线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结.doc

1、特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材 P7 例 5、例 6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11 1 1 2 1 12 , 1 22 1 2 2 2 , 11 , 2 1 , 1 1 ,11 2 , 1( 1 )21 2 , 1 10 0 000000 0 00 0 000 0 0 0 0( 1 )nnnnnnn n n n nn n nn n n n n nnnn n naa a a aaaa a aa a aaaa a a aa a a 3. 分块行列式（教材 P14 例 10） 一般化结果： 00 n n m n n m nm

2、m n m m n mA C A ABB C B 0 ( 1 )0n m n n m n mn nmm m n m m nA C A ABB C B 4. 范德蒙行列式（教材 P18 例 12） 注： 4 种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式 对角线法 则 （教材 P2、 P3） 三、 高阶行列式的计算 【 五 种解题方法 】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式 ； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶 进行 计算 适用于行列式的某

3、 一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法） 【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例 1 （ 2001 年考研题 ） 0 0 0 1 00 0 2 0 00 1 9 9 9 0 0 02 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 0 0 1D 分析：该行列式的特 点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一 ：定义法 ( 1 , 2 , . . . , 2 ,1 , ) 0 1 2 . . . 1 9 9 9 0( 1 ) 2 0 0 1 ! (

4、1 ) 2 0 0 1 ! 2 0 0 1 !n n nD 解法二：行列式性质法 利用行列式性质 2 把最后一行依次与第 n-1,n-2, ,2,1 行交换 （这里 n=2001），即进行 2000 次换行以后，变成副对角行列式。 2 0 0 1 ( 2 0 0 1 1 )2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 20 0 0 0 2 0 0 10 0 0 1 00 0 2 0 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 0 0 1 ! 2 0 0 1 !0 1 9 9 9 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0D 解法三：分块法 0 0 0 1 00 0 2 0 00 1 9 9 9 0 0

5、02 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 0 0 1D 利用分块行列式的结果可以得到 2 0 0 0 ( 2 0 0 0 - 1 )20 0 0 10 0 2 0= 2 0 0 1 = 2 0 0 1 ( - 1 ) 2 0 0 0 ! = 2 0 0 10 1 9 9 9 0 02 0 0 0 0 0 0D ！解法四：降阶定理展开 按照每一行分别逐次展开 ，此处不再详细计算。 2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例 2 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1aaDbb分析：该行列式的特点是 1 很多，可以通过12rr和34rr来将行列式中的

6、很多 1化成 0. 解： 214143220 0 1 1 0 0 1 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 0 1 10 0 0 0 1 1 0 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 11 1 0 00 1 10 0 1 1000rrrrrraaa a aD a b a bbbb b baa b a bb 例 3 3 2 2 31 1 1 1 1 13 2 2 32 2 2 2 2 23 2 2 33 3 3 3 3 33 2 2 34 4 4 4 4 4a a b a b ba a b a b bDa a b a b ba a b a b b ， ( 0)ia 分析：该类

7、行列式特点是每行 a 的次数递减， b 的次数增加。特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将 D化成范德蒙行列式。 解： 231 1 11 1 1232 2 22 2 233331 2 3 4233 3 33 3 3234 4 44 4 43333 31 2 41 2 3 41 2 3 433331 2 3 4141 ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )( , , , )()jiji ijb b ba a ab b ba a aD a a a ab b ba a ab b ba a abb b ba a a a Va a

8、 a abbaaaaaa 练习：（ 11-12 年 IT 专业期末考试题 ） 若实数 zyx , 各不相等，则矩阵222111zyxzyxM 的行列式 M _ 3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 例 4 0 0 00 0 00 0 00 0 0nababDabba分析：该行列式特点是 a 处于主对角线， b 在 a 后的一个位置，最后一行中 b 是第一个元素， a 是最后一个元素。 解：按第一列展开： 1 1 11 1 1 10 0 00 0 0( 1 ) ( 1 )0 0 00 0 0 0( 1 ) ( 1 )nnn n n n n nabbababD

9、a bababaa a b b a b 练习：（ 11-12 年期中考试题） xyyxxyxyxD n00000000000000004. 行（列）和相等的行列式 例 5 na b bb a bDb b a 分析：该行列式的特点是主对角线上元素为 a ，其余位置上都是 b 。可将第 2,3， ，n列加到第 1 列上。（类似题型：教材 P12 例 8， P27 8(2)） 解： 1111 1 0 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 0 ( 1 ) ( )nnb b b ba b a bD a n b a n bb a a ba n b a b 5. 箭头形（爪行）行列式 例 6 0 1 1 11 2

10、 0 01 0 3 01 0 0Dn分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为 0，其余位置都为0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。 解：分别从第 2,3, ,n列提出因子 2,3， ， n，然后将 第 2,3, ,n列分别乘以 -1，再加到第 1 列上。 221 1 1 11 1 1023231 1 0 0 0 1 0 0 1! ! ! ( )1 0 1 0 0 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1niniinnD n n ni 注： 爪形行列式非常重要，很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算！ 练习： 1) 教材习题 P28: 8(6

11、) 2) （ 11-12 年期末考试题） 2 3 ( 1 )2 0 0 03 0 0 01 0 0 00 0 0na n naaAna 3) （ 11-12 年 IT 期末考试题） nxnxxxaaaaxDnnn0000100002000011211例 7 1 2 31 2 31 2 31 2 3nnnnx a a aa x a aD a a x aa a a x分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。 解： 1 2 31 1 2 21 1 3 3113121 1 2 2 3 31 1 2 221221 1 2 20000001 1 0 0( ) ( ) ( )1 0

12、 1 01 0 0 11( ) ( ) ( ) 0 1 00 0 1(nnnnnnnnninii i n nnniix a a aa x x aD a x x aa x x aaaxax a x a x a x ax a x a x aaaax a x a x ax a x a x axa 11) 1 n niiiiiaxa6. 递推法或 数学归纳法 该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材 P15 例 11 就是递推法的经典例题。利 用同样的方法可以计算教材 P27 8(4)。 7. 升阶法 通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行列式，可以通过加上一行或一列

13、使得行列式变成特殊行列式，再进行计算。 例 8 （教材 P28 8(6)） 121 + 1 11 1 + 1=1 1 1 +nnaaDa, ( 0)ia 分析： 该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多 1，因此可以增加一行 1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列式是方形的，因此在增加一行以后还要增加一 列，以保持行列式的形状。为了使行列式的值不改变，因此增加的列为 1,0,0, ,0. 111 -32 2 1 2=11 1 1 10001 1 1 11 + 1 1 - 1 0 01= 1 1 + 1 = - 1 0 0 = . . . ( 1 + )1 1 1

14、 + - 1 0 0i nrrnni innaaD a a a a aaaa定 理例 9 （教材 P27 6(4)） 2 2 2 24 4 4 41 1 1 1=a b c dDa b c da b c d分析：此行列式可以应用性质 6 将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计算。 解法一： 243322121312 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 21 1 1 100 ( ) ( ) ( )0 ( ) ( ) ( )1 1 1= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 0 0( ) ( )

15、( )( ) ( ) ( ) ( ) (r a rr a rr a rccccb a c a d aDb b a c c a d d ab b a c c a d d ab a c a d a b c db b a c c a d d ab a c a d a b c b d bb b a c c a b b a d d a b 按 第 一列 展 开2 2 2 2)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bac b d bb a c a d ac c a b b a d d a b b aa b a c a d b c b d c d a b c d 按 第 一行 展 开 解法二： 2532 2 2 24 4 4 43 3 3 341 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1a b c dD a b c da b c dx a x b x c x d b a c a d a cxxa b c ddxbxb d c 3x 的系数是 D ，因此 D等于 3x 的系数的相反数，由此可计算得到结果。