1、1,第五节 泊松过程,泊松过程 最简单的事件流泊松流 泊松流的性质,2,1 泊松过程,泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。k= k=0泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是平稳的,3,1 泊松过程,考察t时间内状态数增长k的概率，也就是状态从i转移到i+k的概率： 用pi,i+k(t)表示t时间后状态增长了k的概率设 建立方程组（利用K氏前向方程 ）,4,1 泊松过程,求解得：,5,1 泊松过程,pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概率，也就是在t时间内到达了k个顾客
2、的概率,0,X(t),time,i,ik,6,1 泊松过程 独立增量,用Pk(t)表示在长度为t的时间段内发生k个事件的概率，则这就是泊松分布。两个变量：k 事件个数t 时间长度,7,1 泊松过程,t时间内，平均发生的事件数是多少？,8,2 泊松流,随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长规律，则此事件流为泊松流，为泊松流的强度,9,2 泊松流,泊松流最简单事件流，特点为 平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置（或与起始时刻）无关。记为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏
3、性）。在互不相交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率（或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率）可忽略不计。,10,2 泊松流,普通性： 考察泊松流中，极短时间t内到达k个顾客的概率：,11,3 泊松流的性质,负指数分布与泊松流的密切关系随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一参数为的负指数分布，则这样的随机事件流就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, k,表示相继到达的随机事件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布，参数为，则在(0,t时间内到达的随机事件数N(t)服从泊松分布，即：,12,3 泊松流的性质,推论 若服务台一直忙
4、，服务时间服从参数为的负指数分布，则服务台输出的顾客流是参数的泊松流 定理5.2 如果某随机事件流是泊松流，则随机事件相继出现的间隔时间彼此独立，且服从同一负指数分布。,13,3 泊松流的性质,泊松流的合成与分解 定理5.3 设N1(t)与N2(t)分别是参数为1与2的泊松流，且N1(t)与N2(t)相互独立，则合成流N1(t)+N2(t)是参数为1+2的泊松流,14,3 泊松流的性质,定理5.4 设某事件流N(t) 是参数为的泊松流，每一到达的事件以概率p进入系统，设X(t)表示进入系统的事件流，则X(t)是参数为p的泊松流,15,4 电话交换台例题,考察某电话交换台，用户在随机时刻0=2是
5、相互独立且负指数分布，参数为。用n表示第n个呼唤的持续时间（或服务时间），它们是相互独立且具有参数为的负指数分布。又设有M条或无穷多条线可供利用。这样，在后一种情形，所有呼唤到来即被接通，对前一种情形，若呼唤到达时，系统中已有n个呼叫正在进行，则假定n=M，因M条外线已被占用，则新到达的呼唤必须排队等到其中一条线路空出为止，并且所有线路只有一个队列。讨论线路的利用情况,16,4 电话交换台例题,分析： 用X(t)表示t时刻系统中存在的呼叫数量 由于输入的间隔时间为负指数分布，输入是泊松流，所以系统在足够短的时间之内最多有一个新的呼唤呼入。 由于系统的服务时间为负指数分布，所以非常短时间内最多有一个呼唤释放，两个呼唤同时释放的概率是o(t)。 因此这是一个生灭过程。,17,4 电话交换台例题,第一步，先求出系统状态转移强度。 第二步，将增长率和消亡率带入到生灭过程求平稳分布的公式。 第三步，求解平稳分布。,
