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1、第八章 扭 转,8.1 扭转的概念和实例,8.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,8.3 纯剪切,8.4 圆轴扭转时的应力,8.5 圆轴扭转时的变形,*8.6 非圆截面轴扭转简介,8.1 扭转的概念和实例,一、工程实例,二、杆件的扭转变形,杆受到若干力偶的作用，其 力偶作用面垂直于轴线。,杆件的不同横截面绕轴线相 对转动了一定的角度。,受力特点：,变形特点:,（扭转角：）,轴工程上，以扭转作为主要变形的直杆称为轴。,8.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,一、外力偶矩计算,一般有三种情况给出：,1、直接给出；,2、通过外力平移计算得出；,3、通过电机轴的功率、轴的转速来计算。,P (kW),n (

2、r/min),输入功率 P 相当每秒输入的功为：,式中：, 传动轴的外力偶矩计算：,外力偶矩 Me 在每秒完成的功为：,Me,Me,二、扭矩与扭矩图,1.扭矩 ：扭转时横截面上的内力，它是 一个位于横截面平面内的力偶，该力 偶矩称为扭矩，用 T 表示。,求法：截面法,取左端，由力矩平衡,得：,说明：这样规定扭矩的正负号，使得同一截面上的扭矩获得相同的正负号。,符号：按右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若 矢量方向与横截面外法线方向一致时，扭矩 为正，反之扭矩为负。,取右端，由力矩平衡,得：,二、扭矩与扭矩图,2.扭矩图：,以扭矩 T 为纵坐标，截面位置 x 为横坐标，表示扭矩随杆件轴线变化情况的曲线

3、 扭矩图。,扭矩图的作法与轴力图相似。,例如：,Me,图示传动轴，主动轮A输入功率PA=50 KW，从动轮B、C、D输出功率分别为 PB=PC=15 KW ，PD=20 KW ，轴的转速为n=300 r/min。作轴的扭矩图。,解：,先求各轮的外力偶矩：,例：,用截面法求各段扭矩：,477,954,637,哪 一 种 安 排 更 合 理,?,8.3 纯剪切,1. 实验,可以看出：,（1）纵向线倾斜了同一 微小角度,方格的左、右 两边发生了相对错动。,（2）圆周线的形状、 大小及圆周线之间的距 离保持不变。,一、薄壁圆筒的扭转应力,2. 应力分析,(1)分析切应力：,切应变 代表剪切变形，单元体

4、的左、右表面存在切应力 .,(2)分析正应力：,扭转过程中，圆筒表面圆周线的形状、大小及相邻圆周线的 间距都不变，无正应变(纵向应 变和环向应变) ，无正应力(左、 右表面和上、下表面)。,取微单元体 (dx,dy, ),3. 横截面切应力 的计算,结论: 切应力在横截面近似均匀分布。,（1）由于沿圆周方向各点的变 形相同，即属于轴对称问题，故 可认为切应力 沿环向不变。,（2）由于壁厚很薄，近似认为 沿壁厚方向不变。,-薄壁圆筒平均半径,得薄壁圆筒横截面上的切应力：,即,在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在， 且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向 或者共同背离两平

5、面的交线。这就是切应力互等定理。,二、切应力互等定理,上述单元体的四个侧面上，仅存在切应力而无正应力， 这种应力状况称为纯剪切。,由平衡方程 得：,说明：,三、剪切胡克定律,其中：G 是比例常数，称为剪切弹性模量(切变模量)，上式为剪切胡克定律。,图中当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变呈线性正比例关系，即：,由实验可得切应力与切应变的关系曲线，如右图：,说明：,1、G 与 E 、一样，均随材料而异。,2、对于各向同性材料：,8.4 圆轴扭转时的应力,一、实验与假设,1、实验现象：,各圆周线的形状、大小、两圆周线之间的距离都没有发生变化，但都绕轴转过了不同的角度。,纵线仍近似为直

6、线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩形都变成了平行四边形。,2、假设：,平面假设：圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面 一样绕轴转动，即：假设圆轴各横截面在变形过 程中，始终保持为平面，其形状和大小不变。,二、圆轴扭转时横截面上各点的切应力,要得到圆轴扭转横截面上的切应力公式，需综 合考虑三个方面的关系：,在外表面上：,(b),外圆周上各点的切应变,两端横截面的相对扭转角,(a),距圆心为处的切应变为：,1、变形几何关系,可见，横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。,根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时,2. 物理关系,(b),将（b）带入上式得：,(c),(c),在横

7、截面上的分布：,与 成正比，,方向垂直于半径。,单位长度扭转角,3.静力学关系,将（c）带入上式得：, 圆轴扭转横截面上距圆心为 的任意点的切应力计算公式。,极惯性矩,将上式带入（c）得：,适用范围：线弹性范围，且只适用于等截面圆轴和空心等截面圆轴。对于锥度较小的圆锥轴可近似使用。,三、截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数 Wp 的计算,1.实心圆截面,2.空心圆截面,其中：,实心圆截面：,空心圆截面：,总结：,例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受 扭矩T=1kNm作用，计算横截面上A点的剪应力及横 截面上的最大和最小剪应力。,解：,例：一厚度为30mm、内直径为230mm的空

8、心圆管，承受扭矩T=180 kNm 。试求管中的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。,解：(1) 利用薄壁管的近似理论可得：,(2) 利用精确的扭转理论可得：,例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比 d2D20.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比 D2/D1。,解：由,得：,四、扭转破坏、扭转极限应力,1.扭转试验：用圆截面试样在扭转试验机上进行,2. 试验现象：,塑性材料,脆性材料,3. 试验结论：,失效的形式为屈服与断裂。,扭转屈服应力,扭转强度极限,试样扭转屈服时横截面上的最大切应力,试样扭转断裂时横截面上的最大切应力

9、,先在外表面出现横向与纵向的滑移线，最后沿横截面被剪断。,沿450 螺旋面被拉断。,扭转极限应力,五、圆轴扭转的强度条件,1. 扭转许用切应力,2. 扭转强度条件,3. 圆轴扭转强度计算的三类问题,（a）强度校核：,（b）截面设计：,（c）许用载荷计算：,已知：n=100 r/min, P=7.5KW, =45MPa, =0.5, d1=45mm, d2=46mm,例：,试校核轴的强度。,解：,故：强度满足要求。,对实心轴，,所以：,对空心轴：,所以：,例,某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5 KNm，若许用切应力，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸：,2.空心圆截面轴，其内、外径之比,解：,1.

10、 确定实心圆截面轴的直径 d1。,1.实心圆截面轴；,由强度条件,其中,得:,2. 确定空心圆截面轴的内、外径。,由强度条件,其中,而其内径为,3.重量比较,两者材料相同、长度相同，重量比即为横截面面积之比：,结论：,空心轴远比实心轴轻。,得:,注：圆轴合理截面设计：,1.宜将材料放置在离圆心较远的部位，即作成空心的.,2.平均半径愈大，壁厚愈小，即 愈大，切应力分布愈均匀.,但是若比值 过大，即管壁过薄，管在受扭时将产生 皱折现象（即局部失稳）而降低其抗扭能力。,例：一空心圆轴，内外径之比为 = 0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，

11、则其最大许可扭矩为的多少倍？(按强度计算),解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为1,8.5 圆轴扭转时的变形,一、圆轴扭转时的变形,两边积分得：,若T 为常量，则有：,抗扭刚度,二、圆轴扭转的刚度条件,1. 单位长度的扭转角：,2. 刚度条件：,阶梯形圆轴的直径d1=4cm，d2=7cm，轴上有三个皮带轮，轮3的输入功率为P3=30 KW，轮1的输出功率为P1=13 KW，轴的转速 n =200 r/min，试校核轴的强度、 刚度。,例,解：,（1）作扭矩图,x,621 N.m,1432 N.m,T,（2）校核强度,故强度合格。,

12、外力偶 Me1= 621 N.m Me3=1432 N.m,O,（3）校核刚度,刚度也满足要求。,例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？,8,16,例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为 d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅垂位移。,解：,例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。,解：,两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩M作用，试求杆两端的支座反力偶矩。,静力平衡方程为：,变形协调条件为：,得补充方程：,

13、例,解：,扭转静不定问题,8.6 非圆截面轴扭转简介,圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设 的基础上。,对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。,因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。,一、非圆截面杆在扭转时两种情形:,1.自由扭转或纯扭转,在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力,而没有正应力。,2.约束扭转,扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。,二、

14、矩形截面杆扭转理论简介,1. 矩形截面杆扭转变形,杆表面棱角处的切应变为零；而据侧面中线越近，切应变越大，在侧面的中线处，切应变最大。,2. 矩形截面杆截面剪应力分布,由弹性力学理论分析得，矩形截面杆自由扭转，截面上剪应力分布如图,(2)四个角点处的剪应力为零；,(1)截面边缘上各点的切应力平行于截面周边；,(3)矩形长边的中点处，切应力为最大，其计算公式为：,、为与截面边长比值 h/b 有关的系数。详见表91,(4)矩形短边的中点处切应力为：,3. 矩形截面杆扭转变形,两端相对扭转角：, 也是与截面边长比值 h/b有关的系数。,对狭长矩形：,三、开口薄壁杆件的自由扭转,开口薄壁杆件:如角钢、槽钢、工字钢等。壁厚远小于整个截面的高、宽尺寸,其截面中线是一条不封闭的折线。开口薄壁杆件在自由扭转时,截面要发生翘曲。,其中：,