椭圆综合题中定值定点、范围问题总结.doc

1、 1 椭 圆 一、直线与椭圆问题的 常规解题方法 : 1.设直线与方程； （ 提醒 ： 设直线时分斜率存在与不存在； 设为 y=kx+b与 x=my+n 的区别） 2.设交点坐标； （ 提醒 :之所以要设是因为不去求出它 ,即“设而不求 ” ） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理； （ 提醒： 抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 ） 5.根据条件重转化； 常有以下类型： “以弦 AB为直径的圆过点 0”（ 提醒： 需讨论 K是否存在） OA OB 121KK 0OA OB 1 2 1 2 0x x y y “点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、 锐角、钝角问题” “向量的数量积大于

2、、等于、小于 0问题” 1 2 1 2 0x x y y0； “等角、 角平分、角互补问题” 斜率关系（120KK或12KK）； “共线问题” （如： AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如 ： A、 O、 B 三点共线 直线 OA与 OB 斜率相等）； “点、线对称问题” 坐标与斜率关系； “弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（ 提醒 ：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； 判别式 是否已经考虑； 抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0. 2 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题： 需要找等式，“求范围”问题需

3、要找不等式； 2、“是否存在”问题： 当作存在 去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法： 常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法： 常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；也可先取参数的特殊值探求定点 ，然后给出证明， 5、 求最值问题时： 将对象表示为变量的函数， 几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等 再解决； 6、转化思想： 有些题思路易成，但难以实施。这就要 优化方法，才能

4、使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题 中，有些几何量和参数无关，这就构 成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值 来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （ 1）直线恒过定点问题 1、已知点00( , )P x y是椭圆 2 2:12xEy上任意一点， 直线 l 的方程为 00 12xx yy， 直线0l过 P 点与直线 l 垂直，点 M（ -1， 0）关于直线0l的对称点为 N，直线 PN 恒过一定点 G，求点 G 的坐标。 3 2、已知 椭圆两焦点1F、2F在 y 轴上

5、，短轴长为 22，离心率为 22， P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF，过 P作关于直线 F1P对称的两条直线 PA、 PB分 别交椭 来源 :学科网 圆于 A、 B两点。（ 1）求 P点坐标；（ 2）求证直线 AB的斜率为定值； 3、 已知动直线 ( 1)y k x与椭圆 22:1553xyC 相交于 A 、 B 两点 ,已知点 7( ,0)3M ， 求证： MA MB 为定值 . 4、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2:13xCy.如图所示，斜率为 ( 0)kk 且不 过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 E ， 射线 OE

6、 交椭圆 C 于点 G ，交直线 3x 于点 ( 3, )Dm .（）求 22mk 的最小值；（）若 2OG OD OE ，求证：直线 l 过定点； 4 椭圆中的取值范围问题 一、常见基本题型： 对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解 . （ 1） 从直线和二次曲线的位置关系出发，利 用判别式的符号，确定参数的取值范围。 5、已知 直线 l 与 y 轴交于点 (0, )Pm，与椭圆 22: 2 1C x y交于相异两点 A、 B， 且 3AP PB ， 求 m 的取值范围 （

7、2） 利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式 ,确定参数的取值范 围 . 6、已知点 (4, 0)M ， (1, 0)N ， 若动点 P 满足 6 | |M N M P P N （）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （）设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A ， B 两点，若 1 8 1 275N A N B ，求 直线 l 的斜率的取值范围 .来源 :学科网 5 (3)利用基本不等式求参数的取值范围 7、已知点 Q 为椭圆 E ： 22118 2xy上 的 一动点，点 A 的坐标为 (3,1) ， 求 AP AQ 的取值范围 8.已知椭圆的一个顶点为 (0, 1)A ，

8、焦点在 x 轴上 .若右焦点到直线 2 2 0xy 的距 离为 3.（ 1）求椭圆的方程 . （ 2）设直线 ( 0 )y kx m k 与椭圆相交于不同 的两点 ,MN.当 | | | |AM AN 时，求 m 的 取值范围 . 9. 如图所示，已知圆 MAyxC ),0,1(,8)1(: 22 定点 为圆上一动点，点 P 在 AM 上， 点 N 在 CM 上，且满足 NAMNPAPAM 点,0,2 的轨迹为曲线 E . （ I）求曲线 E 的方程； （ II）若过定点 F（ 0， 2）的直线交曲线 E 于不同的两 来源 :学科网 ZXXK 点 ,GH（点 G 在点 ,FH之 间）， 且满足

9、 FHFG ， 求 的取值范围 . 6 10、 .已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ，两个焦点分别为 )0,1(A 、 )0,1(B ，一个顶点为)0,2(H . （ 1）求椭圆 E 的标准方程； （ 2）对于 x 轴上的点 )0,(tP ，椭圆 E 上存在点 M ，使得 MHMP ，求 t 的取值范围 . 11.已知椭圆 22:1xyCab( 0)ab的离心率为 22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线 20xy 相切 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若过点 M (2， 0)的直线与椭圆 C 相交于两点 ,AB，设 P 为椭圆上一点，且满 足 OPtOBOA （ O为坐标原点

10、），当 PBPA 253时，求实数 t 取值范围 7 椭圆中的最值问题 一、常见基本题型： （ 1）利用基本不等式求最值， 12、已知椭圆两焦点1F、2F在 y 轴上，短轴长为 22，离心率为 22， P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF，过 P作关于直线 F1P对称的两条直线 PA、 PB 分别交 椭圆于 A、 B两点，求 PAB面积的最大值。 （ 2）利用函数求最值， 13.如图， DP x 轴，点 M在 DP的延长线上，且 | | 2 | |D M D P 当点 P在圆 221xy上 运动时。 （ I）求点 M的轨迹 C的方程； （）过点 22( 0 , ) 1T t y作

11、 圆 x 的切线 l 交曲线 C于 A， B两点，求 AOB面 积 S的最大值和相应的点 T的坐标。 14、已知椭圆 2 2:14xGy.过点 ( ,0)m 作圆 221xy的切线 l 交椭圆 G于 A,B两点 . 将 |AB|表示为 m 的函数，并求 |AB|的最大值 . 8 选做 1、 已知 A、 B、 C 是椭圆 )0(1:2222 babyaxm上的三点，其中点 A 的坐标为 )0,32( ， BC 过椭圆 m 的中心，且 |2|,0 ACBCBCAC （ 1）求椭圆 m 的方程； （ 2）过点 ),0( tM 的直线 l（斜率存在时）与椭圆 m 交于两点 P， Q，设 D 为椭圆 m

12、 与 y 轴负半轴的交点，且 | DQDP .求实数 t 的取值范围 2.已知圆 M ： 2 2 2( ) ( )x m y n r 及定点 (1,0)N ，点 P 是圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在 MP 上， 且满足 NP 2NQ ， GQ NP 0 （ 1） 若 1 , 0 , 4m n r ，求点 G 的轨迹 C 的 方程； （ 2） 若动圆 M 和（ 1）中所求轨迹 C 相交于不同两点 ,AB，是否存在一组正实数 ,mnr ， 使得直线 MN 垂直平分线段 AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说 明理由 9 3、 已知椭圆 C 的中心在坐标原 点，焦点在 x

13、轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ，最小值为 1 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ） 若直线 :l y kx m与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ AB， 不是左右顶点），且以 AB为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 4.如图，已知椭圆的中 心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M （ 2， 1），平行于 OM的直线 l在 y轴上的截距为 m（ m 0）， l交椭圆于 A、 B 两个不同点。 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求 m的取值范围； （ 3）求证直线 MA、 MB与 x轴始终围成一个等腰三角形 . 10

14、 参考答案 1、 解：直线0l的方程为0 0 0 0( ) 2 ( )x y y y x x ，即0 0 0 020y x x y x y 设 )0,1(M 关于直线0l的对称点 N 的坐标为 ( , )N m n 则0000 0 01212022xnmyxnmy x y ，解 得320 0 0204 3 20 0 0 02002 3 4 442 4 4 82 ( 4 )x x xmxx x x xnyx 直线 PN 的斜率为 4320 0 0 0 0320 0 0 04 2 8 82 ( 3 4 )n y x x x xkm x y x x 从而直线 PN 的方程为： 4320 0 0 00

15、0320 0 04 2 8 8 ()2 ( 3 4 )x x x xy y x xy x x 即 320 0 04320 0 0 02 ( 3 4 ) 14 2 8 8y x xxyx x x x 从而直线 PN 恒过定点 (1,0)G 2、 解：（ 1）设椭圆方程为 22221yxab，由题意可得 2 , 2 , 2 2a b c ，所以椭圆的方程为 22142yx 则 12( 0 , 2 ) , ( 0 , 2 )FF ，设 0 0 0 0( , ) ( 0 , 0 )P x y x y 则1 0 0 2 0 0( , 2 ) , ( , 2 ) ,P F x y P F x y 221

16、2 0 0( 2 ) 1P F P F x y 来源 :学 _科 _网 Z_X_X_K点 00( , )P x y 在曲线上，则 22001.24xy22 004 2yx 从而 2 2004 ( 2 ) 12 y y ，得 0 2y ，则点 P 的坐标为 (1, 2) 。 （ 2）由（ 1） 知1/PF x轴，直线 PA、 PB 斜率互为相反数， 设 PB 斜率为 ( 0)kk ，则 PB 的直线方程为： 2 ( 1)y k x 11 由 222 ( 1 )124y k xxy 得 2 2 2( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 4 0k x k k x k 设 ( , ),BBB x y则

17、 2222 ( 2 ) 2 2 2122Bk k k kx kk 同理可得 222 2 22Akkx k ，则2422ABkxx k 28( 1 ) ( 1 ) 2A B A B ky y k x k x k 所以直线 AB 的斜率 2ABABAByyk xx 为定值。 3、 解 : 将 ( 1)y k x代入 221553xy中得 2 2 2 2(1 3 ) 6 3 5 0k x k x k 4 2 2 23 6 4 ( 3 1 ) ( 3 5 ) 4 8 2 0 0k k k k ， 212 2631kxx k ， 212 23531kxx k 所以1 1 2 2 1 2 1 27 7 7

18、 7( , ) ( , ) ( ) ( )3 3 3 3M A M B x y x y x x y y 21 2 1 277( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )33x x k x x 2 2 21 2 1 27 4 9( 1 ) ( ) ( )39k x x k x x k 222 2 23 5 7 6 4 9( 1 ) ( ) ( )3 1 3 3 1 9kkk k k 42 223 1 6 5 4 93 1 9kk kk 49 。 4、 解：（）由题意 :设直线 : ( 0 )l y kx n n , 由 22 13y kx nx y 消 y得 : 2 2 2( 1 3 ) 6 3 3

19、0k x k n x n , 2 2 2 23 6 4 ( 1 3 ) 3 ( 1 ) k n k n221 2 ( 3 1 ) 0kn 12 设 A11( , )xy、 B22( , )xy,AB的中点 E00( , )xy,则由韦达定理得 : 来源 :学科网 12xx = 2613knk ,即 0 2313knx k , 00 2313 kny k x n k nk 213nk , 所以中点 E的坐标为23(,13knk2 )13nk , 因为 O、 E、 D三点在同一直线上， 所以OE ODkK，即 133mk ， 解得 1mk， 所以 22mk = 221 2kk ,当且仅当 1k 时

20、取等号 , 即 22mk 的最小值为 2. （）证明 :由题意知 :n0,因为直线 OD的方程为3myx, 所以由22313myxx y 得交点 G的纵坐标为 22 3Gmym , 又因为213Eny k , Dym ,且 2OG OD OE ，所以 2223 1 3mnmmk, 又由（）知 : 1mk,所以解得 kn ,所以直线 l 的方程为 :l y kx k, 即有 : ( 1)l y k x, 令 1x 得 ,y=0,与实数 k无关 , 5、 解：（ 1）当直线斜率不存在时： 12m（ 2）当直线斜率存在时：设 l 与椭圆 C 交点为 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y

21、 B x y2221y kx mxy得 2 2 2( 2 ) 2 1 0k x k m x m 2 2 2 2 2( 2 ) 4 ( 2 ) ( 1 ) 4 ( 2 2 ) 0k m k m k m （ *） 21 2 1 22221,22k m mx x x xkk 3AP PB ， 123xx， 1 2 221 2 223x x xx x x . 消去2x，得 21 2 1 23 ( ) 4 0x x x x ， 2222213 ( ) 4 022k m mkk 整理得 2 2 2 24 2 2 0k m m k 13 2 14m 时，上式不成立； 2 14m 时， 2222241mk m

22、 ， 22222 041mk m ， 211 m 或 121 m 把 2222241mk m 代入（ *）得 211 m 或 121 m 211 m或 121 m综上 m 的取值范围为211 m或 121 m。 6、解：（） 设动点 ( , )P x y ，则 ( 4, )M P x y ， ( 3, 0)MN ， (1 , )P N x y . 由已知得 22 )()1(6)4(3 yxx ， 化简得 223 4 12xy，得 22143xy. 所以点 P 的轨迹 C 是椭圆 ， C 的方程为 13422 yx . （）由题意知，直线 l 的斜率必存在， 不妨设过 N 的直线 l 的方程 为

23、 ( 1)y k x， 设 A ， B 两点的坐标分别为11( , )A x y，22( , )B x y. 由 22( 1),143y k xxy 消去 y 得 2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k x k . 因为 N 在椭圆内，所以 0 . 所以212 2212 28 ,344 1 2 .34kxxkkxxk 因为 21 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )N A N B x x y y k x x 1)()1( 21212 xxxxk 222222243 )1(943 438124)1( k kk kkkk ， 14 所以

24、221 8 9 (1 ) 1 27 3 4 5kk . 解得 213k . 7、 解： (1, 3)AP ，设 Q（ x， y）， ( 3, 1)AQ x y ， ( 3 ) 3 ( 1 ) 3 6A P A Q x y x y 22118 2xy，即 22(3 ) 18xy， 而 22( 3 ) 2 | | | 3 |x y x y ， 18 6xy 18 则 2 2 2( 3 ) ( 3 ) 6 1 8 6x y x y x y x y 的取值范围是 0， 36 来源 :学 *科 *网 3xy 的取值范围是 6， 6 36A P A Q x y 的取值范围是 12， 0 8、解：（ 1）依

25、题意可设椭圆方程为 222 1x ya ，则右焦点 2 1, 0Fa由题设 2| 1 2 2 | 32a ，解得 2 3a ， 故所求椭圆的方程为 22 1.3x y（ 2）设 ( , )PPP x y、 ( , )MMM x y、 ( , )NNN x y， P 为弦 MN 的中点，由 22 13y kx mx y 得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 ( 1 ) 0k x m k x m 直线与椭圆相交， 2 2 2 2 2( 6 ) 4 ( 3 1 ) 3 ( 1 ) 0 3 1 ,m k k m m k 232 3 1MNP xx mkx k ，从而231PP my k x m k ，

26、 21 313PAP Py mkk x m k ，又 | | | | , ,A M A N A P M N 则： 23 1 13mkm k k ，即 22 3 1mk， 把代入得 2 2mm ，解 02m， 15 由得2 2103mk ，解得 12m. 综上求得 m 的取值范围是 1 22 m. 9、解：（ ） .0,2 AMNPAPAM NP 为 AM的垂直平分线， |NA|=|NM| 又 .222|,22| ANCNNMCN 动点 N 的轨迹是以点 C（ 1， 0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆 . 且椭圆长轴长为 ,222 a 焦距 2c=2. .1,1,2 2 bca 曲线 E 的方

27、程为 .12 22 yx （ ） 当直线 GH 斜率存在时， 设直线 GH 方程为 ,12,2 22 yxkxy 代入椭圆方程 得 .230.034)21( 222 kkxxk 得由设2212212211213,214),(),(kxxkkxxyxHyxG则 )2,()2,(, 2211 yxyxFHFG 又 2122221222122121 )1(.,)1(, xxxxxxxxxxxxx ， 222222)1()121(316,213)1()214(kkkk整理得 .331.316214.31632 3164,2322 解得kk.131,10 又 又当直线 GH 斜率不存在，方程为 .31,

28、31,0 FHFGx)1,31,131 的取值范围是即所求 16 10、解：（ 1）由题意可得， 1c ， 2a ， 3b 所求的 椭圆的标准方程为： 22143xy （ 2）设 ),(00 yxM )20 x（，则 2200143xy 且 ),(00 yxtMP ， ),2(00 yxMH ， 由 MHMP 可得 0 MHMP ，即 0)2)( 2000 yxxt 由 、消去0y整理得 3241)2( 0200 xxxt 20 x 23411)2(41 00 xxt 220 x， 12 t t 的取值范围 为 )1,2( . 11、 解：（ ）由题意知 22ce a， 所以 2 2 2222

29、12c a be aa 即 222ab 又因为 2 111b ，所以 2 2a ， 2 1b 故椭圆 C 的方程为 12 22 yx （ ）由题意知直线 AB 的斜率存在 . 设 AB ： ( 2)y k x，11( , )A x y，22( , )B x y， ( , )P x y ， 由 22( 2 ),1.2y k xx y 得 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 2 0k x k x k . 4 2 26 4 4 ( 2 1 ) ( 8 2 ) 0k k k ， 2 12k . 212 2812kxx k ， 212 28212kxx k .来源 :学 |科 |网 Z|X|X|K 17

30、 OPtOBOA ， 1 2 1 2( , ) ( , )x x y y t x y ， 21228(1 2 )xx kxt t k， 12 12 214 ( ) 4 ( 1 2 )yy ky k x x kt t t k . 点 P 在椭圆上， 2 2 22 2 2 2 2 2( 8 ) ( 4 )22(1 2 ) (1 2 )kkt k t k， 2 2 21 6 (1 2 )k t k. PBPA 253， 212251 3k x x ， 221 2 1 2 20( 1 ) ( ) 4 9k x x x x 4222 2 26 4 8 2 2 0( 1 ) 4 ( 1 2 ) 1 2 9

31、kkk ， 22( 4 1 ) (1 4 1 3 ) 0kk ， 2 14k . 21142k， 2 2 21 6 (1 2 )k t k， 22221 6 881 2 1 2kt kk ， 2623t 或 26 23 t， 实数 t 取值范围为 )2,3 62()3 62,2( . 12、解、 设椭圆方程为 22221yxab，由题意可得 2 , 2 , 2 2a b c ， 故 椭圆 方程为 22142yx 设 AB 的直线方程： mxy 2 . 由142222 yxmxy ，得 0422422 mmxx ， 由 0)4(16)22( 22 mm ，得 222 m P到 AB 的距离为3|

32、md， 18 则3|3)214(21|21 2 mmdABSPAB 2)2 8(81)8(81 22222 mmmm 。 来源 :Zxxk.Com 当且仅当 22,222 m 取等号， 三角形 PAB面积的最大值为 2 。来源 : 13、 解 :设点 M 的坐标为 yx, ，点 P 的坐标为 00,yx， 则0xx，02yy，所以 xx 0，20 yy ， 因为 00 , yxP在圆 122 yx 上，所以 12020 yx 将代入，得点 M 的轨迹方程 C的方程为 1422 yx （）由题意知， 1| t 当 1t 时，切线 l 的方程为 1y ，点 A、 B的坐标分别为 ),1,23(),

33、1,23(此时 3| AB ，当 1t 时，同理可得 3| AB ； 当 1t 时，设切线 l 的方程为 ,mkxy Rk 由,14,22 yxtkxy 得042)4( 222 tk txxk 设 A、 B两点的坐标分别为 ),(),( 2211 yxyx ，则由得： 2221221 44,4 2 ktxxkktxx 又由 l与圆 122 yx 相切，得,11| 2 k t即 .122 kt 所以 212212 )()(| yyxxAB 4 )4(4)4( 4)1( 222222ktktkk.3 |34 2 t t因为 ,2|3|343|34|2 ttttAB 且当 3t 时， 19 |AB|

34、=2，所以 |AB|的最大值为 2来源 :学 .科 .网 Z.X.X.K 依题意，圆心 O 到直线 AB的距离为圆 122 yx 的半径， 所以 AOB 面积 1121 ABS， 当且仅当 3t 时， AOB 面积 S的最大值为 1， 相应的 T 的坐标为 3,0 或者 3,0 14、 解： 由题意知， | | 1m . 当 1m 时，切线 l 的方程为 1x ，点 A,B的坐标分别为 33(1 , ) , (1 , )22， 此时 | | 3AB ； 当 1m 时，同理可得 | | 3AB ； 当 1m 时，设切线 l 的方程为 ()y k x m. 由 22()14y k x mx y 得

35、 2 2 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k m x k m . 设 A,B 两点的坐标分别为1 1 2 2( , ), ( , )x y x y. 又由 l 与圆 221xy相切， 得2|11kmk ，即 2 2 2 1m k k. 所以 2 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2| | ( ) ( ) ( 1 ) ( ) 4 A B x x y y k x x x x 4 2 2 222 2 26 4 4 ( 4 4 )( 1 ) ( 1 4 ) 1 4k m k mkkk 24 3 | |3mm . 由于当 1m 时， | | 3AB ， 24 3 | | 4 3| |

36、233 |mABm mm ， 当且当 3m 时， | | 2AB .所以 |AB|的最大值为 2. 选做 20 1、 解（ 1）椭圆 m： 141222 yx （ 2）由条件 D（ 0， 2） M（ 0， t） 来源 :Z+xx+k.Com 1 当 k=0时，显然 20 可得 22 124 kt 设 ),(),(),(002211 yxHPQyxQyxP 中点则2210 3132 kktxxx 200 31 kttkxy )31,31 3( 22 ktkktH 由kkPQOHDQDP DH 1| 即 2223110313231 ktkkktkt 化简得 t1 将 代入 得 1t4 t的范围是（

37、 1， 4） 综上 t （ 2， 4） 2、 解： （ 1） 2,NP NQ 点 Q 为 PN 的中点， 又 0GQ NP， GQ PN或 G 点与 Q 点重合 .| GNPG 又 | | | | | | | | | | 4 .G M G N G M G P P M 点 G 的轨迹是以 ,MN为焦点的椭圆， 且 2, 1ac， 22 3,b a c G 的轨迹方程是 221.43xy (2)解：不存在这样一组正实数， 下面证明： 由题意，若存在这样的一组正实数， 当直线 MN 的斜率存在时，设之为 k ， 故直线 MN 的方程为： ( 1)y k x，设1 1 2 2( , ) , ( , )

38、A x y B x y， AB 中点00( , )D x y， 21 则221122143143xyxy ，两式相减得： 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 043x x x x y y y y 注意到12121yyx x k ，且12012022xxxyyy ，则003 14xyk， 又点 D 在直线 MN 上，00( 1)y k x ，代入 式得：0 4x 因为弦 AB 的中点 D 在 所给椭圆 C 内， 故022x ， 这与0 4x 矛盾，所以所求这组正实数不存在 当直线 MN 的斜率不存在时， 直线 MN 的方程为 1x ， 则此时1 2 1 2,2y y x

39、 x ，代入 式得120xx， 这与 ,AB是不同两点矛盾综上，所求的这组正实数不存在 3、 解：（ ）椭圆的标准方程为 22143xy 来源 :学科网 ZXXK （ ）设11()A x y，22()B x y， 联立 221.43y kx mxy ， ， 得2 2 2( 3 4 ) 8 4 ( 3 ) 0k x m k x m ， 2 2 2 2 2 212 2212 26 4 1 6 ( 3 4 ) ( 3 ) 0 3 4 08344 ( 3 ).34m k k m k mmkxxkmxxk ， 即 ， 则，又 22221 2 1 2 1 2 1 2 23 ( 4 )( ) ( ) ( )

40、 34mky y k x m k x m k x x m k x x m k ， 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点 (20)D ， ， 1AD BDkk ，即 12 122yyxx ， 22 1 2 1 2 1 22 ( ) 4 0y y x x x x ， 2 2 22 2 23 ( 4 ) 4 ( 3 ) 1 6 403 4 3 4 3 4m k m m kk k k ， 229 1 6 4 0m m k k 来源 :学 #科 #网 Z#X#X#K 解得： 1 2mk，2 27km ，且均满足 223 4 0km ， 当1 2mk时， l 的方程为 ( 2)y k x，直线过定点 (

41、20)， ，与已知矛盾； 当2 27km 时， l 的方程为 2()7y k x，直线过定点 2( 0)7， 所以，直线 l 过定点，定点坐标为 2( 0)7， 4、解： （ 1）设椭圆方 程为 )0(12222 babyax则2811422222 bababa解得 椭圆方程为 12822 yx （ 2）直线 l 平行于 OM，且在 y 轴上的截距 m, 又 KOM=21mxyl 21的方程为： 由 0422128212222 mmxxyxmxy直线 l 与椭圆交于 A、 B 两个不同点， 分且解得 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,22,0)42(4)2( 22mmmm （ 3）设直线 MA、 MB 的斜率分别为 k1， k2，只需证明 k1+k2=0 即可 设 42,2),(),( 221212211 mxxmxxyxByxA 且 23 则21,21222111 xykxyk 由 可得0422 22 mmxx 42,2 22121 mxxmxx 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121 xxxyxyxyxykk )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(