[考研类试卷]经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷15及答案与解析.doc

1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 15 及答案与解析单项选择题1 设 f(x)的一个原函数是 xcosx，则 f(x)=( )（A）sinxxcosx（B） sinx+xcosx（C） cosxxsinx（D）cosx+xsinx2 设f(x) dx= ，则 f(x)=( )（A）1（B） 2x（C） 2x（D）12x3 已知 sinx 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx=( )（A）xcosx+sinx+C（B） xcosxsinx+C（C） xsinx+cosx+C（D）xsinxcosx+C4 设 M=2 2 cosxdx，N= 4 4 dx，P= 3 3(

2、x 4)dx，则有( )（A）NMP（B） PNM（C） PMN（D）MP N5 设 f(x)，(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x) 是 (x)高阶的无穷小则当 x0 时 0xf(t)sintdt 是 0xt(t)dt 的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小6 设曲线 y=f(x)与 y=0arcsinx dt 在点(0，0)处有相同的切线，则 bf(1n)=( )（A）23（B） 0（C） 23（D）17 8 二元函数 z=ln(yx)+ 的定义域为( ) （A）yx0，x 2+y21（B） yx0 ，x 2+y21（C） y

3、x0， x2+y21（D）yx0，x 2+y219 设二元函数 f(x，y)在点(a ，b)处存在偏导数，则 =( )（A）f x(a， b)（B） f1(a+x，b)（C） 2fx(a，b)（D）010 11 设 z=xyf(yx)，其中 f(u)可导，则 x =( )（A）xyf(y x)（B） 2xyf(yx)（C） 3xyf(yx)（D）4xyf(y x)12 设 z= f(x3y)，其中 f 有二阶连续导数，则 =( )（A）3f(x 3y)（B） 3f“(x 3y)（C） f(x 3y)（D）f“(x3y)13 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则下列结论正

4、确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数等于零（B） f(x0，y)在 y=y0 处的导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在14 设 z=sinxy，则 =( )（A）(x 2+y2)sinxy（B） (x2+y2)sinxy（C） (x2y 2)sinxy（D）(y 2x 2)sinxy15 设二元函数 z=f(u，v)由方程 fxg(y)，y=x+g(y)确定，且 g(y)可微，g(y)0，则=( )计算题16 设 f(x)=ln(1+ax2)b dx，且 f“(0)=4，确定 a，b 的值17 计算

5、不定积分 dx18 设 f(x)=0x(t1) 3dt，讨论 f(x)的单调性及相应曲线的凹凸性与拐点、极值19 计算定积分 1 1(x+ )2dx20 计算定积分 02|xx 2|dx21 设函数 f(x)满足关系式 f(t1)dt=x 4，求 f(x)22 设 F(x)=01(1t)|x t|dt(0x1)，求曲线 F(x)的凹凸区间23 24 设二元函数 z=25 设 z=f(xy，x 2+y2)，y=(x)，其中 f 和 均为可微函数，求 dzdx26 设 z(x，y)=(z+y)+(x y)+ (t)dt，其中 为可导函数， 为连续函数，求27 求二元函数 z=2xyx 22y 2x

6、+y 的极值点与极值28 求函数 u=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值29 某 f 家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2；销售量分别为 q1 和 q2；需求函数分别为 q 1=2402p 1，q 2=10005p 2， 总成本函数为 C=35+40(q1+q2) 试问： f 家如何确定两个市场的售价，能使其获得总利润最大 ?最大利润为多少?经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 15 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 xcosx 为 f(x)的一个原函数，则由原函数定义知f(x

7、)=(xcosx)=cosxxsinx故选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于f(x) ，有 因此f(x)=2x故选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 对于xf(x)dx，被积函数中含有 f(x)，通常是先考虑利用分部积分公式 xf(x)dx=xf(x)f(x)dx(*) 又由于 sinx 为 f(x)的一个原函数，由原函数定义可得 f(x)=(sinx)=cosx， f(x)dx=sinx+C 1， 代入上述公式(*)，可得 xf(x)dx=cosxsinx+C 这里 C=C 1，因为 C1，C 都为任意常数，因此上述写法是允许的故选 B【知识

8、模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知只需比较三个定积分值的大小，并不需要求出它们的具体值三个定积分的积分区间均为对称区间，可以考虑利用定积分的性质求解对于 M，被积函数为奇函数，可知 M=0对于 N，被积函数为偶函数且 0，可知 N0对于 P，被积函数中 为奇函数，x 40 为偶数，可知 P=3 3(x 4)dx=3 3 dx 3 3x4dx0，因此 PMN故选 C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 所以当 x0 时，0xf(t)sintdt 为 0xt(t)dt 的高阶无穷小故选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知

9、y(0)=0又可知 y|x=0=1，所以在点(0，0)处曲线 y=f(x)的切线斜率为 f(0)=1又 故选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 解法 1 利用凑微分法=(1x 2)12 +C= +C故选 B解法 2 设 x=sint，则=cost，dx=costdt因此故选 B【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 与一元函数求定义域相仿，要考虑：分式的分母不能为零；偶次方根号下的表达式非负；对数的真数大于零；反正弦、反余弦中表达式的绝对值小于或等于 1因此，本题中应有 yx0，x0，1x 2y 20， 即 yx0，x 2+y21 故选 B【知识模块】 微积

10、分9 【正确答案】 C【试题解析】 当 f(x，y)在(a ，b) 处存在偏导数时，依定义可得=2fx(a，b)故选 C【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 设 u=x2y 2，v=xy ，则z=eusinv =eu2xsinv+e ucosvy= (2xsinxy+ycosxy)故选 B【知识模块】 微积分11 【正确答案】 B【试题解析】 令 u=yx，则 z=xyf(u)，其中 f(u)为抽象函数，依四则运算法则与链式求导法则有因此 x=xyf(u)y 2f(u)+xyf(u)+y2f(u)=2xyf(u)=2xyf(yx)故选 B【知识模块】 微积分12 【正确答案】

11、 B【试题解析】 由于 z= f(x3y) ，可知=f“(x3y)( 3)=3f“(x3y)故选 B【知识模块】 微积分13 【正确答案】 A【试题解析】 f(x，y)为可微函数，点(x 0，y 0)为 f(x，y)的极小值点，则由极值的必要条件知 f x(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0， 而 f(x0，y) 在 y=y0 处的导数即为 fy(x0，y 0)，故选 A【知识模块】 微积分14 【正确答案】 A【试题解析】 由于 z=sinxy，可得 因此=(x 2+y2)sinxy故选 A【知识模块】 微积分15 【正确答案】 C【试题解析】 设 u=xg(y)，v=y，则故选

12、 C【知识模块】 微积分计算题16 【正确答案】 由题设可知 f“(0)=2a=4，解得a=2，b 为任意值【知识模块】 微积分17 【正确答案】 令 t= ，则 x=t3，dx=3t 2dt所以 dx=3t2etdt=3t2et6te tdt=3t2et6(te te tdt)=3t2et6te t+6et+C【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因为 f(x)为变上限积分函数，定义域为(，+)，所以 f(x)=(x1) 3，f“(x)=3(x1) 2，令 f(x)=0，得 f(x)的唯一驻点 x=1故当 x1 时，f“(x)0，可知曲线 y=f(x)无拐点，且它在(，+)内为凹的当 x1

13、 时，f(x)0，则 f(x)在( ，1)内单调减少；当 x1 时，f(x)0，则 f(x)在(1，+)内单调增加因此点 x=1 为函数 f(x)的极小值点f(1)= 01(t1) 3dt= (t1) 4|01=14，可知函数 f(x)的极小值为14【知识模块】 微积分19 【正确答案】 1 1(x+ )2dx=1 1x2+2x +(1x 2)dx=1 1(1+2x)dx=1 1dx=2【知识模块】 微积分20 【正确答案】 02|xx 2|dx=01(xx 2)dx+12(x2x)dx【知识模块】 微积分21 【正确答案】 所给关系式两端同时关于 x 求导，可得 f(x21)2x=x 3，化

14、简为故 f(x)=12【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由题设，则有 F(x)=0x(1t)(xt)dt+ x1(1t)(tx)dtF(x)=x 2+2x ，F“(x)= 2x+2=2(1 x)在(0，1)内，F“(x)0，则曲线 F(x)在 0x1 上为凹的【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由可变限积分求导公式可得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 z 为 x 的复合函数，因此用全导数符号令 u=xy，v=x 2+y2，则z=f(u，v)先利用全微分形式不变性求出 dz 再求导得 dzdx dz=fudu+fvdv=fu(ydx+xdy

15、)+f v(2xdx+2ydy) =(yfu+2xfv)dx+(xfu+2yfv)dy 又由于 dy=(x)dx，因此可得 dzdx=f uy+x(x)+2f vx+y(x)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设 u=x+y，v=x y，w=xy 2，则 z(x，y)=(u)+(v)+ w0(t)dt所以=2(u)+(2y1)(w)=2(x+y)+(2y 1)(xy 2)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 可解得唯一一组解(12，0)，即函数z 只有唯一驻点由于B2AC=40由于 A=20，由极值的充分条件知点 (12，0)为 z 的极大值点，极大值为 z(12，0)=14【知识模块】

16、 微积分28 【正确答案】 构造拉格朗日函数 L(x，y，z ，)=x 2+y2+z2+(x2+y2z)+(x+y+z4)，令 解方程组得(x 1，y 1，z 1)=(1，1，2)，(x2，y 2，z 2)=(2，2，8)故 u(1，1，2)=6 ，u( 2，2，8)=72 可知所求最大值点为(2，2，8) ，最大值为 72；最小值点为(1，1，2)，最小值为 6【知识模块】 微积分29 【正确答案】 所给问题为求最大值问题由于总利润=总收入总成本设总收入函数为 R，则 R=p1q1+p2q2本题可以采用两种解法求解：一是将售价 p1，p 2作为自变量；二是将销售量 q1，q 2 作为自变量解

17、法 1 将售价 p1，p 2 作为自变量，总收入函数为 R=p1q1+p2q2=24p102p 12+10p2005p 22，则总利润函数为L=R C=(p1q1+p2q2)35+40(q 1+q2)=32p102p 12+12p2005p 221395由于=320 4p1， =1201p 2，令 =0，解方程组可得p1=80， p2=120 为唯一一组解由问题的实际含义可知，当 p1=80，p 2=120 时，f 家获得的总利润最大，其最大利润为 L|(800，100) =605解法 2 将销售量 q1，q 2 作为自变量，由于 p1=1205q 1，p 2=20020q 2，总收入函数为 R=p1q1+p2q2=(1205q 1)q1+(20020q 2)q2，总利润函数为 L=RC=(1205q 1)q1+(20020q 2)q235+40(q 1+q2)=80q15q 12+160q220q 2235，因此=8010q 1， =160 40q2令 =0，可解得 q1=8，q 2=4 为唯一一组解由问题的实际含义可知，当 q1=8，q 2=4 时，即 p1=80，P 2=120 时，f 家获得的利润最大，其最大总利润为 L|(8，4) =605【知识模块】 微积分