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第7章 非线性方程求根.ppt

1、1,第7章 非线性方程求根,7.1 方程求根与二分法,7.1.1 引言,(1.1),本章主要讨论单变量非线性方程,的求根问题,这里,一类特殊的问题是多项式方程,(1.2),的求根问题,其中系数 为实数.,2,方程 的根 ,又称为函数 的零点, 它使 ,若 可分解为,其中 为正整数,且,当 时,称 为单根,若 称 为(1.1) 的 重根,或 为 的 重零点.,若 是 的 重零点,且 充分光滑,则,当 为代数多项式(1.2)时,根据代数基本定理 可知, 次方程在复数域有且只有 个根(含复根, 重 根为 个根).,时方程的根是大家熟悉的, 时虽有求,3,根公式但比较复杂,可在数学手册中查到,但已不适

2、合于 数值计算,而 时就不能用公式表示方程的根.,通常对 的多项式方程求根与一般连续函数方程 (1.1)一样都可采用迭代法.,迭代法要求先给出根 的一个近似,若 且 ,根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根,这时称 为方程(1.1)的有根区间. 通常可通过逐次搜索法求得方程(1.1)的有根区间.,例1 求方程 的有根 区间.,解 根据有根区间定义,对 的根进行搜索计 算,结果如下:,4,由此可知方程的有根区间为,5,7.1.2 二分法,考察有根区间 ,取中点 将它分为 两半,假设中点 不是 的零点,然后进行根的搜索.,检查 与 是否同号,如果确系同号,说明所 求的根 在 的右侧, 这时令

3、;否则 必 在 的左侧,这时令 . 见图7-1.,图7-1,6,不管出现哪一种情况,新的有根区间 的长度仅 为 的一半.,对压缩了的有根区间 又可施行同样的手续,即 用中点 将区间 再分为两半,然后通 过根的搜索判定所求的根在 的哪一侧,从而又确定一 个新的有根区间 ,其长度是 的一半.,如此反复二分下去,即可得出一系列有根区间,其中每个区间都是前一个区间的一半,因此 的长度,当 时趋于零,就是说,如果二分过程无限地继续 下去,这些区间最终必收缩于一点 ,该点显然就是所 求的根.,7,每次二分后,设取有根区间 的中点,作为根的近似值,则在二分过程中可以获得一个近似根的 序列,该序列必以根 为极

4、限.,由于,(1.3),只要二分足够多次(即 充分大),便有,这里 为预定的精度.,8,例2 求方程,在区间 内的一个实根,要求准确到小数点后第2 位.,解 这里 ,而,取 的中点 ,将区间二等分,由于 , 即 与 同号,故所求的根 必在 右侧,这时 应令 ,而得到新的有根区间,如此反复二分下去, 按误差估计(1.3)式, 欲使,9,只需 ,即只要二分6次,便能达到预定的精度.,计算结果如表7-1.,10,二分法是计算机上的一种常用算法,计算步骤为:,步骤1 准备 计算 在有根区间 端点处的 值,步骤2 二分 计算 在区间中点 处的值,步骤3 判断 若 ,则 即是根, 计算过程结束,否则检验.

5、,若 ,则以 代替 ,否则以代替 .,反复执行步骤2和步骤3,直到区间 长度小于,11,允许误差 ,此时中点 即为所求近似根.,12,7.2 迭代法及其收敛性,7.2.1 不动点迭代法,将方程(1.1)改写成等价的形式,(2.1),若要求 满足 ,则 ;反之亦然, 称 为函数 的一个不动点.,求 的零点就等价于求 的不动点,选择一个 初始近似值 ,将它代入(2.1)右端,即可求得,如此反复迭代计算,(2.2),13,称为迭代函数.如果对任何 ,由(2.2)得到 的序列 有极限,则称迭代方程(2.2)收敛,且 为 的不动点, 故称(2.2)为不动点迭代法.,上述迭代法是一种逐次逼近法,其基本思想

6、是将隐式 方程(2.1)归结为一组显式的计算公式(2.2),就是说, 迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.,方程 的求根问题在 平面上就是要确定曲 线 与直线 的交点,对于 的某个近似值 ,在曲线 上可确定 一点 ,它以 为横坐标,而纵坐标则等于,14,过 引平行 轴的直线,设此直线交直线 于点 , 然后过 再作平行于 轴的直线,它与曲线 的 交点记作 ,则点 的横坐标为 ,纵坐标则等于,图7-2,15,例3 求方程,(2.3),在 附近的根,解 设将方程(2.3)改写成下列形式,按图7-2中箭头所示的路径继续做下去,在曲线 上得到点列 ,其横坐标分别为依公式 求得的迭代值,如果点列 趋向于

7、点 ,则相应的迭代值 收敛 到所求的根,据此建立迭代公式,16,各步迭代的结果见表7-2.,如果仅取6位数字,那么结果 与 完全相同,这时可 以认为 实际上已满足方程(2.3),即为所求的根.,17,但若采用方程(2.3)的另一种等价形式,建立迭代公式,仍取迭代初值 ,则有,结果会越来越大,不可能趋于某个极限. 这种不收敛的迭 代过程称作是发散的. 一个发散的迭代过程,纵使进行了 千百次迭代,其结果也是毫无价值的.,18,7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性,首先考察 在 上不动点的存在唯一性.,定理1 设 满足以下两个条件:,1 对任意 有,2 存在正常数 ,使对任意 都有,(2.4)

8、,则 在 上存在唯一的不动点,证明 先证不动点存在性.,若 或 ,显然 在 上存在 不动点.,因 ,以下设 及 ,定,19,义函数,显然 ,且满足 ,由连续函数性质可知存在 使 ,即 即为 的不动点.,再证唯一性.,设 都是 的不动点,则由(2.4)得,引出矛盾. 故 的不动点只能是唯一的. 证毕.,20,定理2 设 满足定理1中的两个条件,则 对任意 ,由(2.2)得到的迭代序列 收敛到的不动点 ,并有误差估计,(2.5),证明 设 是 在 上的唯一不动点, 由条件1,可知 ,再由(2.4)得,因 ,故当 时序列 收敛到 .,再证明估计式(2.5),由(2.4)有,(2.6),21,反复递推

9、得,于是对任意正整数 有,在上式令 ,注意到 即得式(2.5).证毕.,迭代过程是个极限过程. 在用迭代法实际计算时,必 须按精度要求控制迭代次数.,22,误差估计式(2.5)原则上可用于确定迭代次数,但它 由于含有信息 而不便于实际应用.,根据式(2.6),对任意正整数 有,在上式中令 知,由此可见,只要相邻两次计算结果的偏差 足够小即可保证近似值 具有足够精度.,对定理1和定理2中的条件2,在使用时如果 且对任意 有,23,(2.7),则由中值定理可知对 有,表明定理中的条件2可用(2.7)代替.,例3中,当 时, ,在区间 中, ,故(2.7)成立.,又因 ,故定理1中条件1也成立. 所

10、以迭代法是收敛的.,而当 时, 在区间 中 不满足定理条件.,24,7.2.3 局部收敛性与收敛阶,上面给出了迭代序列 在区间 上的收敛性, 通常称为全局收敛性. 定理的条件有时不易检验,实际应 用时通常只在不动点 的邻近考察其收敛性,即局部收 敛性.,定义1 设 有不动点 ,如果存在 的某个邻域,对任意 ,迭代(2.2)产生的序列,且收敛到 ,则称迭代法(2.2)局部收敛.,定理3 设 为 的不动点, 在 的某个邻 域连续,且 ,则迭代法(2.2)局部收敛.,证明 由连续函数的性质,存在 的某个邻域 ,使对于任意 成立,25,此外,对于任意 ,总有 ,这是因为,于是依据定理2可以断定迭代过程

11、 对于任意 初值 均收敛. 证毕.,讨论迭代序列的收敛速度.,例4 用不同方法求方程 的根,解 这里 ,可改写为各种不同的等价形 式 ,其不动点为 由此构造不同的迭代法:,26,取 ,对上述4种迭代法,计算三步所得的结果如下表.,27,注意 ,从计算结果看到迭代法(1) 及(2)均不收敛,且它们均不满足定理3中的局部收敛条 件,迭代法(3)和(4)均满足局部收敛条件,且迭代法 (4)比(3)收敛快,因在迭代法(4)中 .,28,定义2 设迭代过程 收敛于方程 的根 ,如果迭代误差 当 时成立下列 渐近关系式,则称该迭代过程是 阶收敛的. 特别地, 时称线性收 敛, 时称超线性收敛, 时称平方收

12、敛.,定理4 对于迭代过程 ,如果 在所 求根 的邻近连续,并且,(2.8),则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的.,29,证明 由于 ,据定理3立即可以断定迭代过 程 具有局部收敛性.,再将 在根 处做泰勒展开,利用条件(2.8), 则有,注意到 ,由上式得,因此对迭代误差,当 时有,(2.9),这表明迭代过程 确实为 阶收敛. 证毕.,30,上述定理说明,迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数的选取. 如果当 时 ,则该迭代过 程只可能是线性收敛.,在例4中,迭代法(3)的 ,故它只是线性收敛,而迭代法(4)的 ,而 由定理4知 ,即该迭代过程为2阶收敛.,31,7.3 迭代收敛的加速方法,7.3

13、.1 埃特金加速收敛方法,设 是根 的某个近似值,用迭代公式校正一次得,由微分中值定理,有,其中 介于 与 之间.,假定 改变不大,近似地取某个近似值 ,则有,(3.1),若将校正值 再校正一次,又得,32,由于,将它与(3.1)式联立,消去未知的 ,有,由此推知,在计算了 及 之后,可用上式右端作为 的新近似, 记作 .,33,一般情形是由 计算 ,记,(3.2),(3.2)称为埃特金(Aitken)加速方法.,可以证明,它表明序列 的收敛速度比 的收敛速度快.,34,7.3.2 斯蒂芬森迭代法,埃特金方法不管原序列 是怎样产生的,对 进 行加速计算,得到序列 .,如果把埃特金加速技巧与不动

14、点迭代结合,则可得到 如下的迭代法:,(3.3),称为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法.,它的理解为,要求 的根 ,令 ,已知 的近似值 及 ,其误差 分别为,35,过 及 两点做线性插值函数,它与轴交点就是(3.3)中的 ,即方程,的解,实际上(3.3)是将不动点迭代法(2.2)计算两步合 并成一步得到的,可将它写成另一种不动点迭代,(3.4),36,其中,(3.5),定理5 若 为(3.5)定义的迭代函数 的不动点, 则 为 的不动点. 反之,若 为 的不动点,设存在, ,则 是 的不动点,且斯蒂 芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.,解 例3中已指出, 下列迭代,是发散的,现用(3.

15、3)计算,取 ,计算结果如 下表.,例5 用斯蒂芬森迭代法求解方程,37,计算表明它是收敛的,这说明即使迭代法(2.2)不收 敛,用斯蒂芬森迭代法(3.3)仍可能收敛. 至于原来已收 敛的迭代法(2.2),由定理5可知它可达到2阶收敛. 更进 一步还可知若(2.2)为 阶收敛,则(3.3)为 阶收 敛.,38,例6 求方程 在 中的解.,解 由方程得 ,取对数得,若构造迭代法,由于 , 且当 时, ,根据定理2此迭代法是收敛的.,若取 迭代16次得 ,有六位有效数 字.,若用(3.3)进行加速,计算结果如下 :,39,这里计算2步(相当于(2.2)迭代4步)结果与 相同, 说明用迭代法(3.3)的收敛速度比迭代法(2.2)快得多.,

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