1、,第六章 二次型,1 二次型及其矩阵表示,二次型的研究起源于解析几何中化二次曲面为标准形式的问题 解析几何中，二次曲线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2 + ny 2 = 0 定义：含有 n 个变量 x1, x2, , xn 的二次齐次函数称为二次型,令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是,对称阵,对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩,对称阵的 二次型,二次型 的矩阵,解,例,定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P 1AP = B ， 则称矩阵A
2、 和 B 相似（P.121定义7） 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足 CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同（P.129定义9）显然， BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵 R(B) = R(A) 经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩不变,2 二次型的标准形,对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即 f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形.,简记为 x =
3、C y ， 于是 f = xTAx = (C y)T A (C y)= yT (CTAC) y,若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即,问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵, （把对称阵合同对角化）,一、正交变换法,定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P 1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.130定理2.8）定理2.1：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + + ln yn2 其中 l1 , l2 , , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,二、配方法,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项 集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成 平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;,配方法的步骤,2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,
