1、September 2010DEUTSCHE NORM Normenausschuss Bauwesen (NABau) im DINPreisgruppe 21DIN Deutsches Institut fr Normung e.V. Jede Art der Vervielfltigung, auch auszugsweise, nur mit Genehmigung des DIN Deutsches Institut fr Normung e.V., Berlin, gestattet.ICS 01.040.07; 07.040!$iXE“1705334www.din.deDDIN
2、18709-4Begriffe, Kurzzeichen und Formelzeichen in der Geodsie Teil 4: Ausgleichungsrechnung und StatistikConcepts, abbreviations and symbols in geodesy Part 4: Adjustment of observations and statisticsNotions, symboles et formules dans le domaine de la godsie Partie 4: Calculs dobservations et stati
3、stiqueAlleinverkauf der Normen durch Beuth Verlag GmbH, 10772 BerlinErsatz frDIN 18709-4:1984-01www.beuth.deGesamtumfang 58 SeitenDIN 18709-4:2010-09 2 Inhalt Seite Vorwort .3 1 Anwendungsbereich 4 2 Normative Verweisungen.4 3 Grundbegriffe (en: terms and definitions) .5 3.1 Beobachtung von Zufallsv
4、ariablen (en: observation of random variables) .5 3.2 Statistische Beschreibung von stetigen Zufallsvariablen (en: statistical description of continuous random variables) 8 3.3 Beobachtungsreihen fr stetige Zufallsvariable (en: series of observations of continuous random variables) 11 3.4 Beurteilen
5、de Statistik (en: statistical inference) .14 3.5 Normalverteilte Zufallsvariable (en: normal distributed random variables).18 3.6 Zufallsvektoren (en: random vectors) 21 3.7 normalverteilte Zufallsvektoren (en: normal distributed random vectors).25 3.8 Beziehungen zwischen zwei Zufallsvektoren (en:
6、relationships between two random vectors) 28 3.9 Abweichungen, Varianzen und Kovarianzen von Funktionen eines Zufallsvektors (Kovarianzfortpflanzung) (en: errors, variances and covariances of functions of a random vector)30 4 Modelle und Verfahren der Ausgleichungsrechnung (en: models and methods of
7、 adjustment theory)31 4.1 Bezeichnungen (en: notations) .31 4.2 Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung (en: general case of adjustment) (Gau-Helmert-Modell).34 4.3 Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen (en: parametric adjustment) (Gau-Markov-Modell“)36 5 Regression (en: regression)38 5.1 Bezeich
8、nungen (en: notations) .38 5.2 Regressionsmodelle (en: regression models).39 6 Transformation (en: transformation) 42 6.1 Bezeichnungen (en: notations) .42 6.2 Gebruchliche Transformationsmodelle (en: common transformation models) 44 6.3 2D-Transformationsparameter (en: 2D-transformation parameters)
9、 47 7 Zuverlssigkeit (en: reliability)49 7.1 Bezeichnungen (en: notations) .49 7.2 Zuverlssigkeitsmae (en: reliability measures).49 Anhang A (informativ) Geodtische Punktfelder (en: geodetic control stations) .52 Anhang B (informativ) Inversen symmetrischer Matrizen (en: inverses of symmetric matric
10、es) .54 Literaturhinweise .55 Stichwortverzeichnis.56 DIN 18709-4:2010-09 3 Vorwort Diese Norm wurde vom Normenausschuss Bauwesen (NABau), Fachbereich 3 Vermessungswesen, Geoinformation“, Arbeitsausschuss Geodsie“, NA 005-03-01 AA, erarbeitet. DIN 18709 Begriffe, Kurzzeichen und Formelzeichen in der
11、 Geodsie besteht aus: Teil 1: Allgemeines Teil 2: Ingenieurvermessung Teil 3: Seevermessung Teil 4: Ausgleichungsrechnung und Statistik Teil 5: Auswertung kontinuierlicher Messreihen Es wird auf die Mglichkeit hingewiesen, dass einige Texte dieses Dokuments Patentrechte berhren knnen. Das DIN und/od
12、er die DKE sind nicht dafr verantwortlich, einige oder alle diesbezglichen Patentrechte zu identifizieren. nderungen Gegenber DIN 18709-4:1984-01 wurden folgende nderungen vorgenommen: a) neuer Titel; b) Inhalt der Norm an aktuelle Entwicklungen angepasst und um die Abschnitte 5, 6 und 7 erweitert.
13、Frhere Ausgaben DIN 18709-4: 1984-01 DIN 18709-4:2010-09 4 1 Anwendungsbereich Diese Norm gilt fr die Verarbeitung, Auswertung und Beurteilung anfallender Daten in der Geodsie, soweit diese stochastischer Natur sind. Zweck dieser Norm ist es einerseits, den geodtischen Sprachgebrauch an Begriffe and
14、erer Disziplinen, soweit diese Begriffe bergeordnete Bedeutung erlangt haben, anzupassen. Andererseits werden jedoch, wo dies mglich ist, die in der Geodsie eingefhrten Begriffe beibehalten. Grundlagen dieser Norm sind die Standardwerke der Ausgleichungsrechnung und mathematischen Statistik, insbeso
15、ndere auch DIN V ENV 13005. 2 Normative Verweisungen Die folgenden zitierten Dokumente sind fr die Anwendung dieses Dokuments erforderlich. Bei datierten Verweisungen gilt nur die in Bezug genommene Ausgabe. Bei undatierten Verweisungen gilt die letzte Ausgabe des in Bezug genommenen Dokuments (eins
16、chlielich aller nderungen). DIN 1319-1:1995-01, Grundlagen der Messtechnik Teil 1: Grundbegriffe DIN 1319-3, Grundlagen der Messtechnik Teil 3: Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgre, Messunsicherheit DIN 1319-4, Grundlagen der Messtechnik Teil 4: Auswertung von Messungen; Messunsicherheit
17、 DIN 13303-1, Stochastik Wahrscheinlichkeitstheorie, Gemeinsame Grundbegriffe der mathematischen und der beschreibenden Statistik Begriffe und Zeichen DIN 18709-1, Begriffe, Kurzzeichen und Formelzeichen im Vermessungswesen Teil 1: Allgemeines DIN 55350-13, Begriffe der Qualittssicherung und Statist
18、ik Begriffe zur Genauigkeit von Ermittlungsver-fahren und Ermittlungsergebnissen DIN 55350-21, Begriffe der Qualittssicherung und Statistik Begriffe der Statistik Zufallsgren und Wahrscheinlichkeitsverteilungen DIN 18709-4:2010-09 5 3 Grundbegriffe (en: terms and definitions) Ab-schnitt Zeichen Bene
19、nnung Definition 3.1 Beobachtung von Zufallsvariablen (en: observation of random variables) 3.1.1 X L Messgre Zufallsgre en: random variable physikalische Gre, der die Messung gilt DIN 1319-1:1995-01 ANMERKUNG 1 Das Messen ist das Vergleichen eines quantitativen Merk-mals, d. h. der Messgre, mit ein
20、er als Maeinheit definierten Ausprgung dieses Merkmals, dem Normal (siehe 3.1.3, Anmerkung 1). Zufallsvariablen knnen auch nichtphysikalisch definiert sein (siehe Beispiel 1). BEISPIEL 1 Kaufpreise bei der Bewertung von Grundstcken. ANMERKUNG 2 Mathematische Definition (siehe DIN 13303-1). ANMERKUNG
21、 3 Ist die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen stetig, so wird die Zufallsvariable als stetig bezeichnet. Auch wenn die Auflsung eines Messinstrumentes, z. B. bedingt durch die digitale Anzeige, die Messwerte (siehe 3.1.3) diskretisiert, wird weiterhin von einer stetigen Zufallsvariablen ge-spr
22、ochen. ANMERKUNG 4 Eine Messgre muss nicht unmittelbar Gegenstand der Messung sein. Sie kann auch indirekt ber bekannte physikalische und/oder mathematische Beziehungen mit Gren zusammenhngen, die unmittelbar gemessen werden (siehe DIN 1319-1). BEISPIEL 2 In die elektrooptische Messung einer Strecke
23、 (Messgre) fliet nicht nur die Ablesung am Messgert ein. Zusatzinformationen ber den aktuellen Zustand der Atmosphre (Temperatur, Luftdruck, Luftfeuchtigkeit), Modellannahmen ber die Signalausbreitung in der Atmosphre und Kalibrierparameter werden darber hinaus bercksichtigt, um die gesuchte Messgre
24、 (Strecke) zu bestimmen. ANMERKUNG 5 Eine Zufallsvariable kann skalar oder mehrdimensional definiert sein. Vektorielle Zufallsvariablen werden durch fettgedruckte Buch-staben X bzw. L gekennzeichnet (siehe DIN 1303) und als Zufallsvektoren (siehe 3.6) bezeichnet. BEISPIEL 3 Die dreidimensionalen Koo
25、rdinaten einer satellitengesttzten Positionsbestimmung bilden eine vektorielle Messgre in einem anzugeben-den Koordinatensystem; die Komponenten dieses Vektors sind skalare Mess-gren. DIN 18709-4:2010-09 6 Ab-schnitt Zeichen Benennung Definition 3.1.2 Y Einflussgre en: influence quantity Gre, die ni
26、cht Gegenstand der Messung ist, jedoch die Messgreund die Auswertung beeinflusst DIN 1319-1:1995-01 ANMERKUNG 1 Fr die Auswertung von Messwerten (siehe 3.1.3) ist die Erfassung der relevanten Einflussgren notwendig. Soweit ihre Auswir-kungen auf die Messgre bekannt sind, werden diese Auswirkungen al
27、sKorrektionen oder Reduktionen (siehe DIN 1319-1) bercksichtigt. ANMERKUNG 2 Einflussgren knnen sowohl den Messvorgang als auch den augenblicklichen Zustand eines Messobjektes beeinflussen. In diesen Fllen sollte ber geeignete Auswerteverfahren zwischen der Wirkung der Ein-flussgren auf den Messvorg
28、ang und auf das Messobjekt getrennt werden. BEISPIEL 1 Die Stauhhe einer Talsperre (Ursache) bestimmt in hohem Mae die Durchbiegung einer Staumauer (Wirkung). Ohne Informationen ber die Stauhhe ist eine Beurteilung der Durchbiegung (Messgre) nicht mg-lich. ANMERKUNG 3 In den Fllen, in denen die Ausw
29、irkungen von Einfluss-gren auf eine Messgre nicht in Form einer Korrektion oder Reduktion (siehe DIN 18709-1) bercksichtigt werden knnen, sollte die Messanordnungderart gestaltet werden, dass sich die Auswirkungen durch Messungshufung und Mittelbildung mindern (Randomisierung), oder dass die Auswirk
30、ungen durch mess- und auswertetechnische Manahmen kompensiert werden. BEISPIEL 2 Beim Nivellement wird durch die Messanordnung aus der Mitte“ der Einfluss der nivellitischen Refraktion und von Restabweichungen der Kalibrierung im Messergebnis weitestgehend beseitigt. 3.1.3 xiliBeobachtungs-wert Mess
31、wert en: observed value Einzelwert aus einer Beobachtungsreihe (siehe 3.1.5) fr eine Zufalls-variable (siehe 3.1.1), im speziellen Einzelwert aus einer Beobachtungs-reihe fr eine Messgre ANMERKUNG 1 Der Messwert ist das Produkt aus der Maeinheit und dem Zahlenwert, der angibt, wie oft die Maeinheit
32、in der Messgre enthalten ist. Das Anbringen von Korrektionen und Reduktionen (siehe DIN 18709-1) an einen Beobachtungswert ndert nicht dessen Charakter. ANMERKUNG 2 Der Beobachtungswert setzt sich aus dem wahren Wert X(siehe 3.2.5) und der wahren Abweichung i (siehe 3.3.2) bzw. dem wahren Wert Xund
33、der zuflligen Abweichung i (siehe 3.3.1) sowie der systema-tischen Abweichung (siehe 3.2.6) zusammen: ix = X+ i = X+ + i DIN 18709-4:2010-09 7 Ab-schnitt Zeichen Benennung Definition 3.1.4 x XMessergebnis en: result of measurement aus Messungen gewonnener Schtzwert fr den wahren Wert einer Messgre D
34、IN 1319-1:1995-01 ANMERKUNG 1 Das Messergebnis einer durch wiederholte Messung erfas-sten Messgre ist in der Regel das arithmetische Mittel aus den von syste-matischen Einflssen befreiten Messwerten. ANMERKUNG 2 Das Messergebnis kann skalar x oder mehrdimensional xdefiniert sein (siehe 4.1.10). ANME
35、RKUNG 3 Zu einem vollstndigen Messergebnis (siehe 3.3.9) gehrt die Angabe der Messunsicherheit (siehe 3.3.10). ANMERKUNG 4 In DIN V ENV 13005 wird zwischen unberichtigtem und wegen systematischer Messabweichungen berichtigtem Messergebnis unter-schieden. Ein Messergebnis nach dieser Norm wird immer
36、als berichtigtes Messergebnis bewertet. 3.1.5 Beobach-tungsreihe Messreihe en: series of observations Folge gleichartiger Beobachtungs- bzw. Messwerte , 1, 2, , ix i = n K(siehe 3.1.3) fr eine Zufallsvariable X (siehe 3.1.1) ANMERKUNG Eine Beobachtungsreihe kann unter Wiederholbedin-gungen (siehe 3.
37、2.14) oder unter Vergleichsbedingungen (siehe 3.2.15) ermittelt werden. 3.1.6 n Umfang einer Beobach-tungsreihe en: size of a series of obser-vations Anzahl der Beobachtungswerte einer Beobachtungsreihe (siehe 3.1.5)3.1.7 f , r Anzahl der Freiheitsgrade en: number of degrees of freedom Anzahl der be
38、rschssigen Beobachtungen ANMERKUNG 1 Bei der Ermittlung des Mittelwertes x nach 3.3.3 aus einer Beobachtungsreihe (siehe 3.1.5) (mit unbekanntem X , siehe 3.2.4) mit dem Umfang n gilt f = n 1. ANMERKUNG 2 Die Anzahl der Freiheitsgrade wird in 7.2.1 als Redundanz r bezeichnet, in DIN V ENV 13005 hing
39、egen als . 3.1.8 Messgenauig-keit en: accuracy of observations qualitative Bezeichnung fr das Ausma der Annherung eines Messer-gebnisses (siehe 3.1.4) an den gesuchten Wert (siehe DIN 55350-13) ANMERKUNG 1 Bei Messgren ist der gesuchte Wert der wahre Wert X(siehe 3.2.5). ANMERKUNG 2 Sofern Missverst
40、ndnisse nicht zu erwarten sind, kann die Messgenauigkeit auch als Genauigkeit“ bezeichnet werden. ANMERKUNG 3 Je hher die Messgenauigkeit, desto kleiner ist die Messun-sicherheit (siehe 3.3.10). ANMERKUNG 4 Nach DIN 55350-13 wird die Benennung Genauigkeit“ nur als qualitatives Merkmal verwendet. DIN
41、 18709-4:2010-09 8 Ab-schnitt Zeichen Benennung Definition 3.2 Statistische Beschreibung von stetigen Zufallsvariablen (en: statistical description of continuous random variables) 3.2.1 F(x) G(x) Verteilungs-funktion en: distribution function Funktion, welche fr jedes x die Wahrscheinlichkeit P ergi
42、bt, dass eine Zufallsvariable X nicht grer als x ist (siehe DIN 55350-21) ( ) ( )Fx PX x= ANMERKUNG Wahrscheinlichkeit P (siehe DIN 13303-1). 3.2.2 xp p-Quantil en: p-quantile Wert, fr den die Verteilungsfunktion einen vorgegebenen Wert pannimmt (siehe DIN 13303-1 und DIN 55350-21) ( ) ( )ppFx PX x
43、p= = 3.2.3 f(x) g(x) Wahrschein-lichkeits-dichte en: probability density erste Ableitung der Verteilungsfunktion (siehe Bild 1 und DIN 55350-21) xxFxfd)(d)( = Bild 1 Wahrscheinlichkeitsdichte ANMERKUNG Mittels der Wahrscheinlichkeitsdichte kann die Wahrscheinlich-keit P angegeben werden, mit der ein
44、e Zufallsvariable X in ein differentielles Intervall an der Stelle x fllt: ( ) ( )Px X x x f x x 0: ( )lim ( ) 0nPx EX = ANMERKUNG 3 Der wahre Wert (siehe 3.2.5) sollte nicht mit dem Erwar-tungswert als Grenzwert des Mittelwertes mit unendlich groem Umfang n der Beobachtungsreihe verwechselt werden.
45、 3.2.5 Xwahrer Wert en: true value tatschlicher Wert einer Zufallsvariablen X (siehe 3.1.1) zum Zeitpunkt der Beobachtung ANMERKUNG 1 Der wahre Wert kann skalar oder mehrdimensional definiert sein. DIN 18709-4:2010-09 9 Ab-schnitt Zeichen Benennung Definition ANMERKUNG 2 Eine Zufallsvariable kann so
46、 definiert sein, dass fr sie kein wahrer Wert existiert. BEISPIEL 1 Die Zufallsvariable Verkehrswert in /m2eines Wohngrund-stckes in mittlerer Lage“ besitzt einen Erwartungswert, der nach 3.2.4 als Mittel aus Kaufpreisen geschtzt werden kann; von einem wahren Wert kann in diesem Fall jedoch nicht ge
47、sprochen werden. ANMERKUNG 3 Der wahre Wert einer Zufallsvariablen bleibt in der Regel unbekannt, wenn er nicht aus theoretischen berlegungen hergeleitet werden kann. BEISPIEL 2 Winkelsumme im Dreieck. 3.2.6 systematische Abweichung systematischer Fehler, syste-matische Mess-abweichung en: systemati
48、c error/bias XX)(E = ANMERKUNG 1 Eine systematische Abweichung hat ihre Ursache z. B. in Unvollkommenheiten der Messinstrumente oder des Beobachtungsverfah-rens; sie ist in allen Beobachtungswerten (siehe 3.1.3) einer Beobachtungs-reihe (siehe 3.1.5) grundstzlich enthalten (siehe DIN 1319-1). ANMERK
49、UNG 2 Mglichkeiten zum Aufdecken systematischer Abweich-ungen ergeben sich aus einer erneuten Messung unter Benutzung eines an-deren Messverfahrens, eines anderen Messinstrumentes bzw. der Wieder-holung unter ueren Vergleichsbedingungen (siehe 3.2.15). 3.2.7 grober Fehler Irrtum en: gross error durch Irrtum des Beobachters (z. B. Verwechslungen
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