1、 人船模型之一 “人船模型”，不仅是动量守恒问题中典型的物理模型，也是最重要的力学综合模型之一对“人船模型”及其典型变形的研究，将直接影响着力学过程的发生，发展和变化，在将直接影响着力学过程的分析思路，通过类比和等效方法，可以使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷。 1、“人船模型” 质量为 M的船停在静止的水面上，船长为 L，一质量为 m的人，由船头走到船尾，若不计水的阻力，则整个过程人和船相对于水面移动的距离？ 分析： “人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和船 相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合外力为零；即人和船组成的系统在运动过程中总动量守恒。 解
2、答： 设人在运动过程中，人和船相对于水面的速度分别为 和 u，则由动量守恒定律得： mv=Mu 由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度 和 u均满足上述关系，所以运动过程中，人和船平均速度大小 u 和 也应满足相似的关系，即 m =Mu 而 xt， yut，所以上式可以转化为： mx=My M L m M L x y 又有， x+y=L,得： MxLmM myLmM 以上就是典型的“人船模型”，说明人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关，与运动情 况无关。该模型适用的条件：一个原来处于静止状态的系统，且在系统发生相对运动的过程中，至少有一个方向 (如水平方向或者竖直方向 )动量守恒。 2、
3、“人船模型”的变形 变形 1：质量为 M的气球下挂着长为 L的绳梯，一质量为 m的人站在绳梯的下端，人和气球静止在空中，现人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离？ 分析： 由于开始人和气球组成的系统静止在空中， 竖直方向系 统所受外力之和为零，即系统竖直方 向系统总动量守恒。得： mx=My x+y=L 这与“人船模型”的结果一样。 变形 2：如图所 示，质量为 M 的 14圆弧轨道静止于光滑水平面上，轨道半径为 R，今把质量为 m的小球自轨道左测最高处静止释放，小球滑至最低点时，求小球和轨道相对于地面各自滑行的距离？ 分析：设小球和轨道相对于地面各自滑行的距离为 x 和
4、y，将小球和轨道看成系统，该m M 系统在水平方向总动量守恒，由动量守恒定律得： mx=My x+y=L 这又是一个“人船模型”。 3、“人船模型”的应用 “等效思想” 如图所示，长为 L 质量为 M 的小船停在静水中，船头船尾分别站立质量为 m1、 m2（ m1m2）的两个人，那么，当两个人互换 位置后，船在水平方向移动了多少？ 分析： 将两人和船看成系统，系统水平方向总动量守恒。本题可以理解为是人先后移动，但本题又可等效成质量为12()m m m m 的人在质量为22M M m的船上走，这样就又变成标准的“人船模型”。 解答： 人和船在水平方向移动的距离为 x和 y，由动量守恒定律可得：
5、mx M y x y L 这样就可将原本很复杂的问题变得简化。 “人船模型”和机械能守恒的结合 m1 m2 M M m x y L m M如图所示， 质量为 M的物体静止于光滑水平面上，其上有一个半径为 R的光滑半圆形轨道，现把质量为 m的小球自轨道左测最高点静止释放 ，试计算： 1摆球运动到最低点时，小球 与轨道的速度是多少 ? 2轨道的振幅是多大 ? 分析： 设小球球到达最低点时，小球与轨道的速度分别为 v1和 v2，根据系统在水平方向动量守恒，得：12mv Mv又由系统机械能守恒得： 22121122m g R m v M v解得：12M gRvmM ，22m M g RvM m M 当小球滑到右侧最高点时，轨道左移的距离最大，即振幅 A。 由“人船模型”得： mx My 2x y R 解得： 2MxRmM ， 2myRmM 即振幅 A为： 2mARmM M m
