[考研类试卷]2009年工程硕士（GCT）数学真题试卷及答案与解析.doc

1、2009年工程硕士（ GCT）数学真题试卷及答案与解析 一、选择题（ 25题，每小题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 如图，直角坐标系 xOy中的曲线是二次函数 y=f(x)的图像，则 f(x)=( ) （ A） -x2-6x-5 （ B） -x2G3+6x-5 （ C） x2+4x-5 （ D） x2-4x-5 2 （ A） 41 （ B） 1681 （ C） 49 （ D） 2401 3 如图，长方形 ABCD， AB=a， BC=b(b a)若将长方形 ABCD绕 A点顺时 针旋转 90，则线段 CD扫过的面积 (阴影部分 )等于 ( )。

2、 （ A）   （ B）   （ C）   （ D）   4 若将正偶数 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16， 依次排成一行： 246810121416 则从左右数的第 101个数码是 ( ) （ A） 4 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 5 函数 y=f(x)是定义在 (-， +)上的周期为 3的周期函数，右图表示的是该函数在区间 -2， 1上的图像 ，则 的值等于 ( )。 （ A） -2 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 4 6 若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12，则这两数之差的绝对值等于( )。 （ A） 18

3、 （ B） 10 （ C） 9 （ D） 7 7 甲、乙两车分别从 A、 B两地同时相向开出，甲车的速度是 50km/h，乙车的速度是 40km/h，当甲车驶到 A， B两地路程的 ，再前行 50km时与乙车相遇， A， B两地的路程是非曲直 ( )km。 （ A） 210 （ B） 215 （ C） 220 （ D） 225 8 （ A）   （ B）   （ C）   （ D）   9 下图是我国古代的 “杨辉三角形 ”，按其数字构成规律，图中第八行所有 中误码填数字和等于 ( )。 （ A） 96 （ B） 128 （ C） 256 （ D） 312 10

4、 （ A）   （ B）   （ C）   （ D）   11 在直角坐标系中，若直线 y=kx与函数 的图像恰有 3个不同的交点，则众的取值范围是 ( )。 （ A） (-， 0) （ B） （ C） （ D） (2， +) 12 在边长为 10的正方 形 ABCD中，若按下图所画嵌入 6个边长一样的小正方形，使得 P， Q， M，四个顶点落在大正方形的边上，则这六具小正方形的面积之和是( )。 （ A）   （ B）   （ C）   （ D）   13 甲盒中有 200个螺杆，其中 A型的有 160个；乙盒中有 240个螺母

5、，其中 A型的有 180个，从甲乙两盒中任取一个零件，能配成 A型螺栓的概率为 ( )。 （ A）   （ B）   （ C）   （ D）   14 一个四面体木块的体积是 64cm3，若过聚在每个 顶点的三个棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4个 “角 ”(小四面体 )，则剩余部分的体积是 ( )。 （ A） 32cm3 （ B） 36cm3 （ C） 40cm3 （ D） 44cm3 15 设双曲线 的左，右焦点分别是 F1， F2。若 P是该双曲线右支上异于顶点的一点，则以线段 PF2，为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是 (

6、 )。 （ A）外离 （ B）相交 （ C）外切 （ D）内切 16 （ A） - （ B） -1 （ C） 0 （ D） 1 17 若 ，则函数 f(x)的最小值等于 ( )。 （ A） 2 （ B） 1 （ C） （ D） 0 18 （ A）   （ B）   （ C）   （ D）   19 设函数 g(x)在 x=0点某领域内有定义，若 成立，则 ( )。 （ A） x0 时， g(x)是 x的高阶无穷小量 （ B） g(x)在 x=0点可导 （ C） lim g(x)存在，但 g(x)在 x=0点不连续 （ D） g(x)在 x=0点连续，但不可导 2

7、0 （ A）   （ B）   （ C）   （ D）   21 若可导函数 f(x)满足 f(x)=f(x)=f2(x)，且 f(0)=-1，则在点 x=0的三阶导数 f(0) =( ) （ A） 6 （ B） 4 （ C） -4 （ D） -6 22 乙知 A=(aij)为 3阶矩阵， ATA=E(AT的转置矩阵， E是单位矩阵，若 (aij)=-1,b=(1 0 0)r，则方程组 AX=b的解 X=( ) （ A） (-1 1 0)r （ B） (-1 0 1)r （ C） (-1 -1 0)r （ D） (-1 0 0)r 23 不恒为零的函数 ( )

8、（ A）恰有 3个零点 （ B）恰有 2个零点 （ C）至 多有 1个零点 （ D）没有零点 24 若矩阵 ， A是 B的相似矩阵，则矩阵 A+E(E是单位矩阵 )是秩的( )。 （ A） 3 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 0 25 设向量 a1=(1 2 0)T， a2=(2 3 0)T， a3=(0 1 -1)T， =(3 5 k)T，若 可由 a1， a2， a3线性表示，则 k=( )。 （ A） 1 （ B） -1 （ C） -2 （ D） 2 2009年工程硕士（ GCT）数学真题试卷答案与解析 一、选择题（ 25题，每小题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，

9、只有一个选项符合题目要求。 1 【正确答案】 D 【试题解析】 考查的是二次函数的图像和解析式。由二次函数的图像开口向上，由二次项系数大于 0，故选项 A、 B错误：由函数图像过 (-1， 0)知选项 C错误，所以正确答案是 D选项。 2 【正确答案】 B 【试题解析】 考查的知识点是平方差公式和等差数列求和公式。由题可知，分子为 20102008+1=(2009+1)(2009-1)+1=20092-1+1=20092，分母等于 ，故原式等于 。所以正确的答案是 B选项。 3 【正确答案】 B 【试题解析】 面积计算题目。由题可知，阴影部分面积为所以正确的答案为 B选项。 4 【正确答案】

10、D 【试题解析】 从 2到 100的偶数列共有 6+108+11=97位数码，后面紧接着的偶数是分别是 102， 104，所以第 101位数码是 104的百位数字 1。所以正确答案是D选项。 5 【正确答案】 C 【试题解析】 周期函数题。由于函数 f(x)的周期是 3，所以 f(2009)=f(-)=-1， f(-3)=f(0)=1， f(4)=f(1)=2，故原式等于 。所以正确答案是 C选项 。 6 【正确答案】 A 【试题解析】 设这两个整数分别为 a， b，由题可知 a+b=152=30，a*b=122=144，所以 。所以正确的答案是 A选项。 7 【正确答案】 D 【试题解析】

11、设 A， B两地的距离是 xkm，由题可列出方程 ，易解出 x=225。故正确答案是 D选项。 8 【正确答案】 D 【试题解析】 三角函数题目。由题知 ，显然正确的结果为 D选项。 9 【正确答案】 B 【试题解析】 由二项式系数和公式 知，杨辉三角第8行的数字和等于 n=7时的二项式系数和，故结果为 27=128，选则 B选项。 10 【正确答案】 B 【试题解析】 11 【正确答案】 C 【试题解析】 由题知，当 时，直线 y=kx过点 (-3， 2)，与分段函数刚好有两个交点；当 时，直线 y=kx仅与函数的 y=2x-8分支有一个交点：当时，直线 y=kx与分段函数刚好有三个交点，符

12、合题意；当 k=2时，直线 y=kx与分段函数的 y=2x-8分支和 y=-2个有一个交点，共两个交点。综上可知，正确的结果是选项 C，此时直线 y=kx与函数图像刚好有三个交点。 12 【正确答案】 D 【试题解析】 平面几 何计算题目。过 Q作线段 QR垂直 DA交 DA于 R。设DM=b， DN=b，设 MN=c，则 。由图易知， DMN RNQ，故。又 MN=c， NQ=5c，所以 RQ=5b=10,RN=5a，容易解得 b=2。又5a+2b=10，所以 。从而可得六个小正方形的面积为故正确的答案是 D选项。 13 【正确答案】 A 【试题解析】 概率计算题目。由题知，能配成 A型螺栓

13、意味着从甲盒和乙盒中均取出的为 A型，所以概率为 。故正确的答案是 A选项。 14 【正确答案】 A 【试题解析】 由于每个小角与原四面体相似，且相 似比为 ，故小角的体积为整个四面体的 。故剩余部分的体积为 ，正确的答案是 A选项。 15 【正确答案】 C 【试题解析】 圆锥曲线问题。设点 P的坐标为 P(x,y)， PF2的中点为 M。根据双曲线的焦半径公式可得， |PF2|=ex-a，故两个圆的半径和为。又两个圆的圆心距离 ，利用容易计算可得 d2-s2=0，由此可以推出 d=s，所以两个圆外切。故正确的答案是 C选项。 16 【正确答案】 B 【试题解析】 极限运算。利用罗必达法则，易

14、得 。所以正确答案是 B选项。 17 【正确答案】 B 【试 题解析】 函数极值问题。令 ，易得 x=1，或者 x=4。当 0x 1时，；当 1 x 2时， ；当 x 2时 ；所以函数 f(x)的最小值是在 x=1处取得的，且 f(1)=1。故正确的答案是 B选项。 18 【正确答案】 C 【试题解析】 19 【正确答案】 A 【试题解析】 极限的性质。由题知。由高阶无穷小的定义，易知x0 时， g(x)是 x的高阶无穷小量。故正确答案是 A选项。 20 【正确答案】 C 【试题解析】 21 【正确答案】 A 【试题解析】 导数计算题目。由题知 f(x)=f(x)2，故 f(x)=2f(x)f

15、(x)=2f3(x)，进而可得， f(x)=6f2(x)f(x)=6f4(x)。所以 f(0)=6f4(0)=6，正确的答案是 A选项。 22 【正确答案】 D 【试题解析】 线性方程组问题。由题知 ATA=E，故矩阵 A满秩，方程组 AX=b必然有唯一的解。方程组两边同乘以 AT，得 ATAX=EX=X=ATb=AT(1 0 0)T。而AT(1 0 0)T=(a110 0)T=(-1 0 0)T，所以正确的答案是 D选项。 23 【正确答案】 C 【试题 解析】 行列式问题。由题知，又函数 f(x)不恒为零，故 f(x)至多为一次函数，即 f(x)至多有一个零点，所以正确的答案是 C选项。 24 【正确答案】 B 【试题解析】 矩阵的秩问题。 ，故矩阵 B的特征值为 =-1， -1， 1。因为。 A是 B的相似矩阵，故矩阵 A的特征值也为 =-1， -1， 1，从而矩阵 A+E的特征值为 =0， 0， 2，故其秩为 1，因此正确答案是 B选项。 25 【正确答案】 A 【试题解析】 有题知 ，易知 k=1,所以正确的答案是 A选项。