1、第六章 微分中值定理及其应用,一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理,一、内容简介,以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征此外，极值问题有重要的实际应用,二、
2、学习要求,（1）理解和记忆罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和结论； （2）能正确运用洛必达法则求型、型等未定式的极限； （3）了解这三个中值定理在函数性态的研究当中所起的作用； （4）熟练地运用导数判定函数的增、减性和确定单调区间； （5）熟练地运用导数判定函数的凹、凸性和确定凹、凸区间； （6）用导数求出拐点； （7）熟练地用导数找到驻点及函数的极值； （8）能利用导数绘制函数图象； （9）能利用导数解决某些求最大、最小值的实际问题,三、学习的重点与难点,重点：拉格朗日中值定理、罗必达法则、函数性态（升降、极值、凹、凸、拐点）的判定，极值的实际应用问题。难点：运用中值定理的证明
3、题，极值的应用题,一、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,这个结论又称为Fermat定理,Made by Huilai Li,中值定理的演示,T 与 l 平行,这样的x可能有好多,这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0. 几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.,中值定理的演示,典型情形的证明思想,结论: Rolle定理,二、罗尔(Rolle)定理,例如,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何
4、解释:,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,Made by Huilai Li,T 与 l 平行,中值定理的演示,更广泛情形的证明思想:,同一点,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,几何解释:,例1,证,例2,证,由上式得,导数介值定理又称达布（Darboux）定理,单调性的判别法,定理,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,单调区间求法,方法:,例4,解,单调区间为,例5,解,单调区间为,例6,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,
