1、Rec. UIT-R TF.538-3 1Caractrisation des sources et de la formation des chelles de tempsRECOMMANDATION UIT-R TF.538-3MESURES DE LINSTABILIT ALATOIRE DE FRQUENCE ET DE TEMPS (PHASE)(Question UIT-R 104/7)(1978-1990-1992-1994)Rec. UIT-R TF.538-3LAssemble des radiocommunications de lUIT,considranta) quil
2、 convient dutiliser des paramtres appropris pour reprsenter les caractristiques dinstabilit des sourcesde frquences talon et de temps ainsi que des systmes de mesure;b) que le calcul classique de variance ne converge pas pour certaines catgories dinstabilits alatoires de tempset de frquence;c) que l
3、es principaux laboratoires, observatoires, industriels et utilisateurs ont dj adopt certainesRecommandations du Sous-Comit sur la stabilit de frquence du Comit technique sur la frquence et le temps de laSocit IEEE sur linstrumentation et la mesure, et quil existe la Norme No1139-1988 de lIEEE: Dfini
4、tionsnormalises de lIEEE, Grandeurs physiques pour la mtrologie fondamentale des frquences et du temps;d) que les mesures dinstabilit de frquence doivent reposer sur des principes thoriques solides, commodes appliquer et faciles interprter directement;e) quil est souhaitable davoir des mesures dinst
5、abilit qui puissent tre obtenues avec une instrumentationsimple;f) quil nexiste pas de critre de mesure accept et appropri de linstabilit temporelle de la grandeur temps dansles horloges et dans les systmes de mesure de comparaison et de diffusion;g) quun critre de mesure de linstabilit du temps, po
6、ur des variations alatoires, a t dcouvert qui permet deremdier linadquation existante tant pour lindustrie des tlcommunications que pour les systmes de mesure, decomparaison et de diffusion du temps et des frquences ainsi que les horloges,recommande1. que les instabilits alatoires des signaux de frq
7、uences talon et des signaux horaires soient caractrises parles mesures statistiques Sy( f ), S( f ) ou Sx( f ) dans le domaine frquentiel, et y(), Mod. y() et x() dans le domainetemporel, dfinies ci-aprs:1.1 dans le domaine frquentiel, la mesure des instabilits de frquence normes y(t) est Sy( f ); c
8、est-dire ladensit spectrale unilatrale (0 fh(6)o les valeurs de hsont des constantes, celles de sont des nombres entiers et fhest la frquence de coupure suprieuredun filtre passe-bas. Les formules (3), (4) et (5) sont correctes et cohrentes pour les bruits stationnaires, y compris lebruit de phase.
9、On limine la divergence pour les hautes frquences par le filtrage introduit dans la formule (6).Lidentification et la caractrisation des cinq processus de bruit sont indiques dans le Tableau 1 et reprsentes sur laFig. 1. En pratique, deux ou trois processus de bruit seulement suffisent habituellemen
10、t dcrire les fluctuations defrquence alatoires dun oscillateur donn; les autres peuvent tre ngligs.3. Domaine temporelLinstabilit alatoire de frquence dans le domaine temporel peut tre dfinie par des variances dchantillon.La mesure recommande est lcart type deux chantillons, qui est la racine carre
11、de la variance deux chantillons temps mort nul 2y():2y() = 1/2 (7)o:yk= 1tktk + y(t) dt = xk + 1 xket tk + 1= tk+ (chantillons adjacents)indique une moyenne calcule sur un temps infini. Lexpression (7) est souvent appele la variance dAllan. xketxk + 1sont des mesures rsiduelles de temps effectues au
12、x instants tket tk + 1= tk+ , avec k = 1, 2, . et 1/ tant letaux dchantillonnage fixe qui donne un temps mort nul entre les mesures de frquence. Par le terme rsiduelles, onentend que les effets systmatiques connus sont limins.4 Rec. UIT-R TF.538-3Si lon dfinit le taux dchantillonnage initial par 1/0
13、, en gnral on peut obtenir une meilleure valuation dey() en utilisant ce quon appelle une valuation de recouvrement. Cette valuation est obtenue au moyen delexpression (8):2y() = 12(N 2n) 2i = 1N 2n(xi + 2n 2xi + n+ xi)2(8)o N est le nombre de mesures des carts de temps espaces de 0(N = M + 1 o M es
14、t le nombre de mesures defrquence de dure dchantillon 0) et = n 0.Sil existe un temps mort entre les mesures dcart de frquence et si on ne tient pas compte de ce fait lors ducalcul de lexpression (7), on a montr que les valeurs de stabilit quon a dtermines (qui ne sont plus des variancesdAllan), ser
15、ont biaises (sauf pour le bruit blanc de frquence) tant donn que les mesures de frquence ont tregroupes pour valuer la stabilit pour n 0(n 1). Ce biais a t tudi et des tables pour sa correction, publies.Sil nexiste pas de temps mort, on peut utiliser les termes yipour crer un ensemble de yk:yk= 1ni
16、= kk + n 1yiTABLEAU 1Caractristiques fonctionnelles des cinq processus de bruitindpendants pour linstabilit de frquence des oscillateursCaractristiques de pentes de la courbe log logDescription du processus de bruitDomaine frquentiel Domaine temporelSy( f ) S( f ) ou Sx( f ) 2y() Mod. 2y() 2x() 2 Br
17、uit de frquence marche alatoire 2 4113Bruit de scintillation de frquence 1 3 0 0 2Bruit blanc de frquence 0 2 1 1 1Bruit de scintillation de phase 1 1 2 2 0Bruit blanc de phase 2 0 2 3 1Sy( f ) = hf = 1, 2 (12)o (dx/dt) = y et = n 0. Par consquent, x est lcart temporel; les crochets indiquent une mo
18、yenne calcule surun temps infini. La barre surmontant x indique une moyenne calcule sur un intervalle . x est donc une estimationoptimale de lcart de temps sur lintervalle en supposant que les carts ont un spectre blanc. Les trois moyennesutilises dans lquation aux diffrences du second ordre sont ad
19、jacentes. Par consquent, pour une valeur donne de kdans lquation aux diffrences du second ordre, ces moyennes couvrent un intervalle de temps de 3.Les relations entre la densit spectrale et le domaine temporel sont les suivantes:Sx( f ) f 2x() (13) = 1Etant donn que les types habituels de bruit de m
20、esure sont centrs autour de = 0, on obtient une dpendanceproche de zro vis-vis de (caractristique souhaitable pour une bonne mesure). Il existe dautres caractristiquesutiles de cette mesure: elle est gale lcart type classique des mesures de diffrence de temps pour = 0, pour le processus debruit dit
21、bruit blanc de phase; elle est gale lcart type de la moyenne des mesures de diffrence de temps pour = N 0(longueur desdonnes) pour le processus de bruit dit bruit blanc de phase;Rec. UIT-R TF.538-3 7 elle est convergente et conduit de bons rsultats pour les processus alatoires que lon rencontrecoura
22、mment en mtrologie temporelle et frquentielle; la dpendance vis-vis de indique le modle de densit spectrale de loi de puissance adapt auxdonnes; lamplitude de x(), pour une valeur particulire de et en prenant pour hypothse lun des cinq modlesde densit spectrale de loi de puissance ( = 4, 3, 2, 1, 0)
23、, permet dobtenir suffisamment dlmentsdinformation pour valuer le niveau correspondant dans le domaine frquentiel de nimporte quellemesure normalise de densit spectrale recommande par lIEEE.Le problme de lestimation de la stabilit dune horloge partir de mesures comparatives a t tudi. Onpropose un mo
24、dle gnral et cohrent relatif aux mesures de diffrence de signaux sans supposer a priori quil ny a pasde corrlation entre les horloges.4. Conversion entre les domaines frquentiel et temporelEn rgle gnrale, si la densit spectrale de la fluctuation de la frquence norme Sy( f ) est connue, on peutcalcul
25、er la variance deux chantillons en utilisant les expressions suivantes:2y() = 2 0fhSy( f ) sin4 (pi f )(pi f )2df (14)Mod. 2y() = 2 0fhSy( f ) sin6 (pi f )(n pi f )2sin2(pi f 0)df (15)et:2x() = 830fhSx( f ) sin6 (pi f )n2sin2(pi f 0)df (16)Plus prcisment, en ce qui concerne le modle en loi de puissa
26、nce donn par lexpression (6), la mesure dansle domaine temporel suit galement une loi de puissance partir des expressions (6) et (11):2y() = h2(2pi)26 + h12 loge2 + h012+ h11,038 + 3 loge(2pi fh)(2pi)22+ h23fh(2pi)22(17)Les valeurs de hsont des caractristiques du bruit de frquence de loscillateur. O
27、n remarquera que pour lesvaleurs entires de (comme cest semble-t-il souvent le cas), on a = 1 pour 3 1 2 pour 3 1avec:2y() Ces relations de conversion ont t vrifies exprimentalement et par le calcul. Le Tableau 2 donne lescoefficients de la conversion entre les mesures de la stabilit de frquence, du
28、 domaine temporel au domaine frquentielet du domaine frquentiel au domaine temporel.8 Rec. UIT-R TF.538-3TABLEAU 2Conversion des mesures de stabilit de frquence entre les densits spectralesdans le domaine frquentiel et la variance dans le domaine temporel et vice versa (pour 2pi fh 1)Description du
29、processus de bruit2y() =Sy( f ) = S( f ) = Sx( f ) =Bruit de frquence marchealatoireA f 2Sy( f ) 1 1A 12y() f 2 v20A 12y() f 43,636A 32x() f 4Bruit de scintillation de frquenceB f Sy( f ) 0 1B22y() f 1 v20B02y() f 30,741AB 22x() f 3Bruit blanc de frquenceC f 0Sy( f ) 1 1C22y() f 0 v20C12y() f 21AC12
30、x() f 2Bruit de scintillation de phaseD f 1Sy( f ) 2 1D22y() f 1 v20D22y() f 10,89 0 2x() f 1Bruit blanc de phaseE f 2Sy( f ) 2 1E22y() f 2 v20E22y() f 010fh 2x() f 0A = 4pi26D = 1,038 + 3 loge(2pi fh)4pi2B = 2 loge2E = 3 fh4pi2C = 1/2Les caractristiques de pente des cinq processus de bruit indpenda
31、nts sont reprsentes dans les domainesfrquentiel et temporel sur la Fig. 1 (chelles logarithmiques).5. Limites de confiance des mesures dans le domaine temporelPour un bruit de type gaussien, lintervalle de confiance (ou la limite derreur) dune valeur particulire de y()obtenue partir dun nombre fini
32、dchantillons est donn par lexpression ci-dessous (les estimations ne se recouvrantpas):Intervalle de confiance I y() M1/2pour M 10 (18)o:M : nombre total de mesures utilises pour lestimation : valeur dfinie dans le paragraphe prcdent2= 1= 0,990= 0,871= 0,772= 0,75.Rec. UIT-R TF.538-3 9A titre dexemp
33、le, pour un modle gaussien avec M = 100, = 1 (bruit de scintillation de frquence) ety( = 1 s) = 1012, on peut crire:I y() M1/2= y() (0,77) (100)1/2= y() (0,077) (19)ce qui donne:y( = 1 s) = (1 0,08) 1012(20)Une autre mthode destimation incluant notamment le temps mort entre paires de mesures a galem
34、ent tmise au point. Elle fait apparatre linfluence de lautocorrlation des fluctuations de frquence.Les intervalles de confiance ci-dessus sappliquent des estimations sans recouvrement. Dans le casdestimations avec recouvrement, lintervalle de confiance est plus petit et peut tre calcul.Le biais qui
35、rsulte de lapplication de la variance deux chantillons des intervalles de temps obtenus parconcatnation de plusieurs mesures successives avec temps mort a t dtermin en fonction du type de bruit. Ce biaispeut tre important.Leffet de la nature du filtrage analogique qui limite la puissance de bruit du
36、 signal tudi autour de safrquence nominale a t dtermin, en particulier en ce qui concerne lutilisation dun filtre passe-bas au lieu du filtrepasse-bande centr sur la frquence nominale.Les degrs de libert (d.f.) pour les estimations avec recouvrement sont thoriquement calculs et font lobjetde courbes
37、 pour des spectres du type lois de puissance pour estimer lintervalle de confiance de lcart-type deuxchantillons. Lintervalle de confiance pour lcart type deux chantillons, y() est:(d.f.) 2y()P1 y() (d.f.) 2y()P2(21)o:P1, P2:valeurs en percentile pour la distribution 2signe : variance deux chantillo
38、ns estime ou mesure pour un ensemble fini.Pour = +2, lamlioration du degr de libert est presque n fois meilleure que pour le cas de lestimationsans chevauchement. On obtient aussi une amlioration importante pour = +1. Pour = 0, le rapport pour les degrsde libert est de 2; pour = 1, il est de 1,3 et
39、pour = 2, il est de 1,04.6. ConclusionLes mthodes statistiques qui permettent de dcrire linstabilit de frquence et de phase ainsi que le modlecorrespondant de densit spectrale en loi de puissance suffisent dcrire linstabilit court terme de loscillateur. Lesexpressions (14) (16) montrent que la densi
40、t spectrale peut tre convertie, sans introduire aucune ambigut en unemesure temporelle. Toutefois, linverse nest pas vrai dans tous les cas, mais il est vrai pour les spectres loi de puissancesouvent utiliss pour tablir des modles doscillateurs de prcision.Le modle dcrit ne traite pas les variations non alatoires. Elles peuvent tre soit priodiques, soitsystmatiques. Les variations priodiques devront tre analyses grce aux mthodes connues danalyse harmonique.Quant aux variations systmatiques, elles sont dcrites par une drive linaire ou dun ordre suprieur._
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