2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I.doc

1、文科数学试卷 绝密 启封并使用完毕前 试题类型： A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1.本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 .第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5页 . 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 . 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 . 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 . 第卷 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 1, 3, 5, 7A ， | 2 5B x x ，则 AB （ ） A.1,3

2、B. 3,5 C. 5,7 D. 1,7 2. 设 (1 2 )( )i a i的 实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a （ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 3. 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个 花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） A.13B. 12C. 23D. 564. ABC 的内角 ,ABC 的对边分 别为 ,abc，已知 5a ， 2c ， 2cos3A，则 b （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 5. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为

3、其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为（ ） A.13B. 12C. 23D. 34文科数学试卷 6. 将函数 2 s in ( 2 )6yx的图像向右平移 14个周期后，所得图像对应的函数为（ ） A. 2 s in ( 2 )4yxB. 2 s in ( 2 )3yxC. 2 s in ( 2 )4yxD. 2 s in ( 2 )3yx7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283 ，则它的表面积是（ ） A.17 B. 18 C. 20 D. 28 8. 若 0ab ， 01c，则（ ） A. log logabccB. log lo

4、gccabC. ccab D. abcc 9. 函数 2 | |2 xy x e在 2,2 的图像大致为（ ） A B C D -2 2 y x -2 2 y x -2 2 y x -2 2 y x 文科数学试卷 10. 执行右面的程序框图，如果输入的 0x ， 1y ， 1n ，则输出 ,xy的值满足（ ） A. 2yx B. 3yx C. 4yx D. 5yx 11. 平面 过正方体1 1 1 1A B C D A B C D的顶点 A， /平面11CBD， 平面 ABCD m ， 平面11ABB A n，则 ,mn所成角的正弦值为（ ） A. 32B. 22C. 33D. 1312. 若

5、函数 1( ) s i n 2 s i n3f x x x a x 在 ( , ) 单调递增，则 a 的取值范围是（ ） A. 1,1 B. 1 1, 3C. 11 , 33D. 1 1, 3第 II 卷 二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题， 20 分） 13. 设向量 ( , 1)a x x ， (1,2)b ，且 ab ，则 x 14. 已知 是第四象限角，且 3sin( )45 ，则 tan( )4 15. 设直线 2y x a 与圆 22: 2 2 0C x y a y 相交于 ,AB两点，若 | | 2 3AB ，则圆 C 的面积 为 16某高科技企业生产产品 A 和产品 B

6、需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.5kg，用 3 个工时，生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元，该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不 超过 600 个工时的条件下，生产产品 A，产品 B 的利润之和的最大值为 元 文科数学试卷 三、解答题（共 70 分） 17.（ 12 分）已知 na是公差为 3 的等差数列，数列 nb满足1 1b，2 13b ，11n n n na b b n b（ I）求 na的通项公式； （ I

7、I）求 nb的前 n 项和 18.（ 12 分）如图，已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， 6PA ，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并延长交 AB 于点 G （ I）证明： G 是 AB 的中点； （ II）在答题卡第（ 18）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF的体积 19.（ 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件 ，每个 200 元 . 在机器使用期间，如果备件不足再购买

8、，则每个 500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期间更换的易损零件数，得下面柱状图： P E A D G B C 频数 24 20 16 10 6 0 更换的易损零件数 16 17 18 19 20 21 文科数学试卷 设 x 表示 1 台机器在三年使用期内需要更换 的易损零件数， y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， n 表示购机的同时购买的易损零件数 （ I）若 19n ，求 y 与 x 的函数解析式； （ II）若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； （ III

9、）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均值，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买19 个还是 20 个易损零件？ 20.（ 12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线1 : ( 0)l y t t交 y 轴于点 M，交抛物线 2: 2 ( 0 )C y p x p于点 P， M 关于 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H （ I）求 |OHON； （ II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由 . 21.（ 12 分）已知函数 2(

10、 ) ( 2 ) ( 1 )xf x x e a x （ I）讨论 ()fx的单调性； （ II）若 ()fx有两个零点，求 a 的取值范围 选做题 22.（ 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， OAB 是等腰三角形， 120AOB，以 O 为圆心， 12OA为半径作圆 （ I）证明：直线 AB 与圆 O 相切； （ II）点 C， D 在圆 O 上，且 A， B， C， D 四点共圆，证明 AB/CD O A B D C 文科数学试卷 23.（ 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线1C参数方程为 cos1 sinx a ty a t（ t 为 参

11、数， 0a ），在以坐标原点为极点，x 轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2 : 4 co sC （ I）说明1C是哪一种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程； （ II）直线3C的极坐标方程为0，其中0满足0tan 2 ，若曲线1C与2C的公共点都在3C上，求a 24.（ 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | | 2 3 |f x x x （ I）在答题卡第（ 24）题图中画出 ()y f x 的图像； （ II）求不等式 | ( )| 1fx 的 解集 文科数学试卷 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小

12、题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1） B (2) A （ 3） C （ 4） D （ 5） B （ 6） D （ 7） A （ 8） B （ 9） D （ 10） C （ 11） A （ 12） C 第 II 卷 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 . （ 13） 23 （ 14） 43 （ 15） 4 （ 16） 216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17）（ I）由已知，1 2 2 1 1 2 1, 1 , ,3a b b b b b 得1 2 2 1 1 2 1, 1 , ,3a b b b

13、b b 得1 2a，所以数列 na是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 31nan. （ II）由（ I）和11n n n na b b n b，得1 3nn bb ，因此 nb是首项为 1，公比为 13的等比数列 .记nb 的前 n 项和为 nS ，则 111 ( )313 .1 2 2 313nn nS （ 18）（ I）因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ，所以 .AB PD 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E ，所以 .AB DE 所以 AB 平面 PED ，故 .AB PG 又由已知可得， PA PB ，从而 G 是 AB 的中点 . （ II）在平面 P

14、AB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影 . 文科数学试卷 理由如下：由已知可得 PB PA ， PB PC ，又 /EF PB ,所以 EF PC ,因此 EF 平面PAC ，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 . 连接 CG ，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ， 所以 D 是正三角形 ABC 的中心 . 由（ I）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 2 .3CD CG由题设可得 PC 平面 PAB ， DE 平面 PAB ，所以 /DE PC ， 因此 21,.33P E P G D E

15、P C由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 6PA ，可得 2 , 2 2 .D E P E 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 2.EF PF 所以四面体 PDEF 的体积 1 1 42 2 2 .3 2 3 V（ 19）（ I）分 x 19 及 x.19，分别求解析式；（ II）通过频率大小进行比较；（ III）分别求出您 9， n=20 的所需费用的平均数来确定。 试题解析：（ ） 当 19x 时， 3800y ；当 19x 时， 5700500)19(5003800 xxy ，所以 y 与 x 的函数解析式为 )(,19,57 0050 0,19,38 00 Nxxxxy . （ ）由

16、柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46，不大于 19 的概率为 0.7，故 n 的最小值为 19. （ ）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800， 20 台的费用为 4300， 10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 4 05 0)104 50 0904 00 0(1 001 . 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 . （ 20）（ ）由已知得 ),0( tM ， ),2(2 tptP . 又 N 为 M 关于点 P 的对称

17、点，故 ),( 2 tptN ， ON 的方程为 xtpy ，代入 pxy 22 整理得02 22 xtpx ，解得 01x ， ptx 22 2 ，因此 )2,2( 2 tptH . 文科数学试卷 所以 N 为 OH 的中点，即 2| | ONOH. （ ）直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点 .理由如下： 直线 MH 的方程为 xtpty 2，即 )(2 typtx .代入 pxy 22 得 044 22 ttyy ，解得tyy 221 ，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共点 . （ 21） (I) 1 2 1 1 2 .xxf

18、 x x e a x x e a (i)设 0a ，则当 ,1x 时， 0fx ；当 1,x 时， 0fx . 所以在 ,1 单调递减，在 1, 单调递增 . (ii)设 0a ，由 0fx 得 x=1 或 x=ln(-2a). 若2ea，则 1 xf x x e e ，所以 fx在 , 单调递增 . 若2ea，则 ln(-2a)1,故当 , l n 2 1 ,xa 时， 0fx ； 当 ln 2 ,1xa 时， 0fx ，所以 fx 在 , ln 2 , 1,a 单调递增，在 ln 2 ,1a 单调递减 . 若2ea，则 21ln a，故当 , 1 l n 2 ,xa 时， 0fx ，当 1

19、, ln 2xa时， 0fx ，所以 fx在 , 1 , ln 2 ,a 单调递增，在 1,ln 2a单调递减 . (II)(i)设 0a ，则由 (I)知， fx在 ,1 单调递减，在 1, 单调递增 . 又 12f e f a ， ，取 b满足 b0 且 ln22ba， 则 23 32 1 022af b b a b a b b ，所以 fx有两个零点 . (ii)设 a=0，则 2 xf x x e 所以 fx有一个零点 . (iii)设 a0，若2ea，则由 (I)知， fx在 1, 单调递增 . 文科数学试卷 又当 1x 时， fx0，故 fx不存在两个零点；若2ea，则由 (I)知

20、， fx在 1,ln 2a单调递减，在 ln 2 ,a 单调递增 .又当 1x 时 fx0，故 fx不存在两个零点 . 综上， a 的取值范围为 0, . （ 22）（ ）设 E 是 AB 的中点，连结 OE ， 因为 , 1 2 0O A O B A O B ，所以 OE AB ， 60AOE 在 Rt AOE 中 ， 12OE AO，即 O 到直线 AB 的距离等于圆 O 的半径，所以直线 AB 与 O 相切 EO D COBA（ ）因为 2OA OD ，所以 O 不是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心，设 O 是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线 OO 由已知

21、得 O 在线段 AB 的垂直平分线上，又 O 在线段 AB 的垂直平分线上，所以 OO AB 同理可证， OO CD 所以 /AB CD （ 23） cos1 sinx a ty a t （ t 均为参数） 2221x y a 1C为以 01， 为圆心， a 为半径的圆方程为 2 2 22 1 0x y y a 2 2 2 s i nx y y ， 222 s i n 1 0a 即为1C的极坐标方程 2 4 cosC ：文科数学试卷 两边同乘 得 2 2 2 24 c o s c o sx y x ， 224x y x 即 2 224xy 3C：化为普通方程为 2yx 由题意：1C和2C的公共方程所在直线即为3C 得： 24 2 1 0x y a ，即为3C 210a 1a （ 24） 如图所 示： 4133 2 12342xxf x x xxx ， ， 1fx 当 1x ， 41x，解得 5x 或 3x 1x 当 312x ， 3 2 1x，解得 1x 或 13x11 3x 或 31 2x 当 32x， 41x，解得 5x 或 3x 3 32 x 或 5x 综上， 13x或 13x 或 5x 1fx ，解集为 1 1 3 53 ， ， ， 文科数学试卷