0,则b2b1,b3b2,b201b2

32、00中有200个正数,符合题意;若d=0,取bn=a1,则|bnan|=|a1a1|=1,nN*,可得bn+1bn=0,则b2b1,b3b2,b201b200中有200个正数,符合题意;若2d0,可令b2n1=a2n11,b2n=a2n+1,则b2nb2n1=a2n+1(a2n11)=2+d0,则b2b1,b3b2,b201b200中恰有100个正数,符合题意;若d2,若存在数列bn满足:bn与an接近,即为an1bnan+1,an+11bn+1an+1+1,可得bn+1bnan+1+1(an1)=2+d0,b2b1,b3b2,b201b200中无正数,不符合题意综上可得,d的范围是(2,+)【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题

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