[考研类试卷]工程硕士（GCT）数学模拟试卷161及答案与解析.doc

1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 161 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 ab1，且满足 2a2+2008a+3=0 和 3b2+2008b+2=0，则( )（A）3a-2b=0（B） 2a 一 3b=0（C） 3a+2b=0（D）2a+3b=02 一个容器中盛有纯酒精 10 升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次倒出同样的升数，再用水加满，这时容器中酒精的浓度是 36，则每次倒出的溶液为( )（A）4 升（B） 5 升（C） 7 升（D）8 升3 某产品由甲、乙两种原料混合而成，甲、乙两种原料所

2、占比例分别为 x 和 y，当甲的价格在 60 元的基础上上涨 10，乙的价格在 40 元的基础上下降 10时，该产品的成本保持不变，那么 x 和 y 的值分别为( )（A）50，50（B） 40，60（C） 60，40（D）45，554 如图 1 所示，已知在梯形 ABCD 中，AD BC，LB=45，LC=120，AB=8 ，则CD 长为( )（A）（B）（C）（D）5 已知不等式 ax2+bx+20 的解集为 ，则 a-b=( )（A）-4（B） 14（C） -10（D）106 已知复数 z 满足 ，则1+z=( )（A）0（B） 1（C）（D）27 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折

3、起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( )（A）90（B） 60（C） 45（D）308 实数 a，b， c，d 满足 c0，d0，在圆 x2+y2=r2 属第一象限部分的任意点作圆的切线，切线被两坐标轴截下的线段长度的最小值是( )（A）r（B）（C）（D）2r15 已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于( )。（A）（B）（C）（D）16 设 f(x)的定义域是-1 ， 0，则 的定义域是( )（A）（B） -1,0（C）（D）17 设 f(x)的导数为

4、 lnx，则 f(x)的一个原函数是( )（A）（B）（C） xlnx-x（D）18 设 ，则( )（A）I0，若 存在，则( )（A）在(0 ，+)内 f(x)0（B）在 (0，+)内 f(x)0，在(1，+) 内 f(x)022 矩阵 的秩为( )（A）3（B） 4（C） 2（D）123 设 1,2,3 线性无关，则( )也线性无关（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+2（C） 1+22,22+33,33+1（D） 1+2+3，2 1 一 32+223，3 1+52 一 5324 设 A 为 n 阶方阵，r(A)=n 一 3，且 1,2,3 是 AX=

5、0 的 3 个线性无关的解向量，则 AX=0,的基础解系为( )。（A） 1+2， 2+3， 3+1（B） 2 一 1， 3 一 2， 1 一 3（C） 221， 3 一 2， 1 一 3（D） 1+2+3， 3 一 2，一 1 一 2325 已知矩阵 是 A 的一个特征向量，则口所对应的特征值是( ) 。（A）1（B） -1（C） 2（D）-2工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 161 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题可以使用解方程的方法解出结果，但是太复杂，如果利用整式的

6、相关公式和分解因式很容易解决，第一个式子乘以 2 减去第二个式子乘以 3 可得到，4a 2+22008a 一 9b232008b=(2a 一 3b)(2a+2b+2008)=0 从而有 2a 一3b=0排除法：从两个表达式中容易看出 a，b 都是负数，所以 CD 不行，又容易看出相对来讲 a 的绝对值比 b 的绝对值要大，所以选择 B。2 【正确答案】 A【试题解析】 设每次倒出 x 升溶液第一次倒出 x 升后，容器内有纯酒精(10 一 x)升，再加入 x 升水后，容器内酒精溶液的浓度是 第二次倒出 x 升后，容器内所剩(10 一 x)升酒精溶液中纯酒精为 则有整理，得(10 一 x)2=36

7、，解得 x=4 或 x=16(舍去)故选 A。3 【正确答案】 B【试题解析】 每生产一单位的产品，需要甲原料和乙原料分别是 x 和 y，其成本为 60x+40y当甲、乙原料的价格改变后，其成本为 66x+36y；所以60x+40y=66x+36y，从而得 x：y=2：3，故 x=40，y=60故选 B。4 【正确答案】 A【试题解析】 分别过点 A、D 作 AEBC，DFBC，与 BC 及其延长线交于点E、F 在 RtABE 中，AB=8，B=45AE=ABsinB= 因为ADBCAE=DF ，DF= ，DFC=90CDsin DCF=DF又因为DCF=180一 DCB=180一 120=6

8、0。 故选 A。5 【正确答案】 C【试题解析】 ax 2+bx+2=0 的两个根为 ，代入方程可以求得解方程组：a=一 12，b= 一 2 所以 ab=一 10，选 C。6 【正确答案】 C【试题解析】 由原式，1 一 x=i+iz，得 故 所以故选 C。7 【正确答案】 C【试题解析】 当作为侧面的三角形 ADC 垂直于作为底面的三角形 ABC 时，三棱锥的高最大，此时三棱锥的体积也最大过 D 点作 DOAC，连接DBO 即为直线 BD 和平面 ABC 所成的角因为 ，所以 DBO=45故选C。8 【正确答案】 D【试题解析】 特殊值法，取 d=一 1，c=1，b=3 ，a=9，则选 D(

9、先选定 d，c，其他两个就可以确定了)9 【正确答案】 C【试题解析】 因为向量 所以向量又因为 ma+b 与 a 一 2b 平行，所以有 解得 故选 C。10 【正确答案】 C【试题解析】 从 O2 到大圆半径作垂线，关键是求出高，容易计算出高为所以，面积为 故选 C。11 【正确答案】 A【试题解析】 A i=“第 i 名考生抽到的难题”，i=1，2，3而是一个完全事件组，且应用全概率公式：12 【正确答案】 A【试题解析】 设切点坐标为(x 0，ax 02)，此点在两条曲线上，故有又由两曲线的切线斜率相等， 联立解得 故选 A。13 【正确答案】 B【试题解析】 令平面向量 a 的坐标即

10、点 A 的坐标，向量的集合与端点 A的集合一一对应，题中的集合 A 对应于直线 即直线l1：x+y 1=0集合 B 对应于直线 即 l2：2x 一 y+4=O，直线l1 和 l2 是相交的直线，有一个交点(一 1，2)所以 AB 只有一个元素向量(一1，2)14 【正确答案】 D【试题解析】 如右图所示，设圆上任意点 P0(x0，y 0)，其中 x00，y 00过 P0 的切线与 OP0 垂直，切线斜率 切线方程为 即x0x+y0y=r2切线与 x 轴和 y 轴分别交于点利用平均值不等式，有等号当且仅当 x0=y0 时成立，此时(x 0，y 0)=,故选 D。也可利用圆的参数方程 x=rcos

11、，y=rsin ，有当 时AB最小，最小值为 2r故选 D。15 【正确答案】 C【试题解析】 如右图所示为圆锥和圆柱剖面图的一半，设圆柱和圆锥底面半径分别为 r 和 R；由题意有：OE=OC=r，OA=OB=R，Rt BEDRtBOA。从而得 ，所以 R=2r圆柱全面积S1=2r+r+r2=4r2 圆锥全面积 所以故选 C。16 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)的定义域为 一 1，0，有及一 1sinx0，即 2k 一 1x2k(k 为整数)联立解得 故选 C。17 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)=lnx，有又取 C1=1，C 2=一 1，有 f(x)的一个原函数为 故

12、选 A。18 【正确答案】 D【试题解析】 因为 所以arctan(ex)+arctan(e-x)=C(C 为常数)将 x=0 代入上式得 arctanl+arctanl=C，故即 所以 故选 D。19 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)0；所以曲线 f(x)在(一，0)内是凸的；在(0，+)内是凹的,故选 B.20 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以矩阵 C-1 中，第 3 行第 2 列的元素是 故选 B。21 【正确答案】 D【试题解析】 解法一，特殊值代入法：取 f(x)=x 一 1，则有 f(x 一 1)=x 一 2，那么又 f(x)=10，所以 f(x)=x

13、一 1 满足题意显然在(0，1)内 f(x)0解法二，因为 存在及 x2 时分母的极限为 0，所以又 f(x)可导，从而 f(x)连续，所以由于 f(x)0，所以 f(x)是严格单调递增于是当 x(0，1)时，f(x)f(1)=0故选 D。22 【正确答案】 A【试题解析】 所以r(A)=3故选 A。23 【正确答案】 C【试题解析】 A 中，3 个向量对 1,2,3 表示矩阵的行列式为： 因而 A 中，向量线性相关 只有 C 中向量线性无关故选 C。24 【正确答案】 A【试题解析】 因为 r(A)=n 一 3，可知 AX=0 的基础解系所含向量的个数为 n 一(n一 3)=3；又因为 1,2,3，为 AX=0 的 3 个线性无关解向量所以 1,2,3 为 AX=0的基础解系且由 1(2 一 1)+1(3 一 2)+1(1 一 3)=0；25 【正确答案】 A【试题解析】 由 A=，而 故 =1故选A。