[考研类试卷]经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷16及答案与解析.doc

1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 16 及答案与解析单项选择题1 设 F(x)是 xcosx 的一个原函数，则 dF(x2)=( )（A）2x 2cosxdx（B） 2x3cosxdx（C） 2x2cosx2dx（D）2x 3cosx2dx2 设 f(x)=cosx，则 f(x)的一个原函数为 ( )（A）1sinx（B） 1+sinx（C） 1cosx（D）1+cosx3 设 f(x)为a ，b上的连续函数，c，d a，b，则下列命题正确的是 ( )（A） abf(x)dx=abf(t)dt（B） abf(x)dxcdf(x)dx（C） abf(x)dxcdf(x)dx（

2、D） abf(x)dx 与 abf(t)dt 不能比较大小4 设 f(x)为连续函数，且 F(x)=1x lnx(t)dt，F(x)=( )5 设 F(x)=1x(2 )dt(x0)，则 F(x)的单调增加区间为 ( )（A）(0 ，14)（B） (0，12)（C） (0，1)（D）(1 4，+)6 函数 f(x)=x2 在闭区间1，3上的平均值为( )（A）5（B） 133（C） 4（D）1137 dx=( )（A）ln(x 2+4x+5)+C（B） 12ln(x 2+4x+5)+C（C） 13ln(x 2+4x+5)+C（D）14ln(x 2+4x+5)+C8 已知 f(x， y)=3x+

3、2y，则 f1，f(x，y)=( )（A）3x+2y+1（B） 3x+2y+3（C） 6x+4y+1（D）6x+4y+39 设 z= ，则( )10 设 z=(3x+2y)3x+2y，则 2 =( )（A）5(3x+2y) 3x+2y1+ln(3x+2y)（B） 3(3x+2y)3x+2y1+ln(3x+2y)（C） (3x+2y)3x+2y1+ln(3x+2y)（D）011 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxp(t)dt，确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，p(t)，(u)连续，且 (u)1，则 p(y) =( )（A）p(x) p(y)（B） p(x)+p(

4、y)（C） 0（D）112 13 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)0 已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)014 设 z=f(x，y)= ，则有( )（A）f xf y=0（B） fx+fy=0（C） fxf y=f（D）f x+fy=f计算题15 计算x

5、 2sin(32x 3)dx16 计算不定积分sin(lnx)dx17 设 f(x)为连续函数，且 f(x)+a01f(x)dx=a2x 求能使 01f(x)dx 取得极值的 a 的值18 计算定积分 01 dx19 计算定积分 0120 已知函数 f(x)的原函数为 lnxx，求 1exf(x)dx21 当 a(0a4)为何值时，曲线 y= x(xa) 与 y=(4a)x(x a)所围图形面积最大22 已知 ，且 xyz0，当三个自变量 x，y，z 分别增加一个单位时，哪个变量的变化对函数 u 影响最大?23 设二元函数 z= ，其中 f(u)为可微函数，求24 设二元函数 f(x，x+y)

6、=2x 2y，z=f(x，y)，求25 设 z=exy(x2+y)，其中 f(u)是可导函数，求26 设 z=z(x，y)由方程 xy=xf(z)+yg(z)确定，其中 f，g 为可导函数，且 xf(z)+yg(z)0，求zx g(z)27 设 z=e2x(x+2y+y2)，求 z 的极值点与极值28 求 f(x，y)=x 2y 2+2 在椭圆域 D=(x，y)|x 2+ 1上的最大值和最小值29 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 p 1=18 2Q1，p 2=12Q 2， 其中 p1 和 p2 分别表示该产品在两个市场的价格 (单位：万元吨)；Q 1

7、和 Q2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C=2Q+5， 其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q=Q1+Q2 (1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； (2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业获得的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 16 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 F(x)为 xcosx 的一个原函数，可知 F(x)=xc

8、osx ， 因此 dF(x 2)=F(x2)d(x2)=F(x2)2xdx=2x 3cosx2dx 故选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 这个题目有两种常见的解法 解法 1 由于 f(x)=cosx，可知 f(x)=f(x)dx=cosxdx=sinx+C1， 则 f(x)的原函数为 f(x)dx=(sinx+C 1)dx=cosx+C 1x+C2 对照四个选项，当 C1=0，C 2=1 时，得 1cosx故选 C 解法 2 将四个选项分别求导数，得出 f(x)，再分别求导数，哪个导数值为 cosx，则哪个为正确选项换句话说，将四个选项分别求二阶导数，值为 cosx 的

9、选项正确，可知 C 正确 此时(1cosx)“=(sinx)=cosx【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 f(x)为a ，b 上的连续函数，因此 abf(x)dx 存在，故它的值为确定的数值，取决于 f(x)和a ，b ，与积分变量无关，因此 abf(x)dx=abf(t)dt，可知A 正确，D 不正确由于题设并没有指明 f(x)的正负变化，可知 B，C 都不正确故选 A【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 如果 f(x)为连续函数， i(x)为可导函数， i=1，2，则 f(t)dtf 2(x)2(x)f 1(x)1(x)，因此 F(x)=f(lnx

10、)(lnx)f(1 x)(1x)故选 A若 f(x)为连续函数，则 axf(t)dt=f(x)， xbf(t)dt=f(x) 又 (x)可导，则有 a(x)f(t)dt=f(x)(x)， (x)bf(t)dt=f(x)(x)这里有两个前提条件：(1)f(x) 为连续函数，(x) 为可导函数；(2)被积函数中不含变上(下) 限的变元【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 F(x)=2 ，令 F(x)=0，得 x=14 为 F(x)的唯一驻点所以当 0x14 时，F(x)0，F(x) 单调减少；当 x14 时，F(x)0，F(x)单调增加故选 D【知识模块】 微积分6 【正确答

11、案】 B【试题解析】 由连续函数 f(x)在a ，b 上的平均值定义知其为 abf(x)dx可知故选 B【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 利用凑微分法 故选B【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 f(x，y)=3x+2y，意味着f(，)=3+2，其中 ， 分别表示 f 的表达式中第一个位置和第二个位置的元素因此f1，f(x，y)=3+2f(x，y)=3+2(3x+2y)=6x+4y+3故选 D【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 已知 z=f(x，y) ，则可知 |(0，0) 不存在，可排除 A故选 B【知识模块】 微积分10 【正确

12、答案】 D【试题解析】 若令 u=3x+2y，取 z=u2，由此求 运算较复杂如果再令v=3x+2y，取 z=uv(虽然 u，v 取相同表达式，但是 z=uv 的表达式中 u，v 的地位不同，下面将很快发现这种代换简化了运算!)由于因此 =vuv1 3+u vlnu3=3(3x+2y)3x+2y1+ln(3x+2y)， =vuv1 2+u vlnu2=3(3x+2y) 3x+2y1+ln(3x+2y)所以故选 D【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 所给问题为综合性题目本题包含隐函数求导，可变上(下)限积分求导及抽象函数求导由 z=f(u)可得 方程 u=(u)+yxp(t)

13、dt 两端分别关于 x，y 求偏导数，可得由 (u)1可得故选 C【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 由于故选 A【知识模块】 微积分13 【正确答案】 D【试题解析】 由于 (x， y)可微，且 y(x，y)0，由隐函数存在定理可知由(x，y)=0 可以确定可导函数 y=y(x)因此求 f(x，y) 在条件 (x，y)=0 下的极值等价于求 fx， y(x)的极值可知点 (x0，y 0)为 fx，y(x)的极值点由于 fx，y(x)可微，因此必定有 =fxx，y(x)+f yx，y(x)y(x) 由隐函数求导公式可知 y(x)= x(x，y) y(x，y)，从而则 fx(

14、x0，y 0)f y(x0，y 0)=0若 fx(x0，y 0)0，由上式可知 fy(x0， y0)0故选 D【知识模块】 微积分14 【正确答案】 D【试题解析】 z=f(x，y)= ，则因此 fx+fy故选 D【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 利用凑微分法 x 2in(32x 3)dx=16sin(32x 3)d(32x 3) =16cos(3 2x3)+C【知识模块】 微积分16 【正确答案】 利用分部积分法 sin(lnx)dx=xsin(lnx)x cos(lnx)1xdx =xsin(lnx)cos(lnx)dx =xsin(lnx)xcos(lnx)+x sin(ln

15、x)1xdx =xsin(lnx)cos(lnx)sin(lnx)dx， 因此 2sin(lnx)dx=xsin(lnx)cos(lnx)+C 1， sin(lnx)dx=x 2sin(lnx)cos(lnx)+C【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由题设可知 01f(x)dx 的值与 a 有关，因此只需考 01f(x)dx 与 a 的关系设 t=01f(x)dx，则所给表达式可化为 f(x)+at=a2x，将上式两端在0，1上积分，得 01f(x)dx+01atdx=01xdx，t+at=12a 2，令 dtda=0，得 t 的两个驻点 a1=0，a 2=2故当 a2 时，dtda 0，

16、t 单调增加；当2a 1时，dtda0，t 单调减少；当1a0 时，dtda 0，t 单调减少；当 a0 时，dtda0，t 单调增加所以当 a=2 时，t 取得极大值，即 01f(x)dx 取得极大值，为2；当 a=0 时，t 取得极小值，即 01f(x)dx 取得极小值，为 0【知识模块】 微积分18 【正确答案】 =01 d(ex)=arctanex|01=arctanearctan1=arctane 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 u= ，则 xdx= d(1 x2)= d(u2)=udu当 x=0 时，u=1；当 x=1 时，u=0因此 =arctanu| 10=4【知识

17、模块】 微积分20 【正确答案】 由题设 lnxx 为 f(x)的原函数，可知因此由分部积分公式可得 1exf(x)dx=xf(x)|1e 1ef(x)dx【知识模块】 微积分21 【正确答案】 所给两条曲线都是二次方程，因此都是抛物线又都过点 x=0 与x=a又 0a4，故当 0xa 时，y=(4a)x(xa)在 x 轴下方；曲线 y= x(xa)在 x 轴上方，如图 134 所示因此两条曲线所围图形面积为 S(a)=0a x(xa)(4a)x(x a)dx= 118a 3(3a 14)S(a)=13a 2(2a7)，S“(a)=2a 2+ a令 S(a)=0，得 S(a)的两个驻点 a1=

18、0，a 2=72又由 S“(72)0知，a 2=72 为 S(a)的极大值点，也是最大值点，故当 a=72 时，所求面积最大【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由偏导数的几何意义可知，偏导数表示函数沿平行于该坐标轴方向的变化率只需求出三个偏导数并比较它们的值可以将所给函数认作是隐函数，将所给表达式两端分别关于 x，y，z 求偏导数，可得 由于xyz0，因此 x2y 2z 2，进而有 u2x 2u 2y 2u 2z 2，即 ，可知当 x，y，z 分别增加一个单位时， z 的变化对 u 的影响最大【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设 u=x2y 2，v=y ，则 x=vf(u)?【知识模

19、块】 微积分24 【正确答案】 设 u=x，v=x+y 可得 x=u，y=vu因此 f(x，x+y)=f(u，v)=2u2(vu) z=f(x，y)=2x 2(yx)=2x 2y2x 3， =4xy6x 2【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 u=xy，v=x 2+y，则 z=euf(v) =euyf(v)+euf(v)2x=e xyyf(x2+y)+2xf(x2+y)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设 F(x，y，z)=xyxf(z) yg(z)，则 Fx=yf(z)，F y=xg(z)，Fx=xf(z)yg(z) 因此【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由 z=e2x(x

20、+2y+y2)，知 =2e2x(x+2y+y2)+e2x=e2x(2x+4y+2y2+1)，=e2x(2+2y)由于=2e2x(2x+4y+2y2+1)+e2x2=e 2x(4x+8y+4y2+4)，B2AC=4e 20依据极值的充分条件知点(12，1)为极小值点，极小值为e2【知识模块】 微积分28 【正确答案】 求 f(x，y)x 2y 2+2 在区域 D=(x，y)|x 2+ 1上的最值应分两种情形考虑：在椭圆域 D 的内点考虑无约束极值问题；在椭圆域 D 的边界考虑条件极值问题解法 1 考查 f(x，y)=x 2y 2+2 在区域 x2+ 1 内的极值令解得 x=0，y=0 ，即 f(

21、x，y)在 x2+ 1 内有唯一驻点(0，0)在 x2+ =1 上，记 y2=44x 2，因此有 f(x，y)=x 2(44x 2)+2=5x22，1x1，令 dfdx=10x=0，得 x=0当 x=0 时，y=2；当 x=1 时，y=0所以 f(1，0)=3，f(0，2)= 2又 f(0，0)=2，因此 f(x，y)在 D 上的最大值为 3，最小值为2解法 2 在区域 x2+ 1 内解法同解法 1在椭圆 x2+ =1 上，利用拉格朗日乘数法求极值设 L=x2y 2+2+(x2+ 1)，由解得 4 个可能的极值点 M1(0，2)，M 2(0，2)，M 3(1，0)，M4(1，0) 所以 f(M

22、1)=2，f(M 2)=2，f(M 3)=3，f(M 4)=3，可知 f(x，y)在 D 上的最大值为 3，最小值为2【知识模块】 微积分29 【正确答案】 该企业实行价格差别策略进行销售，则问题为无条件极值而该企业实行价格无差别策略进行销售，即 p1=p2，问题为条件极值(1)如果该企业实行价格差别策略，总利润函数为 L=RC=p 1Q1+p2Q2(2Q+5)=2Q 12Q 22+16Q1+10Q25，令 解得 Q1=4，Q 2=5，则p1=10， p2=7因驻点 (4，5)唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到最大利润为 L=24 25 2+164+1055=52(万元)(2) 若该企业实行价格无差别策略，则 p1=p2，于是有约束条件 182Q 1=12Q 2，即 2Q1Q 2=6，构造拉格朗日函数 L(Q1，Q 2，)= 2Q 12Q 22+16Q1+10Q25+(2Q 1Q 26)令解得 Q1=5，Q 2=4，=2，则 p1=p2=8最大利润为L=25 24 2+165+1045=49( 万元)由上述结果可知，企业实行差别定价所得总利润大于统一价格的总利润【知识模块】 微积分